B樹

即二叉搜索樹：

1.所有非葉子結點至多擁有兩個兒子（Left和Right）；

2.所有結點存儲一個關鍵字；

3.非葉子結點的左指針指向小于其關鍵字的子樹，右指針指向大于其關鍵字的子樹；

如：

B樹的搜索，從根結點開始，如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等，那么就命中；

否則，如果查詢關鍵字比結點關鍵字小，就進入左兒子；如果比結點關鍵字大，就進入

右兒子；如果左兒子或右兒子的指針為空，則報告找不到相應的關鍵字；

如果B樹的所有非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差不多（平衡），那么B樹

的搜索性能逼近二分查找；但它比連續內存空間的二分查找的優點是，改變B樹結構

（插入與刪除結點）不需要移動大段的內存數據，甚至通常是常數開銷；

如：

但B樹在經過多次插入與刪除后，有可能導致不同的結構：

右邊也是一個B樹，但它的搜索性能已經是線性的了；同樣的關鍵字集合有可能導致不同的

樹結構索引；所以，使用B樹還要考慮盡可能讓B樹保持左圖的結構，和避免右圖的結構，也就

是所謂的“平衡”問題；

實際使用的B樹都是在原B樹的基礎上加上平衡算法，即“平衡二叉樹”；如何保持B樹

結點分布均勻的平衡算法是平衡二叉樹的關鍵；平衡算法是一種在B樹中插入和刪除結點的

策略；

B-樹

是一種多路搜索樹（并不是二叉的）：

1.定義任意非葉子結點最多只有M個兒子；且M>2；

2.根結點的兒子數為[2, M]；

3.除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M]；

4.每個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）

5.非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指針個數-1；

6.非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

7.非葉子結點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小于K[1]的

子樹，P[M]指向關鍵字大于K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬于(K[i-1], K[i])的子樹；

8.所有葉子結點位于同一層；

如：（M=3）

B-樹的搜索，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查找，如果

命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬范圍的兒子結點；重復，直到所對應的兒子指針為

空，或已經是葉子結點；

B-樹的特性：

1.關鍵字集合分布在整顆樹中；

2.任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中；

3.搜索有可能在非葉子結點結束；

4.其搜索性能等價于在關鍵字全集內做一次二分查找；

5.自動層次控制；

由于限制了除根結點以外的非葉子結點，至少含有M/2個兒子，確保了結點的至少

利用率，其最底搜索性能為：

其中，M為設定的非葉子結點最多子樹個數，N為關鍵字總數；

所以B-樹的性能總是等價于二分查找（與M值無關），也就沒有B樹平衡的問題；

由于M/2的限制，在插入結點時，如果結點已滿，需要將結點分裂為兩個各占

M/2的結點；刪除結點時，需將兩個不足M/2的兄弟結點合并；

B+樹

B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜索樹：

1.其定義基本與B-樹同，除了：

2.非葉子結點的子樹指針與關鍵字個數相同；

3.非葉子結點的子樹指針P[i]，指向關鍵字值屬于[K[i], K[i+1])的子樹

（B-樹是開區間）；

5.為所有葉子結點增加一個鏈指針；

6.所有關鍵字都在葉子結點出現；

如：（M=3）

B+的搜索與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B-樹可以在

非葉子結點命中），其性能也等價于在關鍵字全集做一次二分查找；

B+的特性：

1.所有關鍵字都出現在葉子結點的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關鍵字恰好

是有序的；

2.不可能在非葉子結點命中；

3.非葉子結點相當于是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當于是存儲

（關鍵字）數據的數據層；

4.更適合文件索引系統；

B*樹

是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；

B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3

（代替B+樹的1/2）；

B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，并將原結點中1/2的數據

復制到新結點，最后在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂只影響原結點和父

結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針；

B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那么將一部分

數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最后修改父結點中兄弟結點的關鍵字

（因為兄弟結點的關鍵字范圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之

間增加新結點，并各復制1/3的數據到新結點，最后在父結點增加新結點的指針；

所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；

小結

B樹：二叉樹，每個結點只存儲一個關鍵字，等于則命中，小于走左結點，大于

走右結點；

B-樹：多路搜索樹，每個結點存儲M/2到M個關鍵字，非葉子結點存儲指向關鍵

字范圍的子結點；

所有關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點可以命中；

B+樹：在B-樹基礎上，為葉子結點增加鏈表指針，所有關鍵字都在葉子結點

中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引；B+樹總是到葉子結點才命中；

B*樹：在B+樹基礎上，為非葉子結點也增加鏈表指針，將結點的最低利用率

從1/2提高到2/3；