不管本科高數還是考研數學，數列極限問題，看這一篇文章管夠，看完還不會做你來找我！
數列極限，是數列和極限兩個充滿不確定性的概念相混合，容易讓人產生摸不著頭腦，看到題目就害怕的感覺，本篇文章就按以下目錄對這塊兒重難點撥云見日，內容循序漸進，越往后越精彩，大家可以自行感受一下！
01 什么是數列
02 數列的極限
03 數列極限的計算(三種類型)
04數列相關證明題(兩種類型)
01 什么是數列？(掌握難度：★)
從字面意思就可以看出來：數列數列，就是將數排成隊列。詳細點來說，就是將一堆數按照某種規律排成一排，p.s.類似軍訓，教官讓我們按照從矮到高(某種規律)排成一排。
這時，有個數在開小差，教官就開始點名了。還記得我們當時軍訓時教官是怎么點名的么?
“第m排第n列,請出列”——這耳熟能詳的語句。
由于我們的數只有一列，所以我們就變成了，“第n個數請出列”。為了描述方便我們用符號 表示，含義為第n個數，于是就有
。如果可以用某個含n的式子來表示
，那么這個式子就叫做這個數列的通項公式，例如本文舉例的數列，它的通項公式就是：
。有了它，我們就可以快速get這一列數中的每一個數，是不是很方便。
但是，人總是貪心的。所以一定會有人問：“你不是說每一項你都知道么？那么第無窮項是多少呢？”這個時候就涉及到了數列的極限。
02 數列的極限(掌握難度：★★)
針對剛剛的問題——數列的“無窮項”是多少？即當
時，?
趨近于多少。可見這是一個極限問題，用數學式來表示：
上式的結果，有些是可預測的（可計算出結果），有些是不可預測的（結果不確定），如下：
例如：
（1）
（2）??
（3）? ?
數列(1)，在-1和1間搖擺不定，"第無窮項"鬼知道是1還是-1，因此極限不存在；
數列(2)，隨n增大， 也無限制地增大，增大到無窮時，無法用一個具體的數來表示，其極限也不存在。對于數列(1)和(2)，我們稱其為發散數列，或稱這個數列是發散的。
數列(3)，隨n增大，每一項的分母都會無限制的增大，進而每一項會越來越小，最終 ，所以此時我們可以預測在“第無窮項”處，數列的值趨近于0，這個時候我們也稱數列（3）收斂。
所以可知，當 的時候，數列的“第無窮項”我們是可以預測出來的，此時這個數列
也是收斂的。最終得到下面的關系：
收斂
存在
極限趨近的數學表達式： ，用大白話講就是：當n趨近無窮大時，
與A距離越來越近。而衡量兩個數的距離遠近，用絕對值來表示，就是
。所以該語句套上數學的外衣就是
，當然這句話也可以換一種說法，既然
那么也就是說
要多小有多小，即它比所有的正數都小，這就引出了很多教材常見的寫法：
設{}為實數數列，A 為定數，若對任給的正數 ε，總存在正整數N，使得當 n>N 時有
則稱數列{
}收斂于A，定數A稱為數列{
}的極限。
講完了定義，接下來講一下數列極限的計算。(對于考研的同學來說，這塊是難點內容)。
03 數列極限的計算(掌握難度：★★★★)：
類型一：求 
，其中 
已知，且只含有限個式子。
解法技巧：
a.利用極限相關知識直接計算
(有時會運用到不等式放縮、夾逼定理。p.s. 通常它們兩者是同時運用的)
相關例題：
b.令n=x或1/x，從而將離散的數列轉變成連續可導的函數來做。函數有著優良的處理手段，微分中值定理、洛必達，等價無窮小、泰勒展開等。進而使問題得到解決。
相關例題:
可見本題利用換元，將離散的數列變成一個具有優良性質的函數，進而利用函數的極限知識來求解數列極限，即實現了由陌生到熟悉的過程，最終解決問題！
c.利用級數相關知識求極限(如果級數 收斂，那么
)（數學1和數學3）
相關例題:
類型二：無窮多項和的極限
解題技巧：
a.利用高中知識求解
有可能會用到的高中知識：
?(1)若
(d為公差)，則{
}為等差數列
（等差數列前n項和）
(2)若?
(q為公比)，則 {
} 為等比數列
（等比數列前n+1項和）
（3）等差*等比求n項和時運用錯位相減：{
}為等比數列，求
?
作差后：?
(b為公差）
(4)裂項相消
相關例題:
解數列極限所用到的高中知識點，常見的也就是如上4條（等差數列求和、等比數列求和、錯位相減、裂項相消），掌握好即可！！！
b.不等式放縮+夾逼定理(兩者好似如膠似漆的情人，往往成對出現)
相關例題:
這種類型往往放縮是一個難點，那么如何放縮呢？這就需要平時多做題多總結。比如左邊例十三這種n項分式相加的題目，往往考慮到放縮分母至相同，因為這樣可以簡化式子。那么是什么條件能夠告訴你確實可以這樣做呢？那就是題目中所說的：最大分母和最小分母是等價無窮大；又如右邊例十四，將每一項都放大為1，得到一個式子；同時把小于1的每一項都縮小為0，又得到一個式子，為什么要這么做呢，因為我知道任何正數開無窮次方都為1，所以就想到這樣放縮，最后夾逼到1，因此做這種類型的題目，平時一定要多總結！！！
c.定積分定義(離散與連續的轉化思想) p.s. 有難度的題會協同放縮、夾逼定理一起為難你。
這種類型題目就是把所求的目標極限轉化為標準的定積分的定義式，然后將此數列轉化為定積分來做，即可得到解決。這里先回顧一下定積分的定義：
如上圖所示，如果想要求a、b兩點之間曲線和x軸之間的面積S，我們會怎么做呢（假如我們還不知道定積分這個東西），是不是想要找熟悉的形狀去進行一個估計呢，這確實是一個好辦法，事實上，很多數學家都是這樣做的：用若干個等寬的矩形去填充這個區域。如圖所示，當只用6個等寬矩形去填充這個區域時，此時這些矩形的總面積為S陰(表達式在圖下)，結合圖可以知道此時用S陰去代替所求的面積S誤差會很大，但是隨著這個矩形寬度減少到 ，即用27個等寬矩形去填充這個區域，可以發現誤差基本已經很小了。直到當矩形的寬度很小時，等寬矩形的數目趨近于無窮時，他們的面積可以認為是相等的，此時可用這個極限去估計這個所求區域的面積S了。而這個表達式即是定積分的定義式，如下所示：
可見左邊是一個數列的極限，而右邊是定積分。定積分的計算我們比較熟悉了，所以這個式子即可把抽象的數列極限轉變為定積分，用積分來解出值。所以遇到此類題的時候，要想方設法將所求的極限變成定積分定義式的表達形式，進而求解。
注：一般來說，所遇到的此類題大都是b=1，a=0。即為：
相關例題：
可見，有時候定積分定義可以和不等式放縮一起來考察，即把一個式子放縮至兩個定積分定義，且兩個定積分值相等，再用夾逼準則即可。
d.利用級數求和來解決（數學1和數學3）
即是將無窮項數列極限? 冪級數
和函數?
?代值得到結果
相關例題：
總結一下，就是首先將 里面的數
變成
，然后轉化成冪級數。下一步就是通過提取，求導，積分等手法將該冪級數往已知和函數的冪級數進行一個轉化，進而求出該冪級數的和函數，最終代入對應的值即可！！！
類型三：已知 三項之間的線性關系，求極限值(有興趣了解下)
解題技巧：
利用線性代數知識(對角化的其中一個運用)
若數列的遞推公式形如 且
已知，（a，b為常數且a，b不等于0，n=2,3……）則有如下過程：
這塊可以認為是線性代數的一個運用，即利用相似對角化解決矩陣A的n次方問題。從而求出對應的和
。
相關例題：
04 數列相關證明題(掌握難度：★★★★★)：
即證明 收斂
證明
存在
類型一：知道遞推關系證明收斂（形如? ）
這種類型大致分為以下兩種思路：一個就是逐漸增加（或減少）但是有界限，進而逐漸趨近于所求的極限；另一種就是類似于振蕩的趨近于某個極限。兩種類型的示意圖如下所示：
那么如何快速判定你所求數列的極限是哪一種形式呢？這里即也要從函數角度來思考。
首先這種類型的題目我們是知道遞推式：，故我們研究一下
。
先說結論吧：
a.若f(x)是單調遞增，那么數列? 單調。
證明：假設?
，則帶入函數中，
即?
為遞減數列
同理：當
時，能推出即?
b.若f(x)是單調遞減，那么數列為振蕩數列。
證明：假設
，則帶入函數中，
可推知其為振蕩數列。
c.若f(x)不單調，但? ?在其單調增區間內，那么依然有
單調。
證明過程和a類似，這里就不再證明啦！！
所以既有如下圖所示的證明流程思路：
接著就可以用以上的流程開始做題了，具體題目如下所示哈：
相關例題：
上面兩題即是常見單調數列證明收斂的手法，即單調有界法！！說白了就是證明兩點：1.單調；2.有界。
注：也可以通過證明數列單調遞增有上界或者單調遞減有下界，同樣能證明出數列收斂。
下面來看下振蕩數列如何證明其收斂
上面兩題即是當數列不單調時證明其收斂的手法。其難點在于第二步，如何找到對應的A和B。其中，A是數列最終收斂于的數，因此這里我們先假定收斂，有
，這樣就可以將
左右取極限，即?
便可以解出A的值。接著我們構造
，并將?
帶入，之后有 ：
，此時想辦法往
去變化，如果變化出來式子小于B小于1，那么就有遞推式：?
且當 時：
，這樣的話：
，即?
那么B如何求呢？一般是通過將所構造的 通分，提取等方法化簡出來
，然后將
前面的一連串東西提取到絕對值外面，即
，然后通過放縮來確定?是小于1，此時取它們之間的一個常數為B，而
在絕對值中進行變形轉變為A，此時這個式子就構造完畢，接著就可以證明了！！！
類型二：求不出形如 這樣的遞推式
這種求不出來遞推式的數列極限，相對較難求，此時無法用上述類型一的兩種套路方法。
此時需要根據具體表達式具體來做。大致步驟分為兩步：1.列出含有的相應表達式；2.利用這個表達式求解。
相關題目：
從上面兩題可以看出，利用表達式求解即一般就是找到的單調性、有界性，繼而用單調有界做；或者利用極限知識直接求解出值。
