分而治之
從算法設計的分類上來說，插入排序屬于增量方法。在排序好子數組A[1 ‥ j-1]后，再將單個元素A[j]插入子數組的適當位置，產生排序好的子數組A[1 ‥ j]。整個算法就是不斷以此方法增量插入，直到子數組包含了所有數組元素。
本篇將要介紹的歸并排序，是用另一種思想來解決排序問題的，在算法設計分類上屬于分治法。
分治法思想是，將原問題分解為幾個規模較小但類似于原問題的子問題，遞歸的求解這些子問題，然后在合并這些子問題的解，最終建立原問題的解。
這里提到一個詞遞歸，其解釋是：為了解決一個給定問題，算法一次或多次的調用其自身以解決緊密相關的子問題。遞歸是分治思想的一個具體實現。
分治模式在每層遞歸時都有三個步驟：
- 分解：將原問題分解為若干子問題，這些子問題是原問題的規模較小的實例；
- 解決：遞歸的求解各子問題；
- 合并：合并子問題的解，得到原問題的解。
看到這里，“直覺”上可能會產生一個極大的疑問：最底層的子問題是在哪里解決的？產生這個疑問是正常的，因為第二步“解決”也僅僅是調用自身，其實就是重新進入了下一層的分解、解決和合并，而沒有看到“如何解決”。
答案是：無需解決。換句話說，層層分解到子問題的規模足夠小時，解就自己出現了。后面還會再提到這一點。
歸并排序偽碼
歸并排序按照分治法的三個步驟如下：
- 分解：分解待排序的n個元素的序列，變成各具n/2個元素的兩個子序列；
- 解決：遞歸的調用自身排序兩個子序列；
- 合并：合并兩個已排序的子序列以產生最終排序的序列。
上一篇合并算法中已經解決了合并算法MERGE，歸并排序就剩下如何進行分解，和遞歸調用了。
看代碼的確就這三步：
MERGE-SORT(A, p, r)
1 if p < r
2 q = (p + r) / 2
3 MERGE-SORT(A, p, q)
4 MERGE-SORT(A, q+1, r)
5 MERGE(A, p, q, r)
注：(p + r) / 2如果不是整除，則取小于它的最大整數。
p < r時，表明數組有繼續拆分的可能。當p ≥ r時，則表示該子數組最多有一個元素，所以無需排序就已經是排好序了，這就是分解到足夠小會導致的自動解決。換句話說，我們一直把數組分解下去，直到分成每個子數組只包含1個元素時，即第3行中p = q，第4行中q+1 = r，那么第3和第4行的MERGE-SORT會立即返回，并執行MERGE，然后返回上一層MERGE-SORT，直到最上層。
一個例子
一個有8個元素的數組A[5, 2, 4, 7, 1, 3, 2, 6]，采用歸并排序的圖示如下圖。圖中的下方藍區部分是上面白區的數組不同時刻的鏡像。白區主要在做“分解”，藍區主要在做“合并”。
歸并排序Java代碼
public static void mergeSortInASC(int [] numbers, int p, int r) throws Exception {
if(p < r){
int q = (int)Math.floor((p + r) / 2);
mergeSortInASC(numbers, p, q);
mergeSortInASC(numbers, q + 1, r);
mergeInASC(numbers, p, q, r);
}
}
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