波士頓三一教堂，姜健攝影。
今天（2016年10月4日），諾貝爾評選委員會宣布，將2016年諾貝爾物理學獎授予華盛頓大學的Davdi J. Thouless, 普利斯頓大學的 F. Duncan M. Haldane與布朗大學的J. Micheal Kosterlitz， “因其拓撲相變和拓撲物態的理論發現”。Thouless及其合作者Kosterlitz還發現了固體中能帶上的“陳省身示性類”，他們歷史上首次把陳類和整數量子霍爾效應直接聯系了起來，開創了凝聚態物理體系中的拓撲效應先河，為人類打開了一個未知的世界。
作為陳省身大師的直系后代，老顧和同門師兄師弟們無不激越振奮，再度感喟陳大師的曠世杰作，橫亙古今，揭示了自然最為深刻而根本的真理。丘先生曾多次教誨眾弟子，“奧妙的自然現象后面必然有優美的數學結構”，“美輪美奐的數學結構必定不是人為的，必然有自然的對應”。當初，卡拉比-丘流形的存在性被丘先生證明之后，數十年間一直被視為是純粹智力的產物，但是現在早已成為超弦理論的基石。
令老顧覺得妙不可言的是：陳省身示性類在“神圣網格”問題中，也起到了根本的作用。因此，在得知拓撲相變獲得諾貝爾獎之后，老顧迫不及待地提筆寫下“圣杯問題”系列的第二篇文章 - 陳類的巧妙應用。
四邊形網格的可拓展問題
圖1. 給定邊界曲面
的四邊形網格
。
猜測的充分性證明成為關鍵。Mac Casale為此給菲爾茨獎得主瑟斯頓（Bill Thurston）發去了電子郵件進行詢問。瑟斯頓在1993年10月25日給出了公開解答【1】，瑟斯頓的解答簡短抽象，但卻意蘊深遠。瑟斯頓從未正式發表他的想法，但是其思想精髓指導了非結構六面體網格生成領域的發展。在1996年，Scott Mitchell發表了類似思想，并將這一方法推廣到復雜拓撲曲面【2】。目前，人們將這一理論統稱為Mitchell-Thurston理論。
對偶的觀點
瑟斯頓首先只考慮了拓撲六面體剖分，即每個胞腔是拓撲六面體，然后再考慮幾何嵌入問題。我們依循他的思路來考察，核心的想法是對偶。
圖4. 六面體網格H的對偶H*。
同理，我們介紹實體Ω的六面體網格H的對偶H*。如圖4所示，我們在每個六面體中構造三張曲面片，彼此橫截相交，共同交于一點。這些曲面片連接，得到全局曲面，這些曲面橫截相交，構成對偶的曲面網格H*。H*將體Ω進行胞腔分解，H*的每個頂點都由三張曲面彼此橫截相交得來。
六面體網格的對偶H*和邊界曲面
的交集就是四邊形網格的對偶Q*。瑟斯頓的核心想法是從Q*出發來構建H*。問題的關鍵在于，我們能否從Q*出發來構建H*，這種構建過程中可能遇到的障礙究竟是什么？
答案在于，光滑曲面的穩定相交情形的拓撲分類。
曲面橫截相交理論
在微分拓撲中，惠特尼（Whitney）對三維空間中光滑曲面的穩定相交情形進行了分類【3】。
圖5. 曲面穩定相交的分類， 邊界雙重點（boundary double point），內部雙重點（interior double point），三重點（triple point），分支點（branch point）。
給定三維空間中的一族浸入曲面，曲面之間的交點被稱為奇異點。經過微小擾動，曲面之間彼此不相切，所有奇異點都是穩定奇異點。圖5給出了穩定奇異點的分類。我們看到，在六面體對偶網格H*中，前面三種情況都有可能發生，但是最后一種分支奇異點不會發生。因此，在從Q*出發來構建H*的過程中，關鍵是：確保分支奇異點不會出現！
瑟斯頓把Q*拓展成H*的思路分成兩個主要步驟：
在第一步中，我們需要判定邊界曲面上兩個光滑封閉曲線是否能夠光滑地彼此漸變過去，這就是正則同倫的概念。
正則同倫理論
圖6. 具有偶數個自相交點的圈和簡單圈（無自相交點）正則同倫。
圖7. 具有奇數個自相交點的圈和簡單圈同倫，但是不正則同倫。
圖7顯示了具有奇數個自相交點的圈和簡單圈同倫，但是并不正則同倫，因為在形變過程中，出現了尖點，在尖點處曲線的切向量無法定義。
陳省身示性類
我們考察球面的單位切叢。首先，根據“法球定理”（hair ball），我們無法將一個椰子上的須毛梳理光順，總是存在幾個奇異點。換言之，球面上的光滑切矢量場，必然存在零點。用我們現在的語言來解釋就是：在單位切叢中，我們是否能夠找到一張光滑曲面（全局截面），全局截面和所有的纖維只有一個交點。全局截面的存在性障礙就是陳省身示性類。全局截面，就是曲面上處處非零的光滑切矢量場。
圖8.球面的單位切叢。
那么，我們如何消除分支奇異點呢？瑟斯頓提出了一個絕妙的主意。
瑟斯頓的手術
瑟斯頓說給了一對分支奇異點，我們可以如圖10所示對曲面進行手術，從而消除分支奇異點。
圖10. 瑟斯頓的手術，消除分支奇異點【4】。
氣泡包裹法
圖11. 二維的氣泡包裹法（bubble-wrap）【4】。
Mitchell-Thurston 理論
至此，我們已經詳細分析了 Mitchell-Thurston理論的所有組成部分，因為邏輯鏈條過長，我們在這里進行匯總。
小結
我們看到，貌似簡單的六面體網格問題涉及了許多拓撲學中的深刻定理和復雜工具，包括惠特尼的子流形穩定橫截理論，陳省身的纖維叢示性類理論，斯梅爾的正則同倫理論，瑟斯頓的手術和氣泡包裹技巧。
那么，復雜拓撲體的非結構六面體網格存在性理論又是如何呢？我們將會在下篇再用同調理論來詳盡解釋。
