光子晶體存儲器，是基于量子光學理論，利用光學相干瞬態效應，制造具有特殊光學性質的超材料構造體即光子晶體，使用該構造體對光信號進行全光形式存儲和讀取。

? ? ? ? 由于晶體本身構造是通過極小孔徑加工實現，每一個?級極小孔徑均可存儲光信息，故該介質可存儲非常大量的光子狀態，從而得到極大的信息存量。

? ? ? ? 該介質可通過光子晶體的光子回波機制直接加密，可以通過自感應透明機制對存儲的光信息進行飛秒級銷毀。

一.光學相干瞬態在光子晶體中的數學模型

? ? ? ? 光學相干瞬態過程,是指用光脈沖作用于介質的持續時間遠小于介質的弛豫時間(T1、T2)。介質對光場的響應,與介質對這一考查時刻之前對入射光場(振幅和相位)的“記憶”有關。要完全確定激光誘導的介質極化場,需同時確定其振幅和相位。雖然納秒和皮秒量級弛豫時間的相干瞬態過程已被廣泛研究,但在光頻段,極化場的振蕩周期為幾個飛秒,所以,盡管飛秒量級和納、皮秒量級的極化場信號的振幅在特性上并無明顯區別,但只有在飛秒尺量下才能確定其相位特性。

1.1光學相干瞬態的若干種典型現象介紹

1.1.1光學章動

? ? ? ? 在一定的條件下，體系在光場的作用下，體系的激發程度將會隨時間作振蕩，這種振蕩行為稱為光學章動。光學章動首先由Tang等人與磁共振情形的進行類比而被預言和觀測到。光學章動現象，是指以一個前沿上升時間極短的方形激光長脈沖入射到共振介質中，介質對入射光并不是簡單地呈現出平穩吸收(吸收介質)或放大(增益介質)，而是經歷一段有限的弛豫振蕩式的反應，而后才過渡到穩定的狀態(設入射方脈沖激光持續時間足夠長)。在實驗上的表現則是，在其時間波形的前沿部分呈現出準周期性的減幅振蕩；起伏振蕩的頻率隨入射光場的增強而提高，起伏振蕩的阻尼時間則由介質的弛豫時間特性T2所決定。光學章動的物理實質，是反映了在瞬態相干作用條件下，強相干光場與共振介質相互作用交換能量過程中的弛豫振蕩性質。以共振吸收介質為例，在強光場剛開始入射的瞬間，大部分工作粒子被同步激勵到高能級，此時伴隨著入射光能量的明顯吸收；稍過一時刻，處于激發態的大部分工作粒子在入射光場作用下以受激(相干)發射方式重新輻射出光能并回到低能級，此時伴隨著通過光強的明顯增加；上述過程的繼續重復進行，就導致透射光強的準周期性振蕩起伏。如果進一步考慮共振介質的有限的弛豫時間特性的影響，則自然可以想象，上述涉及到強光場與共振介質粒子體系間相干作用的特征行為只能發生在小于T2的時間尺度范圍內，因此起伏振蕩具有有限的阻尼時間特性。當用一個階躍型脈沖：

去相干激發二能級體系，此系統將在上、下能級之間交互躍遷而吸收和發射光子。由于均勻、非均勻展寬等耗散因素的影響，Rabi振蕩將會逐漸消失，這提供了一種測量這些展寬因子的方法。

1.1.2自感應衰減

? ? ? ? 光學章動是一恒定的強光場突然與介質發生共振作用時的瞬態相干效應。進一步考慮，當上述強光場與介質的作用經過一段時間已達到穩定狀態之后，用某種方法突然去掉入射光場的作用，則可以想象，共振介質內的感應電極化波場并不隨之突然消失，而是在t<T2的時間范圍內，繼續輻射出相干光波場，只不過將隨時間的增大而迅速衰減。這種現象，稱為光學自由感應衰減。在磁共振中也有與此相類似的現象。Brewer和Shoemaker首先用Stark頻移技術觀察了自由感應衰減現象，當原先與入射的連續激光相共振的一群粒子突然被從共振頻率移開一個失諧量時，由這些粒子產生的自由感應衰減輻射就可以與激光場混頻，產生指數衰減的拍頻信號。

? ? ? ? Rabi頻率為Ω的光場在t=-∞時開始對均勻展寬介質進行激發，到t=0時達到穩態。光場突然消除后，u、v、w矢量已具有了一個穩定值，這樣體系并不立即回到熱平衡狀態，而是繼續輻射一個波，這個輻射場將以Γ2的速率減衰減，這時我們得到線性的或者說是一級的自由感應衰減。一級自由感應衰減輻射的頻率是躍遷頻率而不激發光場的頻率。

? ? ? ? 設在t<0的時間范圍內入射光場與介質的共振相互作用已達到穩定狀態，在t=0時刻，入射光場突然停止，這時可認為Ω=0，在t≥0階段，介質向外輻射信號，對非均勻展寬介質，激發帶寬比非均勻展寬窄得多時(激光的線寬遠小于Γ2，其輸出信號的強度為

? ? ? ? 信號的衰減由兩部分組成，第一是時間常數為T2的均勻部分，這是由引起能級衰減和相干性衰減等因素產生的。第二是時間常數為

的非均勻部分，是由初始穩態預置階段激發的非均勻帶寬產生的，在適當高的激光強度下，這種非均勻退相的弛豫作用將會占優先，以致大大超過均勻退相時間，從而使自由感應信號更快地衰減。如果激光的線寬遠大于非均勻展寬，那么，自由感應衰減信號的衰減速率就是Γ2*。實際上，對于非均勻展寬體系，如果Rabi頻率足能使體系稍微產生一點躍遷飽和的話，那么自由感應衰減信號中將出一個新成分，這個成分是強度依賴的，被稱為三級自由感應衰減，因為它的振幅與Rabi頻率的二次方有關。三級自由感應衰減是以橫向弛豫時間T2衰減，由于一般有T2>>T2*，因而一級和三級自由感應衰減在時間上是可以分開的。*

? ? ? ? 但復雜的情形是，在自由感應衰減中，如果強光場作用于非均勻展寬介質，Bloch矢量沒有達到穩態，這時自由感應衰減信號中會出現振蕩信號。Schenzle等人首先從理論上證明了這種現象，他們詳細計算了不同光強下非均勻展寬體系自由感應衰減信號的線型。當激發脈沖的面積大于2π時，自由感應衰減信號將出現振蕩，光強越大，振蕩也越快，而且振蕩會在脈沖作用后2倍的脈寬時間內衰減完。Shakhmuratova等進一步從該理論出發，在NMR中研究了強非均勻展寬體系自由感應衰減的振蕩行為。這樣的振蕩已經在實驗中觀察到了。

? ? ? ? 從自由感應衰減信號中，可以直接得到均勻展寬體系的T2，而要得到具有非均勻頻率分布體系的均勻展寬的退相時間，就需要使用用非線性技術，如光譜燒孔、光子回波等。Bratengeier等人從理論和實驗上研究了非均勻展寬具有離散的頻率分布情形下的自由感應衰減，這時可把系統看成是具有確定退相時間的單個躍遷頻率之和，自由感應信號指數衰減線型依賴于統計相位相關、量子態的相干疊加等因素。

1.1.3光子回波

? ? ? ? 在超輻射效應中，輻射強度隨著非均勻退相過程而減弱，退相過程破壞了偶極矩的有序排列，使得宏觀極化強度減小，但能量卻保持在體系之中。如果退相過程在時間上可逆的話，則可從樣品中得到暫時儲存的相干輻射能量，光子回波就是體系在恢復相位時產生的相干自發輻射現象。由非均勻展寬導致處于不同環境中的原子或分子具有不同的共振頻率。這意味著這些偶極矩以不同的頻率進動。如果通過相干激發使進動的偶極矩最初都同相排列，然后它們會象自由感應那樣相干地輻射，然而，由于它們的進動頻率不同，偶極矩相位大約會在T2*時間內變得相互不一致。這將導致相干輻射的消失，這時，如果用某種方法能使失相了的偶極矩重新獲得一致的相位，那么，相干輻射就會重新出現。Hahn首先在磁共振中發現了自旋回波現象，這表明使偶極矩重新取得一致的相位確實是可能的，這種現象是某種類型統計動力學過程的可逆性演示。與自旋回波相類似的光學現象，稱為光子回波，Hartmann等人預言和觀測到這種現象。

? ? ? ? 光子回波的過程，可以簡述如下：對一個具有共振分布的二能級系統的集合，在滿足相干作用的條件下，用兩個強短脈沖相繼入射到共振吸收介質中，其中第一個脈沖面積為π/2，第二個脈沖面積為，兩個脈沖的間隔為π，則在滿足條件τ0<T2,T1下，第二個脈沖通過介質后的約τ3時刻，介質將在空間確定方向上發射第三個相干定向光脈沖，這個脈沖就是光子回波。光子回波的產生，主要不在于兩個入射脈沖與介質能量交換的結果，而本質上是共振介質對入射強短脈沖保持有“相位”記憶的能力：在第一個脈沖作用下，粒子被激勵到由上、下能級組成的相干態，并產生了宏觀感應電極化，當第一個π/2脈沖通過后，感應電極化效應不隨之消失，只不過由于有限退相弛豫時間(主要是T2*)的影響，使得不同粒子的感應電偶極矩間的相對相位關系逐漸消失，因此宏觀電極化電隨之減弱；第二個脈沖入射結果，主要是使不同感應電偶極矩間的相位發生逆轉，從而在經過大約時間后，使得介質的宏觀感應電極化重新因為恢復到同位相而達到極大，并相應輻射出第三個光脈沖——光子回波脈沖。所以，第一個π/2脈沖的作用是在介質內產生感應電極化，而第二個脈沖的作用，是用來補償由于弛豫作用而導致的感應電極化相位的消失，或者說是使失相位過程發生倒轉，而當這種補償或倒轉過程剛好完成時，感應電極化值又恢復到極大并輻射出光子回波脈沖。

? ? ? ? 最早，理論上處理光子回波的問題，采用了類似于處理自旋回波的數學方法，這種處理方法的物理圖象不夠直觀，但它所推導的結果與實驗結果符合的較好。Lamber等人用這種方法研究了近簡并能級的光子回波特性。為有清晰的物理圖象，現在廣泛采用的理論處理方法是分時間段分別求解光學Bloch方程，即把整個時間軸分成第一個脈沖作用時間段、自由感應衰減時間段、第二個脈沖作用時間段、自由感應衰減時間段(在這個時間段出現光子回波)。在t=0時，可令u(0)=v(0)=w(0)=-1，以此為初值，可求得第一個時間結束時的u(t),v(t),w(t)，把它作為初值代入下一個時間段Bloch方程的求解，依次代下去，最后可得到光子回波的極化強度為：

? ? ? ? 光子回波的產生并不一定嚴格要求第一個脈沖面積為π/2，第二個脈沖面積為π。原則上，兩個脈沖面積可以是任何值，這時退相過程和相位重新一致的過程都依舊起作用。

? ? ? ?光子回波的強度、出現的精確時刻、光譜結構等性質，與共振介質的能級結構、躍遷參數、弛豫時間和光譜共振特性等因素有關。因而，光子回波的技術，廣泛應用于研究橫向弛豫時間和凝聚態物質中各種參數之間的關系，可以更好地理解各種橫向退相的機制。

? ? ? ? 在瞬態相干光學研究領域，光子回波一直得到廣泛的研究和應用。理論上有人發展了其他理論模型，如用撞球模型(Billiard-ball)解釋光子回波。Maudsley等人研究了一個能級向另一個能級相干躍遷的光子回波行為。Grischkowsky等人研究了強場下的回波行為。

? ? ? ? 介質環境對光子回波影響，開始于Compann的工作，他在實驗上研究了在Al2O3中Cr2O3含量從0.006~1.6 wt.%濃度對光子回波衰減的影響。Lamber研究在淡紅寶石中超精細相互作用的光子回波行為。近年來，受調制的光子回波行為的研究一直受到關注。

? ? ? ? 由于飛秒激光器的發展，使光子回波技術可以在室溫下研究液體、蛋白質等物質的動力學過程。光子回波技術也被廣泛用應于研究固體的動力學過程，Gantsevich等人建立了半導體的飛秒光子回波理論。光子回波是觀察半導體中激子的多重結構的有力工具，尤其是受激光子回波，由于用了三個序列脈沖，比二個脈沖提供了更多的信息，如Hasegawa等人研究GaSe中激子的受激光子回波的極化。Likforman等人用Fourier變換光譜干涉法測量了在GaAs量子阱中光子回波的振幅和相位。原來光子回波一直主要用于光譜目的，直到長時間隔受激光子回波LTSPE(long-termstimulated photon echo)開辟了光子回波的新的應用，如光學記憶器件。Zhang等人在Er3+:YAG在1.527m觀察到兩脈沖和三脈沖光子回波，這意味著Er3+:YAG可能在相干時域光學記憶TDOM(coheren time-domainoptical memory)中會有重要的應用。

1.1.4自感應透明

? ? ? ? 當足夠強的、有適當波形的激光脈沖通過共振吸收的二能級介質時，吸收為零，好象是透明的。這種現象就稱為自感應透明。它與飽和吸收現象絕然不同。主要特征有：

a)相干作用，飽和吸收是僅由粒子數差決定的非相干作用。

b)透明的脈沖形狀是雙曲正割的、面積為2π的脈沖。

c)在自感應透明現象中，一個面積較大的脈沖會分裂為若干小脈沖，而飽和吸收現象卻不發生脈沖的分裂。

d)在自感應透明現象中，光脈沖在吸收介質中的傳播速度v可以比相速度c/n低得多，有可低到三個數量級。

? ? ? ? 自感應透明與光子回波的不同在于，光子回波的處理可以是薄樣品近似，可以不考慮傳播效應。而自感應透明是是光脈沖與厚樣品的作用，這里必須用Maxwell方程來解決脈沖的傳播問題。

? ? ? ? 自感應透明現象可以用π脈沖的概念來解釋。若初始時w0=-1，即粒子數都在下能級，π脈沖使之變為w0=+1。反之，若初始w0=+1時，即粒子數都在上能級，π脈沖使之變為w0=-1。這樣，我們可以把一個2π脈沖看2個π脈沖：即把前半部分看成一個π脈沖，后半部分也看成一個π脈沖。當2π脈沖進入w0=-1的吸收介質時，前半部分脈沖使w0=-1變為w0=+1；后半部分的π脈沖，又使w0=+1恢復為w0=-。這就意味著，前半部分的脈沖能量被吸收，由于后半部分脈沖的作用，處在上能級的粒子發生相干輻射，被吸收的能量又被完全取出來。這樣介質就呈現為透明的，而且由于2π脈沖與吸收介質交換能量，使得脈沖傳播速度(指波峰的速度)遠小于相速度。

? ? ? ? 從理論上來看，由于自感應透明是非定態脈沖與“厚樣品”的作用，光場隨空間與時間變化，所以，必然研究傳播效應。也就是要用Maxwell-Bloch方程來描述。

1.2量子光學基本理論

? ? ? ?光與物質相互作用的研究經歷了幾個階段，可以用對光波和物質體系的不同描述方法來區分：

a)經典理論：光場用經典光波，物質體系采用粒子數描述；

b)半經典理論：光場用經典光波，物質體系采用量子力學描述；

c)全量子理論：光場與物質體系均采用量子力學描述。

? ? ? ? ?為了簡化討論，我們研究應用的理論為半經典理論，從而引入Maxwell方程、即光與物質相互作用的 基本方程：

可以簡化為：

或寫為：

此為真空中的波動方程表示式。

介質中的Maxwell方程：

場方程：

1.3近似模型

? ? ? ? 在研究光與物質相互作用的理論方法中，無論是半經典理論，還是全量子理論，在處理過程中，還需作必要的近似，這些近似主要有：二能級近似、電偶極近似、慢變近似和旋轉波近似以及絕熱近似等。

a)二能級近似。實際的原子、分子等都有許多能級，但在光場與物質相互作用的許多問題中，可以只考慮直接有關的是上、下二個能級，這就是二能級模型。在這個模型中，若體系的能級差為：

? ? ? ? 這里，ε2、ε1分別為上、下能級的本征能量，ω21為躍遷頻率，ω為激發光場的頻率。則要求該體系的其他能級之間的能量差不與hω接近；同時，還要求體系的從其他能級向這兩個能級，以及這兩個能級向其他能級躍遷的躍遷幾率都非常小。在瞬態相干效應的研究中，對于準單色共振激發下的實驗系統而言，二能級體系是一個很好的近似。

b)粒子之間沒有直接作用。假如光強很小，激活粒子的密度比較低，這時可以忽略粒子之間的直接作用。但是在凝聚態物質如半導體中，這種近似將難以描述一些現象，如Stark分裂等。粒子間的碰撞作用通過唯象引入粒子的弛豫或衰減過程來描述。各個粒子都與同一個光場耦合，粒子之間的這種間接作用，在一定條件下會導致粒子的集體效應，但這并非粒子間的直接作用。

c)電偶極近似。如光場為平面單色光，電場強度E(t)=E0cos(ωt-kr)，其中k為光的波矢。對于可見光，波長遠大于組成體系的粒子的大小，因而，在粒子大小范圍中，電場變化極小，可以看成均勻電場。即在粒子范圍中kr<<1，所以有：E(t)=E0cosωt。這樣，在計算光場與粒子相互作用時，可以認為光場與空間坐標無關，這樣在計算相互作用量對空間積分時，可以把E(t)提到積分號外來。即，

d)旋轉波近似。在處理光與二能級體系作用時，只考慮近共振項(ω21-ω)，而忽略遠離共振的項(ω21+ω)。

e)慢變振幅近似。假定光場和極化強度等可以分解為快變部分e±iωt與慢變部分E(t)P(t)。慢變振幅近擬是指在一個光學周期內的變化可以忽略不計。

f)絕熱近似。假定光場的弛豫時間長(損耗小)，而粒子的變量(偶極矩等)的弛豫時間短，這樣，當光場的慢變部分E(t)變化時，粒子可以很快地、即時地跟隨光場的變化，反之，在粒子的弛豫時間內，光場的慢變振幅可看成與時間無關的常數。

? ? ? ? 我的研究中采用最為簡單而且物理概念明晰的二能級近似模型。

1.4二能級系統

1.4.1二能級近似

? ? ? ? 二能級原子近似：對于稀薄原子氣體，或低溫下的半導體激子，如果激光與共振原子能級近似，則可以采用二能級原子近似處理

體系中只有兩個正交完備的能量本征態、|a> |b>,a為上能態系數，b為下能態系數。

原子躍遷角頻率為：

1.4.2二能級系統中薛定諤方程的矩陣形式

? ? ? ? 處理能級離散的量子系統時，用狄拉克符號和矩陣表述很方便。用右矢代|φ(t)>表系統的量子態，將薛定諤方程寫為：

現取一套任意正交歸一態|j>(j=1,2,……)，將在|φ(t)>其上分解：

其中

代入上式右端，得：

以左式<i|乘兩端：

其中

此即薛定諤方程在離散能級下的形式。上式可寫成矩陣形式，我們的研究前提是二能級系統，即只有兩個能級a和b，上式的矩陣形式為：

此為二能級系統中薛定諤方程的矩陣形式。

1.5密度矩陣

? ? ? ? 光與二能級系統作用的哈密頓量包括自由哈密頓量H0和相互作用哈密頓量V

H=H0+V

由于|a>和|b>是H0的本征態，故有：

則矩陣元：

假設原子沒有固有偶極矩（非極性原子或分子），必有：

Vaa=Vbb=0

V的非對角矩陣元Vab和Vba不為0，因此：

態矢量:

其中|a>和|b>的矩陣形式為：

因其正交歸一化為：

? ? ? ? 態矢量按|a>、|b>展開系數的模方，即|ca|2、|ba|2分別是原子處于|a>、|b>的幾率。

? ? ? ? 由態矢量可以計算任意一個力學量的平均值。

寫為矩陣元的形式，

則有：

定義四個矩陣元：

則力學量平均值算式變為：

? ? ? ? 參考薛定諤方程的矩陣形式，由定義的矩陣元構成的矩陣，就稱為密度矩陣。其中

ρaa=ca*ca

為原子在上能級的幾率；

ρab=cb*ca

為原子在下能級的幾率；

ρab=cb*ca=ρba

比例于復數電偶極矩。

此為密度矩陣元的物理意義。

? ? ? ? 如果一個量子系統的波函數是已知的，該系統稱為純系綜。對于我們應用的二能級系統，|ψ>是已知的，就是純系綜。對純系綜引入的密度矩陣，稱為純系綜的密度矩陣。

1.6光學Bloch方程，M-B方程

1.6.1含時光學Bloch方程的形式

? ? ? ? 對于一個二能級體系，它的時間相關波函數可以寫為ψ(t)=a(t)ψa+b(t)ψb

? ? ? ? 其中a(t)是上能態系數，其基函數為ψa，能量為Ea=hω0/2，b(t)是下能態系數，其基函數為ψb，能量為Ea=-hω0/2，體系的單粒子密度矩陣是：

哈密頓量為：

將P、H用1/2自旋體系表示：

將密度矩陣用一矢量r=(r1,r2,r3,r4)表示，則：

其中I為單位矩陣。

同理H可用矢量ω=(ω1,ω2,ω3,ω4)表示，則

如此，P矢量的各個分量：

同理H的分量：

與這個體系有關的含時薛定諤方程為：

得到：

假設原子沒有固有偶極矩，則Vaa=Vbb=0

所以：

如此可見，此方程類似于一個矢量方程：

此即為含時光學Bloch方程的基本形式。

在磁矩系綜中的Bloch方程為：

? ? ? ? 處理二能級體系與場作用問題，都歸結為求解這個矢量方程，因為波函數與r有唯一的關系，所以知道r（t），在形式上等價于完全指定了這個體系。求解這個方程要求知道初始條件r（0），即等價于求解薛定諤方程時指定。

1.6.2密度矩陣元運動方程

由薛定諤方程：

用密度矩陣的狄拉克符號代入，得到運動方程：

因此，密度矩陣元的一般運動方程為：

此方程為研究相干光學和激光物理學的重要方程。

1.6.3二能級系統的密度矩陣元方程、光學Bloch方程

? ? ? ?對于二能級原子，利用哈密頓量的公式以及密度矩陣元的運動方程，可得到：

又因為：H=H0+V，Vaa=Vbb=0，H0=0，則：

代入

同理：

? ? ? ? 以上三式，就是未考慮原子衰減過程的光學Bloch方程。c.c.為一小量。

? ? ? ? 設原子上下能級的衰減分別為γa、γb，碰撞展寬衰減為γph，則橫向弛豫參數γ⊥=γab+γph，其中

這樣考慮衰減過程，仍然不考慮激發過程，可得光學Bloch方程：

1.6.4光學Bloch方程的簡化

考慮線偏振光與二能級原子的作用，光場：

代入，則：

將ρab(0)(t)作為零級近似，代入：

? ? ? ? 在一般情況下，(ρaa-ρbb)并非是個常數，其是一個隨時間變化的量，因此需要用嚴格的光學Bloch方程描述ρab

令

其中~ρab為慢振幅，將其代入可得到：

同理可得：

以上兩式就是利用旋轉波近似和慢變振幅近似的光學Bloch方程。

定義一組量：

利用

并略去“~”號，可得：

為了計算簡便，令μ=μab

其中μ為極化單位常數，u和v分別為原子電極化強度矢量的實部與虛部，w為二能級系統的反轉粒子數幾率，w0為無外場時的反轉粒子數幾率，ω為二能級系統的輻射躍遷頻率，ω為外加電場的頻率，T2、T1分別為系統橫向和縱向馳豫時間。

定義Bloch矢量B=(u,v,w),其中：

得光學Bloch方程的簡明形式：

其中，δ=ω-ω,R0=μE0/h為共振Rabi振蕩頻率。