－二叉搜索樹
查找問題：靜態查找和動態查找，靜態查找可以用二分查找－判定樹，那么針對動態查找數據如何組織？
（樹的動態性強 比線性方便）
二叉搜索樹（BST，Binary Search Tree）也稱二叉排序樹或二叉查找樹
一棵二叉樹滿足以下性質：
1.非空左子樹的所有鍵值小于其根結點的鍵值
2.非空右子樹的所有鍵值大于其根結點的鍵值
3.左、右子樹都是二叉搜索樹
－二叉樹的特殊函數：
二叉搜索樹的查找操作（找出指定元素）：Find
Position Find ( ElementType X, BinTree BST )
{
if ( ! BST ) return NULL ; // 查找失敗
if ( X > BST -> Data )
return Find ( X, BST -> Right ); // 在右子樹中繼續查找
Else if ( x < BST -> Data )
return Find ( x, BST -> Left ); // 在左子樹中繼續查找
else // X == BST -> Data
return BST; // 查找成功，返回找到結點的地址
}
上述算法運用到遞歸且都是尾遞歸，即在程序最后要返回時才遞歸，從編譯角度看，尾遞歸可以用循環實現。
前文提到非遞歸函數執行效率更高，所以將“尾遞歸”函數改為迭代函數：
Position Find ( ElementType X, BinTree BST )
{
while ( BST ) {
if ( X > BST -> Data )
BST = BST -> Right; // 向右子樹移動并查找
else if ( X < BST -> Data )
BST = BST -> Left; // 向左子樹移動并查找
else // X == BST -> Data
return BST; // 查找成功，返回結點地址
}
return NULL; // 查找失敗
}
查找效率決定于樹的高度
查找最大值和最小值，即最左結點和最右結點
－二叉搜索樹的插入
關鍵是找到元素應該插入的位置，可以采用與Find函數相似的方法，
BinTree Insert ( ElementType X, BinTree BST )
{
if ( ! BST ) {
// 若帶插入的二叉搜索樹為空樹，則生成并返回只有一個結點的二叉搜索樹；若帶插入的二叉搜索樹不為空樹，則代表已經找到了應該插入的位置，就在該位置插入指定的元素
BST = malloc ( sizeof ( struct TreeNode ) );
BST -> Data = X;
BST -> Left = BST -> Right = NULL;
} else // 開始查找應該插入的位置
if ( X < BST -> Data )
BST -> Left = Insert ( X, BST -> Left ); // 遞歸插入左子樹
Else if ( x > BST -> Data )
BST -> Right = Insert ( X, BST -> Right ); // 遞歸插入右子樹
return BST; // else X已存在 什么都不用做
}
－二叉搜索樹的刪除
要考慮三種情況：
1.要刪除的是葉結點：直接刪除 并修改其父結點指針 值為NULL
2.要刪除的結點只有一個子結點：將其父結點的指針指向要刪除結點的孩子結點
3.最復雜的情況，要刪除的結點有左右兩棵子樹，用另一結點替代被刪除結點：右子樹的最小元素或者左子樹的最大元素，即將該情況轉換為前面兩種情況，右子樹的最小元素或者左子樹的最大元素必然是葉結點或者只有一個子結點的結點 要刪除它們是比較方便的
BinTree Delete ( ElementType X, BinTree BST )
{
Position Tmp ;
if ( ! BST ) printf ( “要刪除的元素未找到” ) ;
else if ( X < BST -> Data )
BST -> Left = Delete ( X, BST -> Left ); // 左子樹遞歸刪除
else if ( x > BST -> Data )
BST -> Right = Insert ( X, BST -> Right ); // 右子樹遞歸刪除
else // 找到要刪除的結點，接下來判斷該結點的子結點情況
if ( BST -> Left && BST -> Right ) { // 要被刪除的結點有左右兩個子結點
Tmp = FindMin ( BST -> Right ) ; // 在右子樹中找最小的元素填充刪除結點
BST -> Data = Tmp -> Data ;
BST -> Right = Delete ( BST -> Data, BST -> Right ) ; // 在刪除結點的右子樹中刪除最小元素
} else { // 被刪除結點有一個子結點或無子結點
Tmp = BST ;
if ( !BST -> Left ) // 有右孩子活著無子結點
BST = BST -> Right ;
else if ( ! BST -> Right ) ; // 有左孩子或無子結點
BST = BST -> Left ;
free ( Tmp ) ;
}
return BST ;
}
－平衡二叉樹
搜索樹結點不同插入次序，將導致不同的深度和平均查找長度ASL；平均查找長度ASL＝（層數＊該層結點數 的和）／總結點數
平衡因子（Balance Factor）：左子樹的高度與右子樹的高度的差
平衡二叉樹（Balance Binary Tree）（AVL樹）：空樹，或者任一結點左右子樹高度差的絕對值不超過1
－平衡二叉樹的調整：
當我們往平衡二叉樹中插入結點后，可能導致插入后的樹不平衡，這時我們需要調整
右單旋：首先找出不平衡的“發現者”（左右子樹高度差大于1的結點）“麻煩結點”（插入后導致不平衡的結點）在發現者右子樹的右邊，因而叫RR插入，需要RR旋轉（右單旋）
上面例子中發現者是5， 麻煩結點是15
左單旋：類似的，左單旋即“麻煩結點”在“發現者”左子樹的左邊，因而叫LL插入，需要LL旋轉（左單旋）
LR旋轉：“麻煩結點”在“發現者”左子樹的右邊，因而叫LR插入，需要LR旋轉
RL旋轉：“麻煩結點”在“發現者”右子樹的左邊，因而叫RL插入，需要RL旋轉
