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第一章 極限、連續與求極限的方法
·求極限的方法概述（約12種）：
- 利用極限的四則運算與冪指數運算法則
- 利用函數的連續性
- 利用變量替換與兩個重要極限
- 利用等價無窮小因子替換
- 利用洛必達法則
- 分別求左右極限
- 數列極限轉化為函數極限
- 利用適當放大縮小法
- 對遞歸數列先證明極限存在（常用到單調有界數列有極限的準則，對于無單調性有界數列還要用其他方法），再利用遞推關系求出極限
- 利用導數的定義求極限
- 利用泰勒公式
- 利用定積分求
n項式和的極限 - 利用拉格朗日中值定理求極限
一、極限的概念與性質
（一）極限的定義
1.1 數列的極限
1.2 函數的極限，趨近無窮時的極限
注：x與n趨向∞的含義不同，前者有正負，后者只有正
1.3 函數的極限，趨近于x0時的左右極限
（二）極限的性質
1.1 數列極限的不等式性質（兩條）
1.2 收斂數列的有界性
1.3 函數極限的不等式性質（兩條）
推論：極限的保號性
1.4 存在極限的函數的局部有界性
（三）兩個重要極限
二、極限存在性的判別
（一）極限存在的兩個準則
1.5 數列夾逼定理
1.6 函數夾逼定理
1.7 單調有界數列必收斂定理
（二）極限存在的一個充要條件
1.8 函數極限存在的充要條件，分段函數在分段點的左右極限相等
1.9 數列極限存在的充要條件，偶數項極限 = 奇數項極限 = A <=> 數列極限 = A
（三）證明函數極限不存在的常用方法
方法1：左右極限不相等，（比如含有那三個函數的極限要對正負無窮分別求極限，比如開根號、取絕對值時存在的正負問題）
方法2：xn、yn趨近于x0時f(xn)、f(yn)的極限不相等 （例1.4的Ⅰ）
方法3：不存在 + 存在 = 不存在、不存在 × 存在 = 不存在 （運算法則）（例1.4的Ⅱ）
三、求極限的方法
（一）利用極限四則運算和冪指數運算法則求極限
1.10 極限的四則運算法則及其推廣
1.11 冪指數函數的極限運算法則及其推廣
注：只有 每部分的極限存在才可用四則運算法則
（二）利用函數的連續性求極限
- 代入法
- 一切初等函數在定義域內都連續
（三）利用變量替換法與兩個重要極限求極限
主要是1的無窮型極限
注意看變量是否真的趨近于0，有可能變量極限不存在
（四）利用等價無窮小因子替換求極限
記住大概11個等價無窮小
（五）洛必達
洛就完事了
（六）分別求左右極限
要提高警覺，注意有哪些會導致左右不一致的變量
（七）利用函數極限求數列極限
主要是為了利用洛必達法則
（八）利用放縮法
利用夾逼定理
掌握幾種放縮手段，對分子分母進行調整，極限不等式，積分的極限，積分不等式等等
（九）遞歸數列極限的求法
方法1：先證數列收斂，然后去解
方法2：利用兩個結論
（十）利用導數的定義求極限（見第二章）
（十一）利用定積分求某些n項式和的極限（見第三章）
（十二）利用泰勒公式求未定式的極限（見第五章）
四、無窮小及其比較
-
無窮小階的比較，分式，常用洛必達或者泰勒公式
在這里插入圖片描述 確定無窮小的階的方法
方法1：等價無窮小
方法2：待定階數法
方法3：泰勒公式（見第五章）
方法4：利用無窮小階的運算性質
五、函數的連續性及其判斷
（一）連續性及其相關概念
1.8 連續性的定義（（1）~（3）有三個互相等價的定義）
（4）~（6）左連續、右連續、內連續
（二）間斷點的定義與分類
1.9 間斷點的定義
- 第一類
- 第二類
（三）判斷函數的連續性和間斷點的類型
- 初等函數
- 連續性運算法則
- 定義
- 分別判斷左右連續性
1.14 連續性運算法則 - 兩個函數做四則運算
- 兩個函數做復合運算
- 反函數連續性
六、連續函數的性質
（一）連續函數的局部保號性質
（二）有界閉區間上連續函數的性質
1.16 有界閉區間上連續函數的有界性
推論：第一類間斷點 => 有界
1.17 有界閉區間上連續函數存在最大、最小值
1.18 連續函數介值定理
推論：連續函數零點存在性定理
注：①推廣到開區間；②有界閉區間；③存在一點使得
推論：根據最大值最小值得出函數值域
注：求連續函數值域，就是求連續函數最值
（三）方程式根到存在性——連續介值定理的應用
可用來證明 f(x) = 0有根
這章常考題型約有十二種
后記：
對于上面的第13條，利用拉格朗日中值定理求極限，例題（法三）：
