角谷猜想? ? ??課程分享16

? ? ? ?這是通識選修課《經濟研究中的計算方法》第六講《不動點定理》的一個例子。

一、角谷靜夫

? ? ? ?1941年日本數學家角谷靜夫又將布勞威爾的結果推廣到點列集映射上去。

? ? ? ?以前所有不動點定理的證明都是存在性證明。20世紀60年代中期逐漸發展起構造性證明，其方法不斷發展和改進。這些定理可以從單值映射推廣到集值映射，除微分方程理論外還常用于對策論和數理經濟學。

? ? ? ?Kakutani Fixed Point Theorem，現在一般的經濟學書籍都翻譯成卡庫塔尼不動點定理，實際上Kakutani是一個著名的日本數學家，名字叫做角谷靜夫（Shizuo Kakutani），所以按照數學界翻譯方法譯成角谷不動點定理比較合適。

? ? ? ?角谷靜夫(1911年8月28日 - 2004年8月17日 )，日本著名數學家。耶魯大學教授。畢業于東北帝國大學理學部數學科。大阪府出生。

角谷靜夫

二、角谷猜想

? ? ? ?角谷靜夫在不動點領域做出了非常杰出的貢獻，并且以角谷猜想而聞名于世。角谷猜想是這樣的：“一個自然數反復進行下列兩種運算，最后結果總會是1：對于偶數，除以2；對于奇數，乘3加上1。”

? ? ? ?例如，N=6，反復進行上述兩種運算，依次得到的數分別是：6，3，10，5，16，8，4，2，1。

? ? ? ?1976年的一天，《華盛頓郵報》于頭版頭條報道了一條數學新聞，說的事就是上面這個題：

? ? ? ?1970年代中期，美國各所大學校園內，人們都像著魔一般，廢寢忘食地玩弄一種數學游戲。這個游戲十分簡單：

任意寫出一個（非零）自然數N，并且按照以下的規律進行變換：

如果是個奇數，則下一步變成3N+1；

如果是個偶數，則下一步變成N/2。

不止是學生，甚至連教授與學究都紛紛加入這場吸引人的游戲中。為什么這個游戲的魅力經久不衰？因為人們發現，無論N是怎樣一個數字，最終都無法逃脫回到1。準確地說，無論N是什么數字，最終都會經歷4-2-1循環，最后得到的數字1，從沒有那個自然數逃出這樣的宿命。

角谷猜想

? ? ? ?此猜想亦被稱為3N+1猜想、冰雹猜想。但至今無人證明，也無人推翻。1996年,B.Thwaites懸賞1100英鎊來解決這個猜想。

? ? ? ?多年前，有人向匈牙利數論學家保爾·厄爾多斯(Paul Erdos, 1913-1996)介紹了這個問題，并且問他怎么看待現代數學對這問題無能為力的現象，厄爾多斯回答說：“數學還沒有準備好來回答這樣的問題。”

? ? ? ?角谷靜夫曾用計算機驗算到700億，并未出現反例。1992年李文斯(G.T.Leavens)和孚門南(M.Vermeulen)也以計算機對小于5.6萬億的正整數進行驗證，也未發現反例。

? ? ? ?那么，這個猜想與不動點定理有什么關系呢？且看，猜想就是，有一個整數函數f（N）=1,那么設F（N）=Nf(N)=N,即F(N)在整數域中的每個點都是不動點。這是很奇特的函數。

三、角谷猜想的來歷

版本1.這個猜想大約是在20世紀30年代被提出來的。在西方,它常被稱為西拉古斯(Syracuse)猜想,因為據說這個猜想首先是在美國的西拉古斯大學研究的。

? ? ? ?而在東方,這個猜想由將它帶到日本的美籍日本數學家角谷靜夫(Shizuo Kakutani)的名字命名,被稱做角谷猜想。除此之外,它還有著一大堆其他各種各樣的名字,這些名字大概都和傳播、研究它的數學家或者地點有關，如，克拉茲(Collatz)問題,哈斯(Hasse)問題,烏拉姆(Ulam)問題,等等。

版本2.1940-1950年代，日本一位中學生發現這個奇妙的“定理”，請角谷教授證明，而教授無能為力，于是產生角谷猜想。

版本3.角谷靜夫自己在1950年代發現的。

四、角谷猜想與蝴蝶效應

? ? ? ?與角谷猜想相反的是蝴蝶效應，初始值極小誤差，會造成巨大的不同；而3N+1恰恰相反，無論多么大的誤差，都是會自行的恢復。

? ? ? ?同時冰雹猜想與蝴蝶效應的邏輯關系恰好相悖。蝴蝶效應蘊含的原理是：極小差異，會造成結果的巨大不同。而冰雹猜想恰恰相反，無論剛開始存在多么大的誤差，最后都會自行修復。這也是冰雹猜想最為神奇之處。

? ? ? ?第七講將介紹蝴蝶效應。

注：2019年有人說已證明了角谷猜想，但這個說法未見正式期刊發表。