多數(shù)人眼里，數(shù)字就是數(shù)學的全部。他們眼里的數(shù)學家，就是天天數(shù)數(shù)，大數(shù)，更大的數(shù)，然后給它們起一些洋氣的名字。我曾經也是這么覺得——至少，在Evgeny Evgenievich引導我了解現(xiàn)代數(shù)學的概念和思想之前我是這么覺的。然而這些內容里就包括發(fā)現(xiàn)夸克結構的關鍵：對稱的概念。
什么是對稱？每個人都有直觀的認識——看到就知道它是否對稱。當我讓你舉一個對稱物體的例子時，往往都會想到蝴蝶，雪花或人體。
但是如果我問他們，對稱意味著什么時，他們無語了。
下面是Evgeny Evgenievich如何向我解釋對稱的。“讓我們看一下圓桌和方桌，”他指著辦公室里的兩個桌子。“哪一個相對更對稱呢？”
“當然是圓桌，不是很明顯嗎？”
“但為什么呢？作為一個數(shù)學家，你不能用明顯這樣的詞來證明，而要去總結。很多時候，你會驚訝一些看似正確的答案實際上往往是錯誤的。”
看到我困惑的表情，Evgeny Evgenievich給我一個提示：“決定圓桌看起來更對稱的關鍵是什么呢？”
過來一會，我想到了一點，說到：“我覺得，一個對象的對稱的本質就是當我們嘗試改變它時，它仍然能保持自己形狀和位置的不變。”
Evgeny Evgenievich點點頭。
“確實，讓我們看一下這兩個桌子，在保持形狀和位置不變的前提下，我們可以如何移動它們。”他說道：“對于圓桌而言……，”
我打斷了他：“圍繞中心點的任意旋轉角度都可以，我們都會得到一模一樣的圓桌。但是如果我們對方桌任意角度旋轉的話，方桌的位置很可能會不一樣。只有旋轉九十度或其倍數(shù)的情況下，它才保持自己的形狀和位置不變。”
“完全正確！如果你離開我的辦公室片刻，而我任意角度旋轉圓桌，你不會發(fā)現(xiàn)它的不同。但如果我對方桌做同樣的事，除非我旋轉了九十，一百八，兩百七，否則你會注意到它不一樣了。”
圓桌旋轉任意角度都不會改變其位置，而方桌旋轉任意角度（不是九十度的倍數(shù)）就會改變其位置（如上圖所示）
他繼續(xù)道：“我們稱這樣的變換為對稱。你可以看到，方桌只有四種對稱方式，而圓桌的對稱方式則多得多——實際上有無窮多個對稱方式。這也是為什么我們說圓桌更對稱。”
這個過程意味著很多。
“這還是一個直觀客觀的觀察，”Evgeny Evgenievich繼續(xù)著，“即使你不是數(shù)學家也能看懂這些。但如果你是一個數(shù)學家，你就會問下一個問題：對一個已知對象，會有多少種可能的對稱方式呢？”
讓我們還是以方桌為例。它的對稱方式是圍繞桌子圓心的四個旋轉角度：逆時針分別旋轉90,180,270和360。一個數(shù)學家會說，方桌對應的對稱集合（set）里包含四個元素，分別是90,180,270,360.如下圖所示，每個旋轉角度各自對應下圖4個角中的某一個。
其中有一個特殊的角度，名義上，旋轉360度和旋轉0度的效果是一樣的，都是沒有旋轉的效果。因為現(xiàn)實中對物體并沒有作用，所以這是一個有點特殊的對稱元素：桌子的每一個點在旋轉結束后都和以前的位置精確的一致。我們稱這類元素為單位元。
注意當旋轉的角度大于360度時和在0~360度之間旋轉的效果是完全一樣的。比如，旋轉450度和旋轉90度的效果響度，因為450?= 360 + 90.這也是為什么只考慮0~360之間的旋轉角度。
這里是一些重要的地方：如果我們從{90,180,270,360}隊列里面的找出兩個元素進行旋轉，一個接一個，其結果等同于我們在同一個隊列里面旋轉了另一個不一樣的角度。我們把這種行為稱為組合。
當然，很明顯，無論怎樣組合，桌子的位置都不會改變。因為這種兩個對稱分別保持位置不變，這個組合的結果也肯定是一種對稱（位置不變）。比如，我們旋轉了90然后在旋轉180，這個結合和旋轉270是一樣的。
讓我們看看這些桌子在對稱下會有什么特性。逆時針旋轉90度，桌子的右頂點（在上一個圖片上用圓球表示的頂點）將會變成上面的頂點，接著我們旋轉180度，這是上面的頂點變到了下面。而這個最終結果則是右頂點變成了下面的頂點。這個結果和逆時針旋轉270度則是一致的。
這是另一個例子：
首先，我們可以任意組合兩個對稱元素（一個接一個的旋轉角度）
接著，這里有一個特殊的對稱，單位元對稱（Identity Element）。在我們的例子里，這個單位元對稱的角度是零度。如果我們用這個角度和其他任意的對稱角度組合的話，我們會獲得相同的對稱效果（0度不起作用）比如，
最后，對于任意的對稱元素S，都會有一個逆的元素，使得兩者組合生成的新元素是一個單位元對稱元素（相互抵消作用，等于沒變化）
這里，我們來到了重點：圍繞這三個結構的旋轉隊列，就是數(shù)學家所稱的群（group，群是一種代數(shù)結構，由一個集合以及一個二元運算所組成）這個概念。
其他任何對象的對稱元素也可以組成一個群，通常會有更多的元素，如果可能，會有無限多個。
讓我們看看，如果是圓桌的話，這個組合是什么情況。現(xiàn)在我們對對稱已經有了一些認識，我們可以知道圓桌的對稱集合就是所有可能的旋轉角度（而并不僅僅是九十度的倍數(shù)），而且我們可以設想這個集合就是組成一個圓的所有點集。
這個圓上的任意一點都對應0~360之間的一個角度，表示圍繞圓桌的圓心，逆時針旋轉的角度。有點特殊的是，有一個特殊的點對應旋轉零度。它在下面的圖片中標記了出來，和它一起的是對應旋轉三十度的一個點。
我們不應該把這個圓上的點認為是圓桌上的點，而是認為圓上的每一個點都是圓桌的一個特定的旋轉角度。注意，相比我們的圓，圓桌本身并沒有一個明顯的起始點，這個點能夠對應初始化的零度。
現(xiàn)在，讓我們來看看在圓中對應的點集合，是否也有如上的三個結構。
第一，ω1和ω2對應兩個角度的組合，也就是旋轉ω1+ω2，如果ω1+ω2超過了360度，我們可以減掉360度。在數(shù)學上，這稱之為360的余數(shù)。比如，如果ω1是195度，ω2是250度，兩個角度的總和為445，而旋轉445和旋轉85的效果是一樣的。所以，在下面的圓桌旋轉的群中，我們可以得到：
第二，圓上有一個特殊點對應旋轉零度，這個點是圓群的單位元
第三，逆時針旋轉的ω角度的可逆點則是逆時針旋轉(360-ω)角度，或者對等的是順時針旋轉ω角度（看下面的繪制圖）
因此，我們已經描述了圓桌的旋轉群。我們稱之為圓群(Circle group）。不像方桌的對稱群（只有四個元素），這個群有無窮多個元素，因為在0~360度之間有無窮多個角度。
現(xiàn)在我們在理論的層面上，有了一個對對稱的直觀理解——確實，我們還需要把它轉換成一個數(shù)學的概念。第一，假設給定對象的對稱是保證其和其屬性的不變的情況下的一種轉換。接下來，則是關鍵的一步：我們把重點放在給定對象所有對稱元素的集合上。方桌是四個元素（九十度的倍數(shù)）；圓桌是一個無限集合（圓上的所有點）。最后，我們稱這個整潔的結構（neat structure）為對稱集合：任意兩個對稱元素都可以組合生成另一個對稱元素，這里存在一個單位元對稱元素，而且對于每一個對稱元素，都有一個可逆的對稱元素。（對稱的組合同時也滿足頁腳備注中對相關屬性的描述）。因此，我們得到了數(shù)學概念上的群（集合+運算）。
一個對稱群是一個抽象的對象，和我們最初提到的具體物質完全的不同。我們不能觸摸或者獲取一個桌子的對稱集合（不像桌子本身），但我們可以設想出來，繪制它的元素，研究，討論它。每一個抽象集合的元素都有一個具體的意義，比如：它可能表示一個具體對象的一個特殊轉換：對稱。
數(shù)學是類似抽象對象和概念的研究。
經驗顯示，對稱是自然法則中的一項關鍵性的指導原則。比如，雪花是有一個完美的六邊形形成，這被證明是水分子結晶所需要的最低能量狀態(tài)。雪花的對稱是60度的倍數(shù)的旋轉方式；分別是60,120,180,240,300,和360（和0度效果一樣）。另外，我們可以按照雪花的6個軸的任意一個做對應的旋轉。所有的這些旋轉和反轉都保證雪花的形狀和位置不變，因此這些就是它的對稱。
再比如一只蝴蝶，把他從上向下反轉，原先在一側有腿，反轉后沒有了（腿被翅膀擋住而看不見了），嚴格說，這個方式不是蝴蝶的對稱。當我們說蝴蝶是對稱時，我們說的是一個理想情況下的對稱，在這個情況下，他的前后完全的一樣（這和實際中的蝴蝶并不一樣）。然后反轉交換左右翅膀，從而形成了一個對稱。（或者，你可以設想不用反轉蝴蝶，而只是交換翅膀）
這告訴我們一個重要的信息：自然中的很多物體只是近似對稱。一個現(xiàn)實中的桌子不會是完美的圓形或方形，一個現(xiàn)實的蝴蝶的前后面也是不對稱的，而人的身體也不完全對稱。，盡管如此，考慮抽象的，理想的情況下，模型化一個完美的圓桌，或設想一個前后都沒有差別的蝴蝶時，也被證明是非常有用的。接著，我們就會挖掘這些理想對象的對稱，從對他們的分析中調整我們的推理，從而總結出顯示的物體和它的模型之間的不同處。
這并不是說非對稱是沒用的；我們也實實在在的在非對稱中找到他們的美。但數(shù)學理論中的對稱的重點不是審美角度的。而是在普遍情況下形成對稱概念的公式化，因此也不可避免的用到更為抽象的術語，從而可以以統(tǒng)一的方式應用在不同的領域，比如幾何，數(shù)論，物理，化學，生物等領域。一旦我們發(fā)展了這樣的一個理論，我們可以討論對稱結構的那些新的進展——如果你愿意討論新興的視覺對稱。舉個例子，基本粒子取得質量是因為一種它們需要遵循的稱之為規(guī)范對稱性的規(guī)范（我們會在第16章討論）被打破所獲得。希格斯波色子的發(fā)現(xiàn)（一種難以捉摸的例子，最近在日內瓦LargeHadron Collider所發(fā)現(xiàn)）使得這一理論得以證實。類似規(guī)范對稱性的研究創(chuàng)造了不可估量的的價值，是對基礎自然物質的行為的洞察的主要準則。
我想指出一些關于對稱抽象理論的基本屬性，因為這確實是證明數(shù)學為何重要的很好的例子。
第一是通用性。圓群不僅僅只是圓桌的對稱群，也可能是其他所有的圓形物體，玻璃杯，瓶子，柱子等等。實際上，我們說給定的物體是圓形的，和我們說它的對稱群是一個圓群的意思是一樣的。這是一個強有力的聲明：我們意識到，我們想描述一個物體重要的屬性（round），可以通過描述它的對稱群（circle）來實現(xiàn)。同樣，方形意味著對稱群是如上的四個元素的群。換句話說，同一個抽象數(shù)學對象（比如圓群）可以表示很多具體的對象，而且都指向他們所共有的通用性屬性（圓）。
第二是客觀性。群的概念，和我們各自的理解是獨立的。對于任何學習它的人，它的含義都是相同的。當然，為了了解它，我們需要掌握能夠表達它的語言，就是數(shù)學的語言。但任何人都能學習這門語言。比如，如果你想明白法國作家的一句名言（我思故我在），你就需要懂法語（至少是這句話里面用到的法語單詞）——這對任何人都可以學。盡管如此，一旦我們理解了它，還是可能有不同的理解。同樣，不同的人會對同樣的話的不同理解有不同的意見和判斷。對比之下，數(shù)學定義上的邏輯一致性則不是主觀的解釋。進一步講，它是一種客觀的真理。（一般而言，一個特定定理的真實性依賴于它所立足的定理體系。而這些依賴的定理本身也是客觀的。）比如，一個圓桌的對稱群是一個圓，這對任何人，任何地方在任何時間都是真實的。換句話說，數(shù)學的真理是必要的真理，我們會在后面的第十八章講到。
第三，相對而言，定理的正確性經得住推敲。勾股定理對古希臘人們的意義和她對當代人們的意義是一樣的，很少有人會對此生疑，而且也可以肯定，它對未來的人們的意思也是一樣的。同樣，本書中我們討論的所有真正的數(shù)學聲明也是永恒的。
現(xiàn)實中，存在這種客觀的，經得住考驗的知識（更有甚者，它屬于全人類）簡直就是奇跡。它揭示了，數(shù)學的概念存在于一個隔離于身體和心理的世界之外——那是一個類似柏拉圖的數(shù)學的世界（我們會在接下來的章節(jié)中介紹）。我們至今還不能完全的明白那是什么，也不了解是什么驅動了數(shù)學的發(fā)現(xiàn)。但明顯的是，這個隱蔽的現(xiàn)實注定在我們的生活中發(fā)揮越拉越大的作用，特別是新的計算機技術和3D打印的問世。
第四個特質就是數(shù)學和物質世界的相關性。比如，在過去的50年里，量子物理取得了長足的進展，這也得益于對稱概念在基本粒子和相互之間作用的應用。從這點來看，一個粒子，比如電子或夸克，就類似一個圓桌或雪花，它們的行為很大程度取決于它們的對稱特性（一些是完全一致，一些是近似的）。
夸克的發(fā)現(xiàn)就是一個很好的例子，說明了數(shù)學在其中的作用。讀了Evgeny Evgenievich給我的書，我了解道，之前在前面章節(jié)討論的Gell-Mann和Ne‘eman對強子的分類的本質就是一個對稱群。數(shù)學家早已研究過這個群——盡管數(shù)學家并不參與任何和粒子研究相關的內容。數(shù)學上對其的命名為SU(3)。這里，S和U表示一個特殊的單體。這種群的屬性和球面對稱群的屬性非常相似，我們會在第十章詳細介紹。
數(shù)學家很早就描述的SU(3)群的特征，這和描述SU(3)被認為是對稱群的方式并不相同。Gell-Mann和Ne’eman注意到了這些表象的結構和他們所發(fā)現(xiàn)的強子的模式之間的相似處。他們用這些信息來對強子進行歸類。
表現(xiàn)這個詞在數(shù)學里面是一種特殊的使用方式，這個我們日常的使用方式并不一樣。讓我們暫時先解釋一下在目前的章節(jié)里它所代表的意義。或許我先給一個例子會有助于理解。回憶一下之前討論的圓桌的旋轉群，就是一個圓群。現(xiàn)在設想這個桌面全方面的無限擴展。這是我們得到了一個抽象的數(shù)學對象：一個平面。這個桌面圍繞中心的一次旋轉，意味著這個平面繞著該點的一次旋轉。因此我們得到了一個法則，這個平面的對稱元素就是圓群的每一個元素。換言之，圓群上的每一個元素都可以在這個面的對稱群中找到。為此，數(shù)學家引入的圓群能夠展現(xiàn)這個過程。
現(xiàn)在，平面式一個二維空間，它有兩個坐標軸，每個點都有兩個坐標（X，Y）：
因此，我們說我們構建了一個旋轉群的二維表象。可以簡單的認為旋轉群中的每一個元素都可以找到對應平面中的對稱元素。
當然也有大于兩個維度的空間。比如，我們生活的三維空間。它具有三個坐標軸，因此要確定一個點的位置，則需要確定三個坐標（X，Y，Z），如下圖所示：
我們無法想象一個四維的空間但是數(shù)學家給我們一個通用的語言，讓我們可以討論任意維度的空間。名義上，我們可以用一個四元的數(shù)（quadruples of number）來表示一個四維空間的點（X，Y，Z，t），正如同用三元的數(shù)（X，Y，Z）來表示三維空間的一個點那樣。同理，我們可以用n倍數(shù)來表示n維空間中任意一個自然數(shù)n的位置。如果你曾經用過制圖軟件，你應該遇到過n倍數(shù)的情況，它們以行的形式出現(xiàn)在表格中，每N個數(shù)都對應所存儲數(shù)據(jù)的一個特定屬性。，因此，表格中的每一行都對應n維空間的一個點。（我們會在第十章詳細討論空間維度的多樣性）。
如果群中的任意一個元素，能夠用一致的方式，在n維空間的對稱群中找到對應元素，我們認為這個群是n維的一個表象。
已知一個給定群可以表示不同維度的表象。基本粒子可以是8或10個粒子組成的原因正是已知SU(3)群有8維或10維的表象。8個粒子的構建中，一一對應8維空間下的8個坐標軸，同理10個粒子也是如此。（但粒子不能由7或11個粒子組成，正是因為數(shù)學家證明了SU(3)群中不可能有7維或11維的表象。）
起先，這是一個方便的方式來讓相同屬性的粒子組合。但Gell-Mann有了更深入的發(fā)現(xiàn)。他假設在分類方案中還有一個深層次的原因。他大概的說到，這個方案的效果非常好，主要因為強子由更小的粒子組成——有時，3或4個粒子所組成的夸克。物理學家獨立的創(chuàng)造了一個相似的建議。
這是一個絕妙的建議。不僅打破了當時大眾對質子和中子的看法，同時對于強子這種看不見的基本粒子，也認為它們之間的電量就是電子電量的殘余。這是一個讓人吃驚的預測，因為沒人能夠看到這樣的粒子。當然，不久實驗證明，如同預測那樣，夸克間確實存在殘余的電量。
是什么促使Gell-Mann和Zweig猜測夸克的存在？正是SU(3)群的表象所表現(xiàn)的數(shù)學理論。具體說來，SU(3)有兩個不同的3維表象。（實際上，正如這個群的名字里面有一個3）。Gell-Mann和Zweig建議，這兩種表象應該代表兩個不同的基礎粒子家族：3個夸克和3個反夸克。證明SU(3)中的8個或10個表象都是由三維構建而成。同時也給了我們一個精確的藍圖，通過夸克了解強子是如何構建——就像樂高玩具。
Gell-Mann認為夸克有三種情況：上，下和奇。一個質子有兩個上夸克和一個下夸克組成，而中子由兩下一上組成，如同先前我們所看的圖片所示。這兩種粒子都屬于先前章節(jié)中圖標所示的8重結構。而在8重結構中其他粒子則和上下夸克類似涉及到奇夸克的存在。也有的8重結構中由正反夸克組成。
夸克的發(fā)現(xiàn)時一個很好的例子，如同在前言所討論的一樣，揭示了數(shù)學在科學中至高無上的作用。這些粒子不是基于經驗數(shù)據(jù)的預測，而是建立在數(shù)學對稱模式的基礎上。這是一個純粹的理論預測，所用的是一個SU(3)對稱群這個成熟的數(shù)學理論框架。物理學家花了很多年來掌握這一理論（實際上早起有些人還反對這一看法），但是現(xiàn)在卻是基本粒子物理學的給養(yǎng)。它不僅提供了強子的分類，也指引我們發(fā)現(xiàn)了夸克，永遠的改變了我們隊物理現(xiàn)實的理解。
設想一下：看上去高深莫測的數(shù)學理論賦予我們力量，使得我們可以直入自然這座堡壘的心臟。我們怎能不被這魔幻般和諧的細小的物質所吸引，如何不為數(shù)學揭開宇宙內部的機理的能力所折服？
隨著故事的發(fā)展，愛因斯坦的妻子Elsa，早在聽說位于威爾士觀察站的望遠鏡需要用來確定時空的形狀前，說到：“一個月前我丈夫已經在在一個舊的信封背面完成這些工作”。
物理學家確實需要昂貴和熟練的機器，類似位于日內瓦的大型強子對撞機，但讓人驚訝的現(xiàn)實是，類似愛因斯坦和Gell-Mann這樣的科學家，使用看上去如此純粹，這么抽象的數(shù)學知識來揭開圍繞我們的這個世界的最隱蔽的秘密。
不管我們是誰，我們相信什么，我們都共享這些知識。它將我們之間的距離拉近，并讓我們對宇宙的愛有了新的意義。
