問題：給定一個字符串，求它的最長回文子串長度。
提示：如果一個字符串正著讀和反著讀是一樣的，那它就是回文串。下面是一些回文串的實例：ada,acca...
輸入：addaf
輸出：4
解題思路：
1.所有的回文串都是對稱的。長度為奇數回文串以最中間字符的位置為對稱軸左右對稱，而長度為偶數的回文串的對稱軸在中間兩個字符之間的空隙。所以我可以遍歷這個字符串的每個字符，每次計算都假設每個字符是回文的中心（所以其實是在枚舉回文中心）然后將這個字符向左向右擴展直至不重復為止，遍歷一次下來就能找到最大的回文子串。時間復雜度O(n^2)
代碼（C 環境：Xcode）
int func(char *s){
int n,i,j,c,max;
n = strlen(s);
if(n < 1){
return 0;
}
else{
max = 0;
for (i = 0; i < n; i++) { // i is the middle point of the palindrome
for (j = 0; (i - j >= 0) && (i + j < n); j++){ // for the odd case
if (s[i - j] != s[i + j]){
break;}
c = j * 2 + 1;
}
if (c > max)
max = c;
for (j = 0; (i - j >= 0) && (i + j + 1 < n); j++){ // for the even case
if (s[i - j] != s[i + j + 1]){
break;}
c = j * 2 + 2;
}
if (c > max)
max = c;
}
}
return max;
}
存在的問題
1.代碼復雜
回文長度的奇偶性影響很大（回文中心是字符之間的空隙還是字符？）代碼是分開的。
2.重復訪問
舉個例子
char: a b a b a
i : 0 1 2 3 4
當i==1，和i==2時，左邊的子串aba分別被遍歷了一次。
解決辦法：Manacher 算法
(1)Manacher算法首先對字符串做一個預處理，在所有的空隙位置(包括首尾)插入同樣的符號，要求這個符號是不會在原串中出現的。這樣會使得所有的串都是奇數長度的。以插入*號為例：
aba:*a*b*a* //回文長度L=奇數
abba:*a*b*b*a* //回文長度L=奇數
插入的是同樣的符號，且符號不存在于原串，因此子串的回文性不受影響，原來是回文的串，插完之后還是回文的，原來不是回文的，依然不會是回文。
(2)我們把一個回文串中最左或最右位置的字符與其對稱軸的距離稱為回文半徑。Manacher定義了一個回文半徑數組RL，用RL[i]表示以第i個字符為對稱軸的回文串的回文半徑。我們一般對字符串從左往右處理，因此這里定義RL[i]為第i個字符為對稱軸的回文串的最右一個字符與字符i的距離。對于上面插入分隔符之后的兩個串，可以得到RL數組：
char: # a # b # a #
RL : 1 2 1 4 1 2 1
RL-1: 0 1 0 3 0 1 0
i : 0 1 2 3 4 5 6
char: # a # b # b # a #
RL : 1 2 1 2 5 2 1 2 1
RL-1: 0 1 0 1 4 1 0 1 0
i : 0 1 2 3 4 5 6 7 8
上面我們還求了一下RL[i]-1。通過觀察可以發現，RL[i]-1的值，正是在原本那個沒有插入過分隔符的串中，以位置i為對稱軸的最長回文串的長度。那么只要我們求出了RL數組，就能得到最長回文子串的長度。
于是問題變成了，怎樣高效地求的RL數組。基本思路是利用回文串的對稱性，擴展回文串。
具體可以參考（關于Manacher我見過最詳細的帖）：
<a >Manacher傳送門</a>
代碼(C 環境：Xcode)
void make_odd(char *s){//pre-process the string, make length be the odd
int len_1,len_2,i;
len_1 = strlen(s);
len_2 = 2*len_1 + 1;
for(i = len_1-1;i>=0;i--){
s[2*i +1] = s[i];
s[2*i]='*';
}
s[len_2-1]='*';//last_position
s[len_2]='\0';
}
int func_2(char *s){
int i,MaxRight,pos,MaxLen,RL[100];
for(i=0;i<strlen(s);i++){
RL[i] = 0;
}//RL=[0]*len(s)
MaxRight=0;
pos=0;
MaxLen=0;
//for i in range(len(s)):
for(i=0;i<strlen(s);i++){
if(i<MaxRight){
RL[i] = RL[2*pos-i]<MaxRight-i?RL[2*pos-i]:MaxRight-i;
//RL[i]= min (RL[2*pos-i], MaxRight-i)
}
else{
RL[i]=1;
}
while( i-RL[i]>=0 && i+RL[i]<strlen(s) && s[i-RL[i]]==s[i+RL[i]]){
RL[i]+=1;
}
if(RL[i]+i-1>MaxRight){
MaxRight=RL[i]+i-1;
pos=i;
}
MaxLen=MaxLen>RL[i]?MaxLen:RL[i];//update MaxLen
}
return MaxLen-1;
}
復雜度分析
空間復雜度：插入分隔符形成新串，占用了線性的空間大小；RL數組也占用線性大小的空間，因此空間復雜度是線性的。
時間復雜度：盡管代碼里面有兩層循環，但Manacher的時間復雜度是線性的。由于內層的循環只對尚未匹配的部分進行，因此對于每一個字符而言，只會進行一次，因此時間復雜度是O(n)。
References
1.<a href =https://segmentfault.com/a/1190000003914228)>最長回文子串——Manacher 算法的python實現 </a>
2.LeetCode:Longest Palindromic Substring 最長回文子串
