從“核心概念”出發 感悟“數與運算”一致性
一、緣起新課標
“一致性”該詞在數學新課標中共出現了18次，我提取了其中的幾條，通過分析，我們發現，其表述角度和內涵包含這三個方面：今天，我主要和大家一起來探討數的概念角度和數的運算角度的一致性。
新課標把“數與代數”原來的六個主題：數的認識、數的運算、常見的量、探索規律、式與方程、正反比例，調整為“數與運算”和“數量關系”兩個主題。
將數的認識與數的運算進行了整合，對數與運算的教學提出了新的要求。加深對數概念的一致性、運算意義的關聯性、數與運算的整體性、算理和算法的一致性、運算規律的共通性的教學理解，有助于我們把握新課標精神，引導學生探索運算一致性，促進學生加強知識間的相互聯系，從而使學生形成更為整體而結構化的數學知識。
那么數與運算，包括整數，小數，分數，還包括加減乘除。這么龐大的內容，怎么去體現一致性呢？
二、數的概念一致性
首先我們來看數的概念。數概念的重點在于理解數的意義，學生要經歷由數量到數的抽象過程，理解和掌握數概念，初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，來形成數感和符號意識。
數是對數量的抽象，不管是整數，小數，分數，它們都是對數量的抽象。
數是多少個計數單位的表達，整數小數和分數都可以從計數單位和計數單位的個數這個角度來認識。整數，小數，分數都是表達了多少個這樣的計數單位。
數是多少個單位的表達，一是打通“數域”之間關聯，二是架起了“數與運算”的橋梁。
三、數與運算一致性
“數”與“運算”之間的聯系。數的概念是數的運算的基礎，數的運算是數的概念的再應用”，數的表達與運算方法的具有一致性。
1.數與運算的整體性
數與運算密切相關，數失去運算也就沒有意義了。事實上，通過計數單位的累加和細分來認識數的過程中，就已經進行了運算。
整數、小數的加減法本質上是相同計數單位的數的累加與遞減；分數相加減時，從分數的意義出發，需要統一分數單位。因此，無論是整數、小數還是分數的認識，都與運算密不可分。
學習四則運算必須通過理解算理達到掌握算法，而對算理的理解必須依據對數的意義和運算意義的理解，就像整數、小數和分數相加減，都要歸結為相同計數單位（分數單位）上的數相加減。讓學生從數的意義和計數單位的視角理解算理，建立起概念性知識和程序性知識的聯系，有助于他們形成整體性的知識結構。
2.加減法運算的一致性
在小學數學四則運算中，整數加減法強調相同數位對齊，小數加減法強調小數點對齊，分數加減法則強調分母相同才能直接相加減。其算理在于，整數、小數、分數的四則運算本質上都是對計數單位進行運算，加減法表現為對計數單位的累加或遞減。整數加減運算，就是將每一個數按照計數單位進行分解，然后相同計數單位上的數字相加減。分數相加減時，需要先統一分數單位：同分母分數相加減，分母不變，分子相加減；異分母分數相加減，先化成同分母的分數，再相加減?？梢?，分數相加減，均是“相同計數單位上的數字相加減”，這與整數運算保持了一致。
小數加減法的算理、算法既可以基于整數的算理、算法，也可以基于分數的算理、算法，這充分顯示了小數的“兩棲性”。無論基于整數加減，還是基于分數加減，均是“相同計數單位上的數字相加減”。
綜上所述，加減法運算的一致性體現為：相同計數單位上的數字相加減，計數單位不變。
在六年級下冊教學《數的運算》這節課時，我們就是通過這樣的豎式對比的方法，重在對計數單位及計數單位個數的探究，使學生直觀感知到加減法運算的一致性。
3.乘法運算的一致性
相信大家在很多地方已經看到過用這樣的拆解方法來探究整數、小數、分數乘法的運算一致性了，在這樣的拆解過程中使用到了運算律。我們可以發現，整數乘法運算要進行兩類運算：計數單位與計數單位相乘（這兩個計數單位可以一樣、可以不一樣），從而得到新的計數單位；計數單位上的數字與計數單位上的數字相乘，得到新的計數單位上的新的數字。
4.除法運算的一致性
關于除法運算的一致性，一直是我比較困惑的地方，如果有分享的不到我的地方，希望在座的各位老師提出自己的寶貴意見意見。
5.四則運算的一致性
史寧中教授指出：數的建構與數的運算都是基于計數單位進行的，所有的運算都是相同計數單位個數的變化。
在教學時，借助數軸回顧加減乘除四則運算的本質，理解加、減、乘、除運算意義之間的聯系，感悟加法是計數單位個數的合并，減法是計數單位個數的拆分，乘法是計數單位個數的累加，除法則是計數單位個數的遞減。因此，運算一致性的核心內容就是計數單位。
體會減法是加法的逆運算，乘法是加法的簡便運算，除法是乘法的逆運算，所有運算都可以還原為加法，加法運算是所有運算的基礎，而“計數單位”在打通四則運算一致性的過程中起到了至關重要的作用。
6.運算律角度感悟一致性
探究運算的一致性時，我們將數拆分成不同計數單位的數的和或積，然后再依據運算律進行運算，這一過程與運算律是密不可分的。實際教學過程中，通過圖中這種數形結合的方式，感悟數的運算一致性，形成整體性的知識結構。
新課標頒布后，課程內容進行結構化整合，在“數與運算”這個主題下，溝通了數的概念與數的運算之間的關聯，有助于學生從整體上理解數與運算的知識和方法，感悟數與運算之間的密切聯系，體會數的運算本質上的一致性，也將促進學生數感、符號意識、運算能力、推理意識等核心素養的提升。
