上回說到，第一卷遺留下一個問題：化矩形為等面積的正方形。第二卷就是為了解決這個問題而存在。當然，也有副產品。
第二卷的許多命題，在今天看起來很重復和羅嗦，就像第一卷的三十五到四十一命題一樣。原因也一樣，那時，用幾何在運算，沒有發達的代數。
命題一，相當于現代的乘法對加法的分配律。
命題一指出，像圖中這樣的矩形，大的被分割為幾個小的，那么，大的矩形就是幾個小矩形面積和。就是說
AB×AD=AB(AE+EG+GD)
命題二，把大矩形換成一個正方形，切割成兩個部分。就是說
DC×HC + DC ×FH = DC*FC
命題三，在切割長方形的時候，刻意切割成一個正方形和一個長方形。這個命題的演示結果是：
(a+b)×a=a×a + b×a
或者是上圖中：
AG×AB=(AE+EG)×AB=(AB+EG)×AB=AB×AB+EG×EF
結果看上去沒有大的變化，但這個命題很重要。因為，這里隱藏了一個“正方形貼和”的概念。古希臘人喜歡正方形勝過矩形，所以，切割長方形的時候，盡量切出一個正方形來。
那個年代，對圓錐曲線的研究已經很深入。因為稍晚的阿波羅尼奧斯總結了所有的圓錐曲線的大部分的性質。廣泛使用“貼合”這樣一個觀念。因此，這個命題存在，是當時流行趨勢所致。
命題四，演示了完全平方公式，隱藏了開方的秘訣。
在阿基米德的年代，確確實實可以用比值來無限逼近無理數。在歐幾里得的年代，也許還做不到。在畢達哥拉斯的年代，絕對做不到。
從西方人的知識脈絡來看，一代更比一代強，今人勝古人。
關于怎樣開平方，劉徽等人介紹的特別詳細。
命題五，演示了如下公式
這個圖形揭示了：在兩線段的和AB一定的情況下，用兩線段可做矩形。當兩線段長度相等的時候，面積最大。
那么，正方形比一般長方形大多少呢？大的就是不等分點C與中點D之間的距離所作的正方形。
如果知道他想表達的意思，無疑，這個命題用圖形描述起來比現代的代數更直接。但用圖形證明起來會更繁瑣。
當兩線段長度很接近的時候，正方形面積同矩形面積就很接近。這個公式也隱含了開平方的方法。這個命題，可以視為化矩形為正方形的探索。一個矩形，只要加上一個小的正方形，就可以化為正方形。
命題六，演示了如下公式：
使用的圖形是
用代數的算式，其實看不出作者要做什么。看圖形就會發現，這個命題與上一個命題有相似的地方。都是一個長方形加上一個正方形，等于另一個正方形。這一個圖，可以視作分點D在線段AB的外部。
在直線AB上，設A點坐標為x1,B點坐標為x2,則C點坐標為
(x1+x2)/2，設分點D分線段AB比例AD/AB=λ。
即(x-x1)/(x2-x1)=λ，
那么：
因此，當分點在AD方向，D的外側時，λ>1,按照上面的公式，計算出來的面積是負值。當分點在A的左側時，λ本身為負值，計算出來的面積還是負值。只有分點在線段內部，計算出來才是正值。
本命題是
矩形（A到分點× 分點到B）+
半線正方形 =
（分點與中點距離)構成的正方形
上一個命題是：
矩形（A到分點×分點到B）+ （分點與中點距離)構成的正方形=
半線正方形
兩者可以整理成統一的形式：
矩形+正方形+正方形=0
因為，用坐標計算，面積可以寫成負值。上一個命題中，也可以獲得面積為負值的表示。
正的或者負值只是表示方向，方向垂直于xy平面。也就是說與平面內的事情無關。計算面積的法則是叉乘。
古希臘時代對“負”的值似乎有點排斥，甚至到笛卡爾的年代，還排斥負值。人們好不容易接受了負值，又不能接受虛數。也如同最初的人對“日心說”的排斥。社會趨向于穩定，總會習慣性的排斥新生的事物。新生的事物，必須經歷血與火的考驗，才能生存。
要學習新的幾何，必須先接受新的觀念。
命題五、六實際上是同一個命題。依然在探索，如何化長方形為正方形。實際上，也可以這樣寫：
(y+z)(y-z) + z^2 = y^2
命題七，講
使用的圖形
實際上，原本的圖形盡量節省一切可以節省的空間。只要能重合，把相等的線段都畫在一起。
由于現代人有了代數，有坐標軸，很容易證明第二卷的各種命題。于是，都不再細看《原本》中繁瑣的證明。我感覺，這里面可能有東西，待我詳細考察。
暫時不使用代數證明的方法，嘗試用純幾何理解作者當時的想法。
命題八，命題八的繁瑣描述，又把人拉回現代簡單的代數，代數用一個式子就解決了，幾何需要繁復的描述。于是，第二章也可以看作解析法的前身。因為現代人，在證明第二卷的相關命題時，沒有辦法不用解析法。解析法的便捷，足以讓人遺忘綜合幾何繁雜的證明。
命題八，用代數式表示，就是
4(a+b)a+b^2 = (2a+b)^2。
代數介入幾何，才讓人感覺到大巧若拙的真實含義。
代數只會計算，拋棄了幾何復雜的證明路徑，然而，簡單有效。
命題九與命題十是同樣的道理。
命題九用代數的觀點看，就是(a-b)^2 + b^2 = 2(a/2)^2 +2(a/2-b)^2.
命題十用代數的觀點看，就是(a+b)^2 +b^2 = 2(a/2)^2 +2(a/2+b)^2.
這些看似平常的公式里，隱藏了古人的心血。包括開平方的秘訣，以及用有理數逼近無理數的方法。
命題十一，是必須重視的一個命題。因為講了“黃金分割”。黃金分割，只是一種特殊比例，其實并沒有什么神奇之處，但因為大師曾經推崇，所以格外重要。推崇黃金分割的人，包括古希臘的學者，還包括文藝復興時候的畫家。因為，有一種說法，黃金分割是最美的。
命題十二和命題十三，就是余弦定理的幾何描述。那個時候，還沒有余弦函數。于是，就用線段的投影表示。這兩個定理擴展了勾股定理。
命題十四，是本卷的目標命題，也是上一卷最重要的補充。解決了上一卷的遺留問題。即化一個長方形為正方形。本質上講，完成了數的開方運算。
笛卡爾幾何對《原本》發揚的地方之一在于，引入了一個幽靈1,所有的單位可以同1比較，于是，單位就可以消失，數學就可以研究單純的數字。歐氏幾何，乘法得出的一定是面積;而在笛卡爾幾何中，如果不仔細分別，只是拿到一個數字，那么，你將不能分別是1厘米還是1平方厘米。也就是說，使用單位線段，可以消除更多的單位轉換的麻煩。
從本質上講，乘法是不可交換次序的。
本卷的內容：
- 解析法思想（命題5-10）
1.乘法分配律（命題1，2,3） - 黃金分割（命題11）
- 完全平方公式（命題4）
- 幾何平均（幾何開方法，化矩形為正方形法）
(命題14） - 余弦定理（第一卷命題47,第二卷命題12,13）
本卷用解析法會更加清晰，很多不同的公式都可以統一成一個。鈍角三角形的余弦定理和銳角三角形的余弦定量在形式上獲得統一。
這是及其重要的一卷書。
再次討論本卷的第五命題和第六命題，以及這兩個命題的統一性。
設甲丙兩個點，構成一條線段。中點用“中”字標記。另外，甲丙線段（或直線）上，有一個點，用“分”字來標記。
那么，設整條線段甲丙的長度為1,甲到分點的距離lambda,那么乙到分點的距離就是(1-lambda)。
分點到中點距離是(lambda-1/2)或者(1/2-lambda)，但由這段距離
展開，就是
(lambda^2 - lambda +1/4)
即
lambda(lambda-1)+1/4
通過第二步和第四步，可以知道其中運算的奧秘。原作者盡量使得每一個面積的表示都是正值，所以，需要很多的算式。需要很多的算式也說不清楚。
但如果一開始就假定，面積可以為負值，一切就簡單多了。
數學本身太抽象，并不容易理解。借助物理學，可以更好的理解數學中的某些做法。阿基米德就用物理學來解數學，這是優良的傳統。
物理學中的力矩可以體現出面積負值的含義。
第一卷和第二卷，完成了一個件事情，即：
化任意多邊形為正方形。
重要理論有：
等腰三角形的判定和性質
三角形全等的判定
三角形中的不等式
平行線的判定和性質
等面積變換
提到的重要公設和定理有：
Pasch公設
第五公設
Playfair公設
龐斯命題
三角形外角定理
三角形內角和定理
勾股定理
余弦定理
重要概念有：
算術平均
幾何平均
黃金分割
解析法
開方法（完全平方公式）
一二兩卷，雖然只有 48+14=62個命題，但是內容已經相當飽滿。
