“小明爬樓梯”問題

問題來源

可愛的小明特別喜歡爬樓梯,他有的時候一次爬一個臺階,有的時候一次爬兩個臺階,有的時候一次爬三個臺階。如果這個樓梯有36個臺階,小明一共有多少種爬法呢?

這是典型的遞歸問題:小明爬到第36個臺階,可以從第35個臺階再爬1階上去;可以從第34個臺階再爬2階上去,也可以從第33個臺階再爬3階上去——所以,他爬36階可選擇的爬法的數目相當于,爬35、34、33階可選擇的爬法的總數目,而爬35、34、33階各自可選擇的爬法的數目,又可以像這樣計算,直到回到最簡單的爬3、2、1階可選擇的爬法的數目(依次是4種、2種和1種)。

于是我們得到答案:小明這樣爬36個臺階,一共有2082876103種爬法。

下面是解決該問題的一份C程序代碼:

#include<stdio.h>
int f(int n){
    switch(n){
        case 1:
            return 1;
        case 2:
            return 2;
        case 3:
            return 4;
        default:
            return f(n-1)+f(n-2)+f(n-3);
    }
}
int main(){
    printf("%d\n",f(36));
    return 0;
}

它雖然很直觀,但速度卻比較慢。

于是再提供一份相對復雜,但更快的C程序代碼:

#include<stdio.h>
long f(int n){
    n++;
    int i;
    long table[n];
    for(i=0;i<n;i++){
        table[i]=0;
    }
    table[1]=1;
    table[2]=2;
    table[3]=4;
    for(i=4;i<n;i++){
        table[i]=table[i-1]+table[i-2]+table[i-3];
    }
    return table[n-1];
}
int main(){
    printf("%d\n",f(36));
    return 0;
}
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