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假設我們是一家大型零售公司, 客戶分布在全國各地. 為了方便管理和提供更好的服務, 我們需要把客戶按照地理位置進行分類, 例如按城市或街道的維度把客戶劃分成區塊, 每個區塊是客戶的集合. 主要考慮如下因素:

區塊包含客戶的地理位置盡可能集中
區塊大小(客戶數量)有限制
客戶有權重, 例如客戶分為普通客戶和VIP客戶.

下文總結幾個可能需要求解的聚類問題.

問題列表

1. 等量的聚類問題(Equal-size clustering or balanced clustering)

給定點集 $X=\{\boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{x_2}, ..., \boldsymbol{x_n}\}$ , 其中每個點是一個 $d$ 維實向量. 給定常數 $k$ 且 $n \mod k =0$ . 我們把 $X$ 劃分(Partition)成 $k$ 個"等量"的子集 $S_1, S_2, ..., S_k$ . 令 $\boldsymbol{\mu_i}$ 代表 $S_i$ 的均值, 我們的目標是:
$\min \sum_{i=1}^k\sum_{\boldsymbol{x}\in S_i}||\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu_i}||^2.$

2. 限容的聚類問題(Size-constrained clustering)

給定點集 $X=\{\boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{x_2}, ..., \boldsymbol{x_n}\}$ , 其中每個點是一個 $d$ 維實向量. 給定常數 $LB$ , $UB$ 且 $LB\leq UB$ . 我們把 $X$ 劃分(Partition)成 $k$ 個"滿足容量限制"的子集 $S_1, S_2, ..., S_k$ , 即 $LB \leq |S_i|\leq UB$ , $\forall i$ . (注意: $k$ 不是輸入參數.) 令 $\boldsymbol{\mu_i}$ 代表 $S_i$ 的均值, 我們的目標是:
$\min \sum_{i=1}^k\sum_{\boldsymbol{x}\in S_i}||\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu_i}||^2.$

3. 限權的聚類問題(Weight-constrained clustering)

給定點集 $X=\{\boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{x_2}, ..., \boldsymbol{x_n}\}$ 和權重 $w_1, w_2, ..., w_n$ , 其中每個點是一個 $d$ 維實向量. 給定常數 $LB$ , $UB$ 且 $LB\leq UB$ . 我們把 $X$ 劃分(Partition)成 $k$ 個"滿足容量限制"的子集 $S_1, S_2, ..., S_k$ , 即 $LB \leq w(S_i)\leq UB$ , $\forall i$ , 其中 $w(S_i)$ 代表 $S_i$ 對應的權重之和. (注意: $k$ 不是輸入參數.) 令 $\boldsymbol{\mu_i}$ 代表 $S_i$ 的均值, 我們的目標是:
$\min \sum_{i=1}^k\sum_{\boldsymbol{x}\in S_i}||\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu_i}||^2.$

說明

1. 計算復雜性

我們知道k-means是NP-hard. 甚至當 $k=2$ ^[1]以及平面上的k-means也是NP-hard^[2]. 與k-means相比, 問題1要求每個聚類(cluster)的元素個數相同. 那么它的復雜性也是NP-hard嗎?
如果上述問題限制在 平面上的二維向量, 其計算復雜性是否NP-hard? 這是我們在實際應用中關心的問題.
問題1是問題2的特殊情況: 令 $LB=UB=n/k$ .
問題2是問題3的特殊情況: 令 $w_i=1$ , $\forall i$ .

2. 優化目標

上述3個問題的目標函數都是相同的,即最小化中心點到聚類點的距離( $L_2$ 范數)之和. 我們也可以考慮其它的優化目標, 例如最小化最大半徑. 甚至也可以考慮用圖的方式對上述問題建模(參考k-median, k-center).
在實際應用中, 我們期望做到每個類盡量集中. 因此, 無論上述問題用什么優化目標, 我們真正期望的不一定是最優解, 而是讓結果"看起來"可以接受. 從計算角度來看, 我們希望高效且解的質量可以接受的算法.
從建模的角度來看, 我們是否有可能找到一種建模方式, 例如找到一種目標函數, 使得問題本身的計算復雜性可以降低成P問題? (且在實際中我們能接受這樣的目標)

參考文獻

M. Garey, D. Johnson, H. Witsenhausen. The complexity of the generalized LIoyd - Max problem. IEEE Transactions on Information Theory. 28(2): 255-256, 1982. ?
M. Mahajan, P. Nimbhorkar and K.Varadarajan. The planar k-means problem is NP-hard. Lecture Notes in Computer Science. 5431. pp.274-285, 2009. ?

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一些聚類問題

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