授課日期：2018年9月4日星期二

授課班級：七年級1班

教學目標：

A類：

1、回顧小學階段所學數的種類，清楚他們的區別和聯系。比如：正整數、自然數、正分數、正小數、負數。包含關系：正整數與自然數，正分數和正小數，分數和小數。

B類：

1、分類的原則，有理數的分類，負數的含義

2、數軸的四要素：直線、原點、正方向、單位長度。

3、數軸上數代表的“基數”和“序數”的性質

4、數軸上數的唯一性

C類：

1、加法的本質：集合的合并

2、減法的本質：集合的拆分

3、乘法的本質：拉伸變換

4、除法的本質：壓縮變換

5、用數軸表示加減乘除法運算：平移變換和拉伸變換

6、加減乘除運算間的關系。??

第一板塊：自我挑戰，遭遇問題

課前挑戰：

1.整個小學階段，你學習過哪些類型的數？請舉例說明；

2.將小學學過的數分成兩類，你會如何分？將兩類分成一類可以嗎？你能取個名字嗎？

3.請將第1題中列舉出來的“數”在一條直線上表示出來（直線上有無數個“點”，請將不同的“數”與不同的“點”對應起來），并說明你的理由；

4.數可以進行加法運算嗎？請舉例說明；

5.數可以進行減法運算嗎？請舉例說明；

6.數可以進行乘法運算嗎？請舉例說明；

7.數可以進行除法運算嗎？請舉例說明；

8.以上四種運算之間具有怎樣的關系？請結合一個例子進行說明；

9.請提出你感興趣的新問題；

典型問題分析：

挑戰單1：絕大多數學生只是列舉了小學學過的數，并沒有下意識的將其分類。

挑戰單2：有部分學生按照性質進行分類，分為正數和負數，但是卻將0遺漏；有的學生按照定義來分，但分為了“整數和小數”或“整數、小數、分數”；還有的直接分為“有理數和無理數”，在討論這個問題前，需要和學生討論分類的關鍵原則：（1）確定分類范圍（2）確定分類標準（3）保證不重不漏；只要學生的答案有道理即可。

挑戰單3：直線上有無數個點，因此將例子中的各數看成直線上的一點，是可以的；在表示過程中：首先確保是一條直線，有部分學生畫的是線段或射線；其次為了方便，需要規定正負數的分界點，即原點，這個基本上學生沒有問題；再次是對于正方向規定的必要性進行討論，并同時規定統一的“單位長度”。學生對于正方向的規定可能有違日常，但只要其數軸上的數有統一性，也應該給予肯定，正方向的規定只是個“人為規定”而已；最后為了表示各數，需要確定單位長度，并在一條數軸上保持統一。

挑戰單4-8，多數學生的舉例為正整數類、正分數、正小數的運算，沒有負數；含有負數（只有一個負數）的例子有的沒加括號，有的計算錯誤，這里需要結合數軸分析算理，再拓展挑戰判斷關于負數運算的正誤。

第二板塊：聚焦問題，展開對話

師：有位同學這樣回答第一題，你認同嗎？

生1：他舉得例子我認同，但是我覺得還有一些數他沒有列舉出來。比如：無理數。

師：那這位同學有沒有列舉全？

生2：全了，不過他的”復數“寫錯了，應該是”負數“。

師：那什么是負數呢？

生：就是-1，-2，生活中有地下室的電梯，氣溫在0℃以下的溫度…

師：是的，負數代表著“相反意義的量“。

師：這位同學是這樣列舉的？你明白他的意思嗎？

生：他在分類。

師：那你們知道分類需要遵循什么原則？

生3：要確定分類的范圍。

生4：要有分類標準。

師：還有嗎？

生5：要分完，不能剩。

生6：還不能分重。

師：意思就是不重不漏。

生：對。

達成共識：

分類必須滿足3個原則：（1）確定分類范圍（2）確定分類標準（3）保證不重不漏。

師：那我們現在對小學學習的數進行分類，看看這位同學的。

生7：我不認同，除了自然數，還有分數呢。他不僅漏掉了很多數，而且分類的范圍也縮小了。

師：那這位同學的呢？

生8：我不認同，“比0大和0的數“除了自然數還有”分數“，沒有遵循”不重不漏“的原則。

師：那這位同學的分類遵循不重不漏原則了嗎？

生9：遵循了，分的挺好的，可是題目中只讓分為2類，不讓分3類。要是改個名字就好了。

師：那怎么改呢？

生：負數和”不是負數的“。

師：很好，簡便一些，我們可以說它為”非負數“。即分為”負數“和”非負數“，那兩類數可以合為一類嗎？叫它什么呢？

生：數。

師：我們把我們小學學過的這些數叫做實數。還可以怎么分呢？

生10：還可以分為“0和非零的數“、”正數和非正數“。

師：你們舉一反三的很厲害。

達成共識：

師：那這位同學的分類你們認同嗎？

生10：哦，我知道無理數，比如π。

師：是的，像π這樣的無限不循環小數我們把它叫做”無理數“。所以實數也可以分為有理數和無理數。

達成共識：

生：“有理數“是不是那些有規律可言的數，而無理數就是無規律可循的，就像無限不循環小數一樣。

師：這里需要跟大家普及一個數學小故事了。關于“有理數“這個名字的由來是這樣的，有理數，原詞是”rational number“，本意是”成比例的數“，但由于單詞”rational “還有一層含義是”理性的“，因此被中國人錯翻譯為”有理數“，但實際上應該理解為”成比例的數“，為什么這樣理解呢？看看這位同學的分類，我們再來討論。

生11：我覺得應該還有分數。

生12：但是分數和小數互化呀！

生11：無線不循環小數怎么化成分數？

生12：我不知道，但是0.5這樣的小數和分數

可以互化。

師：討論了半天，那小數和分數那個范圍更大一些。

生：小數，因為無線不循環小數不能用分數表示，否則我們就直接能計算出π了。

生13：我還有個疑問：無限循環小數可以化成分數嗎？

師：這個問題有人可以回答嗎？

生：…

師：是這樣的，假設

我們都知道他是

。怎么得到的呢？我們可以把這個循環小數的位數多寫幾位：0.3333333…，最難解決的就是后面的這一長串的數，怎么樣可以構造一個數讓它小數位后面也有同樣的一長串？

生14：老師，將原數擴大10倍，可以變成3.3333333…，這樣小數點后面和0.3333333…就一樣了。

師：然后呢？

生：讓他倆減一下。

師：好我們一起試著把剛才的過程通過列方程表示出來。

師：其他的無限循環小數大家也可以類比來試一試。既然無限循環小數和有限小數都可以化為分數，那實數這樣分類可以嗎？

生：可以。

師：如果我們把無限不循環小數排除掉，我們分類的范圍有變化嗎？

生：從實數變成了有理數。

師：那怎么對有理數進行分類呢？

生15：”負有理數“和”非負的有理數“。

生16：”正有理數“和”非正的有理數“。

生17：”0“和”非0的有理數“。

師：還有其他分類辦法嗎？

生18：老師，我覺得可以分為“整數和分數“。因為除去”無限不循環小數“，其余的小數都可以化為分數。

師：大家認同嗎？

生：認同。

師：是的，整數和分數統稱為有理數，這就是有理數的定義。那現在大家如何理解我們剛才講的“有理數“名字的由來，為什么應該理解成”成比例的數“。

生：因為整數可以看成是分母為1的分數，分數就是分母不為1的分數。哦，原來是這樣。

師：那分類完，大家有沒有考慮，這些數能不能表示在一條直線上。

生：能。

師：看這位同學的表示，你認同嗎？

生18：不認同。他的0怎么和

在一起呢？應該分開。

師：那應該放在哪？

生19：應該在正數和負數的分界處。

師：哪邊是正數，哪邊是負數？

生：我們可以規定。

師：是的，這里我們必須做出規定，一般我們把右邊定為正方向。

生：所以這里的0就應該是0.1的左邊。

生20：圖上0到1的長度要比1到2的長度長。

師：這位同學想說什么意思你們明白嗎？

生：就是要統一兩個點之間的長度。

師：是的，我們把它叫做單位長度，一般情況下，在同一個數軸上，我們要確定統一的單位長度。

師：那現在我們給畫了數的這條直線取個名字吧。

生：數軸，我們小學見過。

師：那畫數軸我們要注意哪些地方？

生：（1）0點（2）正方向（3）統一的單位長度

師：那這位同學畫的符合你們的要求嗎？

生：他怎么畫成線段了，應該是直線才行，因為-3和1的兩邊還有好多個數呢。

師：所以我們畫數軸除了剛才的“原點、正方向、單位長度外“還要注意一點：需要畫成直線，你的刻度不能畫在兩端。

達成共識：

數軸：（1）直線（2）原點（2）正方向（3）統一的單位長度

課堂練習：

請大家將這些數表示在數軸上：-2，-1，3，0。

（學生板書，師生共糾錯）

師：結合數軸，我們如何理解一個數的含義？比如5？

生21：從原點出發，向右走5格，就到了5的位置。

師：很棒，這位同學說出了5的兩層含義，從原點出發，向右走5個單位長度，這里的“5“是數字5的“基數“性質，就到了第5個位置，這里的”5“代表著5的”序數性質“。那如果是-5呢？應該往那邊走。

生：往左邊走。

（讓學生舉例說明數的含義）

師：小學都學過哪些加法運算？

生：正數的。

師：那你認同這位同學的例子嗎？

生22：這里的﹢3和-3我覺得是一個整體，應該加括號，

生：對，不加括號就沒辦法讀這個算式了，必須得加，它代表的是負3。

師：那加法如何解釋算理呢？

生23：加法可以看成是集合的合并，比如3+3可以看成是3個1與3個1相加，即6個1。

師：要是結合數軸如何解釋3+3呢？

生24：從原點出發，向右走3個單位長度，到達3的位置；再向右走3個單位長度，到達6的位置。

師：這位同學說的非常好，大家發現他說的其實是在做什么變換？

生：平移變換。

師：既然是平移變換，那我們就要注意平移變換的3要素：起點，方向，平移距離。（師生其說）誰能試著解釋一下（-3）+（-3）=-6這個算式。

生25：從原點出發，向左平移3個單位長度，到達-3的位置，接著再向左平移3個單位長度，到達-6的位置。

師：很棒！那這個算式如何描述呢？

生26：從原點出發，向左平移1個單位長度，到達-1的位置，接著再向右平移4個單位長度，到達3的位置。

師：都是加法，為什么一會向右，一會向左。

生：因為剛才加的是正數，現在加的是負數。

師：也就是加正數和加負數平移的方向不同？

生：加正數是向右平移，加負數是向左平移。

師：那減法如何解釋呢？

生：可以看成是集合的拆分，也可以看成是平移變換。

師：誰能舉個例子？并說明算理。

生27：比如：5-2=3，表示從原點出發，向右平移5個單位長度，到達5的位置，然后再向左平移2個單位長度，最后到達3的位置。

師：大家認同嗎？

生：認同。

師：那乘法的算理如何解釋？

生28：比如2×3=6，可以看成是2個3相加，也可以看成是3個2相加。

師：那怎么用數軸解釋算理？

生28：如果看成是3個2相加，就是從原點出發，先向右平移2個單位長度，到達2的位置，然后再向右平移2個單位長度，到達4的位置；再向右平移2個單位長度，最后到達6的位置。也就是平移了3次。

師：很好，但是我覺得有些麻煩，如果不從連加的角度解釋，還可以怎么解釋？

生15：可以理解成2的3倍或者是3的2倍。

師：那這如何用數軸解釋？

生：…

師：將2變成原來的3倍，像不像我們平時見的彈簧？

生：像。

師：是的。對于乘法，我們可以理解為“拉伸變換“。誰能試著解釋一下？

生16：從原點出發，向右拉伸到2的位置，然后繼續向右拉伸到原來的3倍，即6的位置。

師：很好，大家聽出來一共拉伸了幾次嗎？

生：2次。

師：每一次拉伸需要注意什么地方嗎？

生18：有的點是不動的。第一次拉伸，從原點開始，這個點不能動，得固定好，直接向右拉伸到2的位置；第二次拉伸，仍然是原點不動，只將2這個點向右拉伸到原來的3倍，即到6的位置。

生：哦…

師：很厲害啊！我們得給他鼓掌！拉伸變換我們一定要注意固定點不動，拉伸的方向也要一致。

師：2的3倍，首先從原點出發，直接向右拉伸到2的位置，即形成了起點在原點-終點在2的線段，2*3即固定原點位置不動，將起點在原點-終點在2的位置的線段向右拉長到原來線段長度的3倍，即6的位置。

誰再來解釋一下3的2倍？

生12：首先從原點出發，直接向右拉伸到3的位置，即形成了起點在原點-終點在3的線段，2*3即固定原點位置不動，將起點在原點-終點在3的位置的線段向右拉長到原來線段長度的2倍，即6的位置。

師：那除法和乘法有關系嗎？

生：互逆，除以一個數就等于乘以這個數的倒數。

師：那如何解釋除法的算理？比如6÷2=3。

生13：可以用“拉縮“變換。

生：什么？

師：叫“壓縮變換”，跟乘法的”拉伸變換“合起來就是“伸縮變換”。

生14：首先從原點出發，直接向右拉伸到6的位置，即形成了起點在原點-終點在6的線段，6÷2即固定原點位置不動，將起點在原點-終點在6的位置的線段向左縮短到原來線段長度的一半，即3的位置。

師：那8÷2=4如何解釋？

生18：首先從原點出發，直接向右拉伸到8的位置，即形成了起點在原點-終點在8的線段，8÷2即固定原點位置不動，將起點在原點-終點在8的位置的線段向左縮短到原來線段長度的一半，即4的位置。

第三板塊：基于共識，拓展延伸

師：大家提出的下面這些問題已經被我們一起解決了：

現在來看看下面這些問題，我們挑一個問題討論，剩下的請大家課后思考

生：“為什么0不能做被除數？”可以啊。他是不是寫錯了

師：是的，他想問的是“為什么0不能做除數？”

生13：因為0乘以任何數都是0，所以0×5=0，0×6=0，如果0可以做除數，那么根據乘法和除法的互逆性，0÷0=5，0÷0=6，怎么會有兩個答案呢，所以0不可以做除數。

師：很棒，用運算之間的關系說明了這個問題，好下課。

生：老師再見！

師：同學們再見。

課后反思：

本節課的內容較多，實際上是從數軸的地方斷開按照兩節課上的，在實際上課過程中，學生開學第一次做挑戰單，做的非常認真，并且提出了很多有意思的話題，我們課后利用自習的時間進行了分享和討論，孩子們在故事中體會數學的樂趣。教學中，發現對于運算中“平移變換”和“伸縮變換”的幾個關鍵要素沒有著重強調，沒有點透變換的本質。這是需要下次上課注意的地方。