通透數量關系建構數學模型
——例談以“雞兔同籠”問題解法多樣性培養數感及建構模型
樂平市第九小學蔣銘國
摘要：《義務教育數學課程標準（2011年版）》發布，全面重新界定了義務教育階段的數學課程性質及基本理念。數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學教學上升為數學教育。數學教育指向學生數學核心素養的培養。本文旨在以“雞兔同籠”問題教學實踐為例，借助解法多樣性，通透問題情境中蘊含的“千絲萬縷”的數量關系，透過現象，關注數學本質，從而建構數學模型。力求在豐富的思維過程中發展學生的數感能力，促進數學思考，體驗模型思想，增強分析和解決問題的能力。
關鍵詞：數量關系? 數感? 數學思考? 數學模型
“雞兔同籠”問題中的彼此間的數量關系甚為密切，具有“牽一發而動全身”的牽扯，是培養數感的極好范例。在解法多樣性中，數學思考顯得尤為重要。正如鄭毓信教授在《數學思維與小學數學》中所說，“走向數學思維”，并力求實現從“數學地思維”到“通過數學學會思維”的跨越。在思維力的推動下，關注數學本質，觸摸數學模型便水到渠成，順理成章，也實現了發展“人”的教育。
數學是研究數量關系和空間形式的科學。厘清數量關系，培養數感能力，是數學教學的基本任務。建構數學模型，關注數學本質是數學思考的具體體現。現就“雞兔同籠”問題教學實踐中遇到的問題及思考，做交流如下。
“雞兔同籠”問題是北師大版數學五年級上冊“數學好玩”中的內容，課題是“嘗試與猜測”。教材上內容是通過列表法解決問題的，旨在體驗嘗試與猜測的過程，并通過驗證獲得正確結果。
為了進一步豐富數學活動，在數學活動中感受數學本質，促進數學思考力的提升，特意在教材列表法解決“雞兔同籠”問題的基礎上，進行了后續拓展課程，致力于在通透數量關系的基礎上，觸摸問題中的數學本質，建構數學問題模型，進一步有效提升學生的數學思考力。
一、通透數量關系，訓練數感能力
為了讓學生多角度弄通弄透“雞兔同籠”問題中的數量關系，并在感知、理解數量關系中提升數感能力，特借助解法多樣性進行了教學探索與實踐。
例：雞和兔一共有35只，腿有94條，求雞和免各有多少只?
方法一：金雞獨立法
解法思維：所有的雞與兔全部抬起一半的腿，即雞抬起一條腿，兔抬起兩條腿，列式為總腿數除以2。然后再減去雞兔的總頭數，也就相當于雞兔再一次抬起來一條腿。此時剩下的數就是所有的兔剩下的腿數，也是兔的只數。
算式過程為：
94÷2=47（條）? ? ? 47-35=12（只）? ? ? 35-12=23（只）
綜合算式：
94÷2-35
= 47-35
= 12（只）? ? ? ? ? 35-12=23（只）
方法二：砍腿法
解法思維：將所有的雞和兔砍去兩條腿，然后用所有的腿數減去已經砍去的腿數，剩下來的就是兔的腿數，并且每只兔只有兩條腿。然后用剩下的腿數除以2，便可求出兔的只數，從而進一步求出雞的只數。
算式過程為：
35×2=70（條）? ? 94-70=24（條）? ? 24÷2=12（只）? ? 35-12=23（只）
綜合算式：
（94-35×2）÷2
= （94-70）÷2
= 24÷2
= 12（只）? ? ? ? ? ? ? 35-12=23（只）
方法三：假設法
解法思維：假設全部是兔，或者說所有的雞和兔一樣，都長有四條腿。這樣一來腿的條數就會多出來。多出來的腿的條數就是因為雞原本是兩條腿，現在我們假設成了四條腿，也就是說每只雞多出來了兩條腿。所以用多出來的腿數除以2就是雞的只數。
算式過程為：
35×4=140（條）? 140-94=46（條）? 46÷2=23（只）? 35-23=12（只）
綜合算式：
（35×4-94）÷2
= （140-94）÷2
= 46÷2
= 23（只）? ? ? ? ? 35-23=12（只）
方法四：全雞糾偏法【1】
解法思維及過程：假如所有的腿都是雞的，那么有雞47只，即94÷2=47（只）。這意味著有47只雞，事實上是35個頭。如此一來，多出12只雞，即47-35=12（只）。于是把24只雞置換成12只兔，確保減少12個頭，但總腿數沒有變化。所以兔有12只，雞有23只，即35-12=23（只）或47-12×2=23（只）。
方法五：全兔糾偏法【2】
解法思維及過程：假如所有的腿都是兔的，那么有兔23只，雞1只，即94÷4=23（只）……2（條）。這意味著有23只兔，1只雞，事實上是35個頭。如此一來，少了11個頭，即35－23-1=11（只）。于是把11只兔置換成22只雞，確保增加11個頭，但總腿數沒有變化。所以兔有12只，即23－11=12（只），雞有23只，即35-12=23（只）或11×2+1=23（只）。
方法六：解方程法
解：設雞有x只，則兔有（35-x）只，
2x+4×（35-x）= 94
2x+140-4x = 94
46= 2x
2x= 46
x = 23
35-23=12（只）
答：雞有23只，兔有12只。
通過嘗試多種方法解決問題的過程中，孩子們充分感悟了其中蘊含的數量關系，數感能力得到了切實的訓練與提升。事實上，孩子們在解決問題的嘗試中，對其中的數量關系及其“牽一發而動全身”的牽扯捋得更清了，理解得更通透了，也為后續建構數學模型奠定了感性基礎與數學理解。
二、建構數學模型，關注數學本質
當孩子們理解了“雞兔同籠”問題之后，可以拋出其它類似問題。按照教材要求可以采用列表法，通過“嘗試與猜測”，解決問題，獲取問題結果。由于我們有了后續拓展學習，尤其是“砍腿法”與假設法的學習，讓孩子們對“雞兔同籠”問題有了更深刻的理解，于是我們可以引領孩子們進行更加深入數學思考，關注數學本質，從而建構數學模型。
如何關注數學本質，建構數學模型呢？于是拋出以下例題。
例1：有面值5元和10元的人民幣共14張，總值100元，5元和10元的人民幣各有多少張？
例2：35人去劃船，租大小船共9條，已知大船每條坐5人，小船每條坐3人，租了幾條大船？幾條小船？
為了讓學生充分體驗思考的過程，感悟例題與“雞兔同籠”問題之間的聯系，于是讓學生們分小組自由討論。當學生們經過討論后進行交流，彼此補充、互相啟發，孩子們達成以下初步認識。在例題1中，“雞”是5元的人民幣，“兔”是10元的人民幣；“雞兔的總只數”是14張；“每只雞的腿數”是5元，“每只兔的腿數是”10元，“總腿數”是100元。
在例2中，“雞”是小船，“兔”是大船；“雞兔的總只數”是9條；“每只雞的腿數”是3人，“每只兔的腿數是”5人，“總腿數”是35人。
通過關注數學本質的訓練，建立問題間的鏈接，初步讓孩子們體驗到，用數學的思維來思考表面看似不同的問題，實際上它反映的數學數量關系模型是一致的。“雞兔同籠”數學問題模型所反映的數量關系是：甲、乙事物一共有M個；甲具有某種屬性x，乙具有某種屬性y，甲乙具有這種屬性一共有N。則甲、乙事物分別有多少個？
起初有些孩子可能不太理解這種模型意識，也不太理解這里面所關注的數學本質。但是經過幾次體驗下來之后，孩子們都能夠較好地理解其中的含義。也能夠在不同的問題表象中尋找出其數學模型所對應的事物屬性。
三、磨煉數學眼力，提升數學思考
孩子們具有了初步的模型意識之后，就可以鼓勵他們到生活中去應用了。在這樣的數學活動中，孩子們可以真切地磨煉數學眼力，提升數學思考。在完成老師布置的自編題目活動中，孩子們帶來了如下題目。
例1：停車場有電瓶車和汽車一共16輛，已知一共有50個輪子，請問電瓶車多少輛？汽車多少輛？
例2：一天，小明捉來七星瓢蟲和蜘蛛做觀察研究。一共有9只，66條腿。你知道七星瓢蟲和蜘蛛分別有多少只嗎？（七星瓢蟲6條腿，蜘蛛8條腿。）
當孩子們嘗試運用數學的眼光觀察各種各樣的生活現象，便生成了許多精彩的數學問題。將這些問題聚集在一起進行交流，在交流的過程中不但加深了孩子們對問題模型的感性認識，也深化了對這一數學模型的理解及其運用。這一切，讓學生的數學思考訓練扎實有素，成長擲地有聲。
經過系列課程之后，孩子們學會了利用數學的眼光，在生活中提煉出“雞兔同籠”問題，并能夠輕易地進行解決。同時對這一數學模型已經有了較為深刻的認識與理解，數感能力也得到了有效的訓練與提升。著實收到了在通透數量關系的同時，建構了數學模型的預期效果。
注釋：
【1】全雞糾偏法：事先假定全部為雞，用所有的腿數除以2，得出雞的頭數，與事實不符，于是進行糾偏。為了能夠將多出的頭數消除掉，又要確保腿數不變，所以用多出頭數的雙倍數雞置換單倍數兔。
【2】全兔糾偏法：事先假定全部為兔，用所有的腿數除以4，得出兔的頭數，與事實不符，于是進行糾偏。為了能夠將缺少的頭數增補上，又要確保腿數不變，所以用缺少頭數的單倍數兔置換雙倍數雞。
參考文獻：
【1】數學建模算法與應用/司守奎、孫璽菁著.—北京：國防工業出版社，2011.8
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【4】數學思維與小學數學/鄭毓信.—江蘇教育出版社,2008.08.01
【5】情真意切話數學/張奠宙、丁傳松、柴俊.—科學出版社,2011.01.01
