《有理數加法》教研實錄

小學階段我們學過了正數及0的加法運算，步入中學后數系就擴張到了有理數范圍內，從和學生一起感知整個數系的擴充過程、有理數的由來，到精確學習了什么是有理數、相反數、絕對值以及研究有理數的主要工具數軸。在前期的基礎之上，接下來就會步入數的運算環節，這個是重點也是難點。運算法則不難，讓學生總結歸納然后大量訓練加以鞏固即可，但這與傳統教育沒有任何的差別，最終孩子們只學會套路式的計算，不能從根本上理解有理數各種運算的本質，在思維上只有灌輸，沒有對孩子形成頭腦沖擊，所以前者是不可取的。

今天的課堂主要是探討和推導有理數加法的算理和算法，如何借助生活場景或者數軸來演繹有理數加法的合理性，從而推導出算法。在課程設計之前，我嘗試了用物體的矢量運動、溫差的變化、以及海拔升降，以及購物中的收入和支出來搭建模型，甚至考慮過用正負電荷進行演繹。但在思路和邏輯上，都無法厘的很清楚。最終還是選擇了學生更能理解的物體的矢量運動進行建立模型。

課前通過兩道前測題對學生已有的有理數加法的元認知進行了一個檢測。

前測1：

思考1：小學階段我們學過加法是正數與正數相加、正數與0相加。引入負數后，你認為加法有哪幾種情況呢？

?

前測2:

問題探究：一個物體做左右運動，我們規定向左為負，向右為正。??????

??????????例如：向右運動5米記作+5m，向左運動5米記作-5m。

思考2：根據上述問題探究，分別對下列問題進行列式并計算結果。并運用數軸來驗證你的計算結果是否合理。

? ? ? ? ?1. 如果物體先向右運動5m ，再向右運動3m，那么兩次運動的最后結果是什么？可以用怎樣的算式表示？

? ? ? ? ? 2. 如果物體先向左運動5m，再向左運動3m，那么兩次運動的最后結果是什么？可以用怎樣的算式表示？

? ? ? ? ? 3. 如果物體先向左運動3m，再向右運動5m，那么兩次運動的最后結果怎樣？如何用算式表示？

? ? ? ? ? 4. 如果物體先向右運動3m，再向左運動5m，那么兩次運動的數后結果怎樣？如何用算式表示？

前測的結果很理想，在前期已學得的知識的基礎上，大部分同學能通過利用數軸上點的運動得到正確的結果和列式。

課堂也主要是圍繞這兩個前測單展開；

板塊一：圍繞前測1中學生的問題入手，和學生一起討論合理與否，合理原因何在？不合理，闡述你的觀點。同學們積極參與推進了課堂的節奏，我們推倒了各種各樣的回答：

部分孩子們對此題的解答

課堂直接找茬并糾正了這些問題，最終達成一致性共識。歸類如下：

歸納結果

此環節意圖：讓學生更加清晰的認識到有理數加法的幾種情況，為更清楚探究有理數加法做準備。

板塊二：圍繞前測2中的問題展開，結合學生的回答，和學生討論、糾錯、探究、總結，課堂的高潮和燒腦也正是從此開始，本來好像一切都按部就班的進行著，孩子們積極參與，我也講的如火朝天，借助數軸上代表數的點的運動來理解加法的運算原理，孩子接收的程度確實不錯。

用運動來解釋有理數加法的圖示

但干老師的一把火點燃了整個課堂，針對上圖，干老師提出疑問；

? ? ? 1) 0是運動的起點還是正負數的臨界點？

? ? ? 2)第一次運動的結果是-5可以看的出，但數軸上-3的點在哪里？

? ? ? 3)數軸的本質是用來表示數的，在此數軸上該如何表示-3的點？

? ? ? 4)怎么才可以更加直觀的在數軸上表述出-5+（-3）呢？

干老師提出疑問

我也搞不懂了

學生開始爭相表達自己的觀點，陳老師、何老師也參與到了課堂，關于疑問提出自己觀點，我的場瞬間被搶走了，被孤立起來了，只有站在旁邊看好戲，以干老師的話說就是完美詮釋什么叫喧賓奪主，其實我心里美滋滋的，爭的越兇越好。

陳老師和何老師也參與其中了

問題的爭論好像有了結論，孩子們一致認為通過點的運動就非常直觀的展示了，干老師又問：“哪么2—（—3）呢？你又該如何解釋？如何通過運動來表示？”孩子們瞬間蒙了，是的，該怎么解釋呢？孩子們開始討論，有的孩子說：“老師，負負本來就得正，還用證明嗎？”可是“負負得正”到底是為什么呢？

總算到我登場了，也該到總結陳述的時候了，再怎么激烈的課堂，節奏還是要有的，不然就喪失了本節課的核心了。到底為什么“負負會得正”？我們該用怎樣的生活例子或如何運用數軸才能更好的詮釋加法的運算呢？這個問題留給孩子們課下思考，這是一個挑戰，也是一個不斷思維的過程。

板塊三總結

?

通過前邊的模型建構和激烈討論，總結歸納出有理數的運算法則：

? ? ? ? （1） 同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

? ? ? ? （2）絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

? ? ? ? （3）互為相反數的兩個數相加得0；

? ? ? ? （4） 一個數同0相加，仍得這個數。

都看我，給大家總結總結

板塊四精確練習

初中階段對孩子們的各項要求都提高了，要訓練孩子們做題的規范性以及嚴謹的數學思維和邏輯思維。訓練某種方法，按照要求的方法進行訓練，以達到做題自動化。

【課后教研】

?教研主題1：如何運用數軸更加合理的來解釋有理數各種運算的算理，并且具有統一性。

干老師指出，用方向來解釋有理數加法運算的原理是可以的，但是太過于牽強，而且會給學生造成后遺癥，因為并不能用此解釋模型將有理數的各種運算一以貫之，數系擴充到有理數范圍內，它的運算算理解釋模型應該是統一的，而不是每一種運算有一種不同的解釋模型出來，這樣是不合理的。首先我們要清楚數軸的本質是什么？我們要明白數軸的絕對含義是什么？數軸僅僅用來表示數，我們不能把數軸當做走的圖示，這是不同的概念。例如，數軸上的“5”，“3”這樣的點，僅僅表示從零點開始的數而已。

對數軸而言，嚴格來說，每一個數軸上的點都表示從零點開始的線段長度。我們最后求的是5和3的和是多少就表示0-5和0-3兩段長度的和是多少？而3-5的時候就已經在顛倒了，實際上按照數學邏輯來說，第一個數據是+5和+3，8只是表示累加的結果，我們題目中并未出現8，它只是累加的結果。我們的數軸其實就像一個尺子，我們要做加減法時候，每一個數都應該在數軸上列出來，而不應該我們自己給它們賦予不同的含義。

那么我們理數的減法又怎么在數軸上進行表示呢？其實原理是一樣的，比如我們畫一個圖，+8和+6進行相加，在數軸上畫出他們的位置，把它們到原點距離相加就表示8+6的過程，必定是疊加。但如果一個是正數，一個是負數的話，由于一個在原點左側，一個在原點右側，它們相加表示到原點的距離和方向不一樣，就會相互抵消。距離遠的就更加大，取它的符號，長度會抵消較小的那個數的長度。

結論：以2—（—3）為例，首先我們應該在數軸上準確的找到表示2和-3的點，然后根據數的性質進行運算，圖示如下：

整個過程通過動圖演示，讓學生更加直觀的感受為什么“負負得正”。同理，通過這樣，有理數加法、乘法、除法都可以類似的方法進行解釋，而且所有運算算理研究的方法都是一以貫之的，學生的理解也會越來越深。