筆記 | 邏輯學：必然性推理

1. 必然性推理

1.1. 演繹論證

論證：由一個或多個主張或前提和一個結論組成，前提支持結論。

演繹論證的結論為真的要求

  1. 前提必須為真；
  2. 論證必須有效。

演繹論證形式

大前提：所有 a 都是 A；
小前提：b 是 a；

結論：b 是 A。

演繹論證示例

所有狗都是哺乳動物；
我的寵物是一只狗；

我的寵物是一只哺乳動物。

2. 直言命題

概念：包含<u>內涵</u>（事物的特性 / 本質）及<u>外延</u>（事物的范圍）。

2.1. 概念間的集合關系

  • 全同：S = P；
  • 真包含 / 真包含于：P ? S / S ? P；
  • 交叉：S ∩ P ≠ ?；
  • 全異：S ∩ P = ?；

2.2. 四種直言命題的符號簡記

命題名稱 命題簡記 命題符號 命題表述 集合形式
全稱肯定命題 A 命題 SAP 「所有 S 都是 P?！?/td> ?x(S(x)→P(x))
全稱否定命題 E 命題 SEP 「所有 S 都不是 P。」 ?x(S(x)≠P(x))
特稱肯定命題 I 命題 SIP 「有些 S 是 P?！?/td> ?x(S(x)→P(x))
特稱否定命題 O 命題 SOP 「有些 S 不是 P?！?/td> ?x(S(x)≠P(x))

2.3. 四種直言命題的集合關系

直言命題 全同 (S = P) 真包含于 (S ? P) 真包含 (S ? P) 交叉 (S ∩ P ≠ ?) 全異 (S ∩ P = ?)
SAP √ √
SIP √ √ √ √
SEP √
SOP √ √ √

2.4. 四種直言命題的等價換位

原命題 等價換位后命題
所有 S 都是 P。 有些 P 是 S。
有些 S 是 P。 有些 P 是 S。
所有 S 都不是 P。 所有 P 都不是 S。
有些 S 不是 P。 ——

2.5. 命題間的對當關系

  • 矛盾：必有一真一假；
  • 下反對：必有一真，可同為真；
  • 反對：必有一假，可同為假；
  • 從屬：可同為真，可同為假；

矛盾命題的換位方法

  1. 將「所有」與「有些」互換；
  2. 將「不是」與「是」互換；

2.6. 四種直言命題的對當關系

SAP SIP SEP SOP
SAP —— 從屬（于） 反對 矛盾
SIP 從屬 —— 矛盾 下反對
SEP 反對 矛盾 —— 從屬（于）
SOP 矛盾 下反對 從屬 ——

3. 復言命題

3.1. 聯言命題與選言命題

  • 聯言命題：p 且 q (p && q)；
  • 選言命題
    • 相容選言命題：p 或 q (p || q)；
    • 不相容選言命題：要么 p，要么 q (either p or q)；

3.2. 聯言命題與選言命題的性質

p 且 q p 或 q 要么 p，要么 q
真假關系 一假即假 一真即真 有且只有一真才真
矛盾命題 !p丨!q !p && !q (p && q)丨(!p && !q)
推理規則 命題為真時：p、q 同為真 命題為真時：一者假，另一者必真；也可同為真 命題為真時：一者假，另一者必真；一者真，另一者必假

3.3. 假言命題

  • 充分條件假言命題：若 p，則 q (p → q)；
    • 可能的表述形式：「只要…就…」、「…必須…」、「如果…那么…」……
  • 必要條件假言命題：只有 p，才 q (p ← q)；
    • 可能的表述形式：「沒有…就沒有…」……
  • 其它形式改寫：
    • 「不 p，不 q」：p ← q (!p → !q)；
    • 「除非 p，否則 q」：p ← !q (!p → q)；

3.4. 假言命題的等價換位及連鎖推理

  • 等價換位：p → q === !p ← !q；
  • 連鎖推理：若 p → q，q → r，則 p → r；

3.5. 假言命題的性質

p → q p ← q
真假關系 前真后假才假 前假后真才假
矛盾命題 p && !q !p && q
推理規則 肯前能肯后，否后能否前；否前不否后，肯后不肯前 否前能否后，肯后能肯前；肯前不肯后，否后不否前
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