關于這一節zcc的筆記已經夠完美了，我就直接在他基礎上記錄了。

目錄：

1. 迭代算法-另一個角度
2. 偏序（Partial Order）
3. 上下界（Upper and Lower Bounds）
4. 格（Lattice），半格（Semilattice），全格和格點積（Complete and Product Lattice）
5. 數據流分析框架（via Lattice）
6. 單調性與不動點定理（Monotonicity and Fixed Point Theorem）
7. 迭代算法轉化為不動點理論
8. 從lattice的角度看may/must分析
9. 分配性（Distributivity）和MOP
10. 常量傳播
11. Worklist算法

重點：

上節課是介紹了3種數據流分析迭代算法，本節課將從數學理論的角度來討論數據流分析，加深對數據流分析算法的理解。

1.迭代算法-另一個角度

本質：常見的數據流迭代算法，目的是通過迭代計算，最終得到一個穩定的不變的解。

（1）理論

定義1：給定有k個節點（基本塊）的CFG，迭代算法就是在每次迭代時，更新每個節點n的OUT[n]。

定義2：設數據流分析的值域是V，可定義一個k-元組： (OUT[n₁], OUT[n₂], ... , OUT[n_k])。是集合 (V₁ V₂ ... V_k) （冪集，記為V^k）的一個元素，表示每次迭代后k個節點整體的值。

定義3：每一次迭代可看作是V^k映射到新的V^k，通過轉換規則和控制流來映射，記作函數F：V^k V^k。

迭代算法本質：通過不斷迭代，直到相鄰兩次迭代的k-元組值一樣，算法結束。

（2）圖示

4-1-迭代算法數學化.png

不動點：當X_i = F(X_i)時，就是不動點。

問題：

• 迭代算法是否一定會停止（到達不動點）？
• 迭代算法如果會終止，會得到幾個解（幾個不動點）？
• 迭代幾次會得到解（到達不動點）？

2.偏序（Partial Order）

定義：給定偏序集(P, )，是集合P上的二元關系，若滿足以下性質則為偏序集：

• ?x∈P,x?x 自反性Reflexivity
• ?x,y∈P, x?y∧y?x ? x=y 對稱性Antisymmetry
• ?x,y∈P, x?y∧y?z ? x?z 傳遞性Transitivity

例子：

• P是整數集，表示，是偏序集；若表示<，則顯然不是偏序集。
• P是英文單詞集合，表示子串關系（可以存在兩個元素不具有偏序關系，不可比性），是偏序集。

3.上下界（Upper and Lower Bounds）

（1）定義

定義：給定偏序集(P, )，且有P的子集S?P：

• ?x∈S, x?u, 其中u∈P，則u是子集S的上界 （注意，u并不一定屬于S集）
• ?x∈S, l?x, 其中l∈P，則l是S的下界

最小上界：least upper bound（lub 或者稱為join），用?S表示。上確界？

定義：對于子集S的任何一個上界u，均有?S?u。

最大下界：greatest lower bound（glb 或者稱為meet），用?S表示。下確界？

定義：對于子集S的任何一個下界l，均有l??S。

（2）示例

若S只包含兩個元素，a、b（S = {a, b}）那么上界可以表示為a?b，下界可以表示為a?b。

4-3-1-上下確界示例.png

（3）特性

• 并非每個偏序集都有上下確界。

4-3-2-無下確界.png

• 如果存在上下確界，則是唯一的。

  利用傳遞性和反證法即可證明。

4.格（Lattice），（半格）Semilattice，全格，格點積（Complete and Product Lattice）

都是基于上下確界來定義的。

（1）格

定義：給定一個偏序集(P,?)，?a,b∈P，如果存在a?b和a?b，那么就稱該偏序集為格。偏序集中的任意兩個元素構成的集合均存在最小上界和最大下界，那么該偏序集就是格。

例子：

• (S, ?)中S是整數子集，是，是格點；
• (S, ?)中S是英文單詞集，表示子串關系，不是格點，因為單詞pin和sin就沒有上確界；
• (S, ?)中S是{a, b, c}的冪集，表示子集，是格點。

（2）半格

定義：給定一個偏序集(P,?)，?a,b∈P：
當且僅當a?b存在（上確界），該偏序集叫做 join semilatice；

當且僅當a?b存在（下確界），該偏序集叫做 meet semilatice

（3）全格

定義：對于格點 (S, ) （前提是格點）的任意子集S，?S上確界和?S下確界都存在，則為全格complete lattice。

例子：

• P是整數集，是，不是全格，因為P的子集正整數集沒有上確界。
• (S, ?)中S是{a, b, c}的冪集，表示子集，是全格。

符號： = P ，叫做top； = P，叫做bottom。

性質：有窮的格點必然是complete lattice。全格一定有窮嗎？ 不一定，如實數界[0, 1]。

（4）格點積

定義：給定一組格，L₁=(P₁, ₁)，L₂=(P₂, ₂)，... ，L_n=(P_n, _n)，都有上確界_i和下確界_i，則定義格點積 Lⁿ = (P, )：

1. P = P₁ ... P_n
2. (x₁, ... x_n) (y₁, ... y_n) (x₁ y₁) ... (x_n y_n)
3. (x₁, ... x_n) (y₁, ... y_n) = (x₁ y₁, ..., x_n y_n)
4. (x₁, ... x_n) (y₁, ... y_n) = (x₁ y₁, ..., x_n y_n)

性質：格點積也是格點；格點都是全格，則格點積也是全格。

5.數據流分析框架（via Lattice）

數據流分析框架(D, L, F) ：

• D—方向
• L—格點（值域V，meet 或 join 操作）
• F—轉換規則V V。

數據流分析可以看做是迭代算法對格點 利用轉換規則和 meet/join操作。

6.單調性與不動點定理（Monotonicity and Fixed Point Theorem）

目標問題：迭代算法一定會停止（到達不動點）嗎？

（1）單調性

定義：函數f: L L，滿足?x,y∈L，x?y?f(x)?f(y)，則為單調的。

（2）不動點理論

定義：給定一個完全lattice(L,?)，如果f:L→L是單調的，并且L有限

那么我們能得到最小不動點，通過迭代：f(⊥),f(f(⊥)),...,f^k(⊥)直到找到最小的一個不動點。

同理 我們能得到最大不動點，通過迭代：f(?),f(f(?)),...,fk(?)直到找到最大的一個不動點。

（3）證明

不動點的存在性；

最小不動點證明。

7.迭代算法轉化為不動點理論

問題：我們如何在理論上證明迭代算法有解、有最優解、何時到達不動點？那就是將迭代算法轉化為不動點理論。因為不動點理論已經證明了，單調、有限的完全lattice，存在不動點，且從?開始能找到最大不動點，從⊥開始能找到最小不動點。

目標：證明迭代算法是一個完全lattice(L, )，是有限的，單調的。

4-7-1-迭代算法.png

（1）完全lattice證明

根據第5小節，迭代算法每個節點（基本塊）的值域相當于一個lattice，每次迭代的k個基本塊的值域就是一個k-元組。k-元組可看作lattice積，根據格點積性質：若L^k中每一個lattice都是完全的，則L^k也是完全的。

（2）L是有限的

迭代算法中，值域是0/1，是有限的，則lattice有限，則L^k也有限。

（3）F是單調的

函數F：BB中轉換函數f_i：L → L + BB分支之間的控制流影響（匯聚是join / meet 操作，分叉是拷貝操作）。

1. 轉換函數：BB的gen、kill是固定的，值域一旦變成1，就不會變回0，顯然單調。
2. join/meet操作：L × L → L 。證明：?x,y,z∈L，且有x?y需要證明x?z?y?z。

總結：迭代算法是完全lattice，且是有限、單調的，所以一定有解、有最優解。

（4）算法何時到達不動點？

定義：lattice高度—從lattice的top到bottom之間最長的路徑。

4-7-3-lattice高度定義.png

最壞情況迭代次數：設有n個塊，每次迭代只有1個BB的OUT/IN值的其中1位發生變化（則從top→bottom這1位都變化），則最多迭 (n × h) 次。

8.從lattice的角度看may/must分析

說明：may 和 must 分析算法都是從不安全到安全（是否安全取決于safe-aprroximate過程），從準確到不準確。

4-8-1-must_may分析特點.png

（1）may分析

以 Reaching Definitions分析為例：

1. 從 開始， 表示所有定義都不可達，是不安全的結果（因為這個分析的應用目的是為了查錯，查看變量是否需要初始化。首先在Entry中給每個變量一個假定義，標記所有變量為都為未初始化狀態，表示所有的假定義都無法到達，說明所有變量在中間都進行了賦值，那就不需要對任何變量進行初始化，這是不安全的，可能導致未初始化錯誤）。

2. 表示所有Entry中的假定義都可達，從查錯角度來說，需要對每個變量都進行初始化，非常安全！但是這句話沒有用，我都要初始化的話還做這個分析干嘛？

3. Truth：表明最準確的驗證結果，假設{a,c}是truth，那么包括其以上的都是safe的，以下的都是unsafe，就是上圖的陰影和非陰影。

4-8-2-Truth示例.png

4. 從 到 ，得到的最小不動點最準確，離Truth最近。上面還有多個不動點，越往上越不準。

（2）must分析

以available expressions分析為例：

1. 從開始，表示所有表達式可用。如果用在表達式計算優化中，那么有很多已經被重定義的表達式也被優化了（實際上不能被優化），那么該優化就是錯誤的，不安全！
2. 表示沒有表達式可用，都不需要優化，很安全！但沒有用。
3. 從到，就是從不安全到安全，存在一個Truth，代表準確的結果。
4. 從到，達到一個最大不動點，離truth最近的最優解。

迭代算法轉化到lattice上，may/must分析分別初始化為最小值和最大值，最后求最小上界/最大下界。

9.分配性（Distributivity）和MOP

目的：MOP（meet-over-all-paths）衡量迭代算法的精度。

（1）概念

定義：最終將所有的路徑一起來進行join/meet操作。

路徑P = 在cfg圖上從entry到基本塊s_i的一條路徑（P = Entry → s₁ → s₂ → ... → s~i ）。

路徑P上的轉移函數F_p：該路徑上所有語句的轉移函數的組合f_s1，f_s2，... ，f_si-1，從而構成F_P。

MOP：從entry到s_i所有路徑的F_P的meet操作。本質—求這些值的最小上界/最大下界。

4-9-1-MOP公式.png

MOP準確性：有些路徑不會被執行，所以不準確；若路徑包含循環，或者路徑爆炸，所以實操性不高，只能作為理論的一種衡量方式。

（2）MOP vs 迭代算法

4-9-2-MOP與迭代算法比較.png

對于以上的CFG，抽象出itter和MOP公式。

證明：

1. 根據最小上界的定義，有x?x?y和 y?x?y。

2. 由于轉換函數是單調的，則有F(x)?F(x?y)和F(y)?F(x?y)，所以F(x?y)就是F(x)和F(y)的上界。

3. 根據定義，F(x)?F(y)是F(x)和F(y)的最小上界。

4. 所以F(x)?F(y)?F(x?y)

結論：所以，MOP更準確。若F滿足分配律，則迭代算法和MOP精確度一樣 F(x?y)=F(x)?F(y)。一般，對于控制流的join/meet，是進行集合的交或并操作，則滿足分配律。

10.常量傳播 (constant propagation)

問題描述：在程序點p處的變量x，判斷x是否一定指向常量值。

類別：must分析，因為要考慮經過p點所有路徑上，x的值必須都一樣，才算作一定指向常量。

表示：CFG每個節點的OUT是pair（x, v）的集合，表示變量x是否指向常數v。

數據流分析框架（D, L, F）

（1）D：forward更直觀

（2）L：lattice

4-10-1-UNDEF_NAC.png

變量值域：所有實數。must分析，所以是UNDEF未定義（unsafe）， 是NAC非常量（safe）。

meet操作：must分析， 。在每個路徑匯聚點PC，對流入的所有變量進行meet操作，但并非常見的交和并，所以不滿足分配律。

• NAC v = NAC
• UNDEF v = v 未初始化的變量不是我們分析的目標。
• c v = ? c c = c c1 c2 =NAC

（3）F轉換函數

OUT[s] = gen U (IN[s] - {(x, _})

輸出 = BB中新被賦值的 U 輸入 - BB中相關變量值已經不是f常量的部分。

對所有的賦值語句進行分析（不是賦值語句則不管，用val(x)表示x指向的值）：

4-10-2-賦值語句操作.png

（4）性質：不滿足分配律

4-10-3-不滿足分配律.png

可以發現，MOP更準確。F(XY) F(X) F(Y)，但是是單調的。

11.Worklist算法

本質：對迭代算法進行優化，采用隊列來存儲需要處理的基本塊，減少大量的冗余的計算。

4-11-worklist.png

參考

軟件分析——數據流分析2