四．實數(shù)系．
? ? ? 實數(shù)系就是有理數(shù)系的擴(kuò)充。我們說任何一個有理數(shù)(a/b)是可公度的，但人們發(fā)現(xiàn)存在不可公度線段，或者說，如果我們認(rèn)為毎一線段對應(yīng)著借助于單位長度給出的一個數(shù)，則不可公度線段所表示的數(shù)叫無理數(shù)，這樣的數(shù)在數(shù)軸上是存在的。我們以一個正方形的對角線的長度為例。假設(shè)正方形的邊長為單位長，對角線長為x，根據(jù)勾股定理，我們有x??2＝2，則x＝（根號下2）．如果x與1是可公度的，則可以找到兩個互質(zhì)的整數(shù)p、q，使得x/1＝p/q，即? (根號下2）＝p/q，那么p??2＝2·q??2，可以得出p為偶數(shù)．又設(shè)p＝2k，則q??2＝2·k??2，那么q也是一偶數(shù)，這與p、q互質(zhì)矛盾，所以不存在互質(zhì)的整數(shù)p、q使得? (根號2)＝q/p，即(根號2)不是有理數(shù)。我們把這樣的數(shù)稱之謂無理數(shù)．如果用尺規(guī)在數(shù)軸上標(biāo)出這樣一個線段，則這樣作出的點不可能與任何有理點重合，如下圖(圖略)，從直觀上來看 無理數(shù)(根號2)存在數(shù)軸上，又不等于任何有理數(shù)是不好理解的。因為有理點全體雖然是處處稠密的，且能覆蓋整個數(shù)軸，因此人們研究發(fā)現(xiàn)整個數(shù)軸是由有有理點和無理點覆蓋的，即數(shù)軸的數(shù)是由無理數(shù)? 和有理數(shù)構(gòu)成的，我們稱之謂實數(shù)系．有理數(shù)系雖然是處處稠密，但在數(shù)軸上不具備連續(xù)性，無論相鄰的兩個有理數(shù)構(gòu)成的區(qū)間有多小，總是間斷的，無理數(shù)就像粘合劑，使數(shù)軸上的點連續(xù)不斷，所以實數(shù)系是具備連續(xù)性的數(shù)系。實數(shù)的連續(xù)性是近代分析數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)，是? 建立在實數(shù)的連續(xù)性上的。
? ? ? 在概念上和研討方法上，由有理數(shù)系到實數(shù)系是一個大幅度的躍進(jìn)，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次革命。在人類理性文明的發(fā)展史中，這一躍進(jìn)發(fā)生于公元前五至四世紀(jì)古希臘幾何學(xué)家在對定量幾何基礎(chǔ)理論的深入研究中，由度量長度而產(chǎn)生的可公度性的問題。在這里，我們把里歐索斯(Eudoxus)和希帕索斯(Hippasus)對于人類理性文明的重大貢獻(xiàn)作一簡樸明確的敘述：
