問題定義
最長回文子串問題：給定一個字符串，求它的最長回文子串長度。
解法1：暴力解法
找到字符串的所有子串，判斷每一個子串是否是回文串。
一個子串有該串的起點和終點確定，因此對于長度為N的字符串共有 N2個子串， 這些子串的平均長度為N/2 (判斷是否是回文串的時間復雜度O(N)). 因此時間復雜度O(N3)
解法2：改進暴力解法
所有的回文串都是關于某個位置對稱。
長度為奇數回文串以最中間字符的位置為對稱軸左右對稱；
長度為偶數的回文串以中間兩個字符之間的空隙為對稱軸左右對稱。
我們可以遍歷字符串中的這些位置, 從每個位置同時向左右擴展，直到兩邊的字符不同，或達到邊界。這類位置共 N + N-1 = 2N-1個，且在每個位置上大約要進行N/4次字符比較，因此算法復雜度O(N2)
解法3：Mancher算法
解法2存在的缺陷：
- 存在很多子串被多次重復訪問比較的情況
- 回文串的長度的奇偶性，造成不同的對稱軸位置，解法2需要分別處理
步驟1：解決因回文串的長度的奇偶性需要分別處理對稱軸的問題
方法：在字符串的開頭和末尾，以及每兩個字符的中間位置插入唯一標識符#.
這樣構造字符串后，字符串的長度始終是奇數。 例如，
aba ==> #a#b#a#
abba ==> #a#b#b#a#
步驟2：解決子串多次重復訪問的問題
為了最大程度的利用已經訪問過的回文串的信息， Manacher算法巧妙的定義了回文半徑: 即，回文串最左或最右位置到對稱軸的距離。
回文半徑數組RL, RL[i]表示以第 i 個字符為對稱軸的回文串的回文半徑。例如，
RL[i]值的性質：RL[i]-1 表示 原始字符串中以 第 i 個位置為對稱軸 的最長回文串長度。
證明：
在改造過的字符串中，以 第 i 個位置為對稱軸的回文串的 最左和最右字符一定是 #.
第i個位置對應的字符，分兩種情況，（如圖1）:
- 第i個位置對應的字符是 #，則回文串共有奇數個字符，從回文串的最左位置到第i個位置共有，(RL[i]-1)/2 個非#字符， (RL[i] - (RL[i]-1)/2)個#字符， 由于左右關于第 i 個位置對稱，因此,該回文串中非#字符共有 (2 * (RL[i]-1)/2) = (RL[i]-1)個非#字符。
- 第i個位置對應的字符是 非#字符，則回文串共有偶數個字符，從回文串的最左位置到第i個位置共有，RL[i]/2-1 個非#字符 (減1是為了不計算第 i 個位置的字符)， (RL[i] - RL[i]/2+1)個#字符， 由于左右關于第 i 個位置對稱，因此,該回文串中非#字符共有 (2 * (RL[i]/2-1)) + 1 = (RL[i] - 1)個非#字符 （最后的+1，是將第 i 個位置也算上）。
步驟3：如何利用RL數組，減少重復訪問字符串
為了盡可能的減少重復訪問字符串的次數，引入變量 MaxRigth 表示 在從左到右，已經訪問過的回文串中，回文串所能觸及到字符串的最右位置，即該回文串的中心為pos，則其關系如下圖2所示：
idx在4和12之間的所有字符都關于pos位置對稱！
由于pos是已經訪問過的位置，則 當前訪問到的位置 i 只能位于pos的右邊，且有兩種情況：
1）當前訪問的位置 i 在MaxRight的左邊，如圖3所示
從圖中可以看出，以位置 i 為中心的回文串必然與以pos為中心的回文串存在一部分的重合。
現在我們想找出以位置 i 為中心的回文字符，為了減少重復訪問字符，我們希望可以知道以位置 i 為中心的左右兩邊哪些字符已經是對稱的。
我們知道，以pos為中心的左右兩邊對稱，位置 i 在pos的右邊，那么在pos的左邊必然存在和 位置 i 對稱的位置（假設我們記該對稱的位置為 j）。如圖3中的idx=6 。
由于位置 j 已經訪問過，我們知道以位置 j 為中心的回文串回文半徑, 此處分兩種情況討論：
- 以位置 j 為中心的回文串在 位置pos和位置Maxright的對稱位置之間，如圖4所示.
如圖所示，由于以位置 j 為對稱軸的回文串的回文半徑已知，根據對稱性，我們知道位置 i 的左右鄰居對稱，因此可以從左右鄰居開始尋找以位置 i 為對稱抽的回文串，這樣便減少了對字符的重復訪問。
- 以位置 j 為中心的回文串不在 位置pos和Maxright的對稱位置之間，如圖5所示.
此時我們只能確定紅色線條之間字符關于位置 i 對稱，但這也減少了重復訪問字符的次數。此時，只需要從左紅線的左端，右紅線的右端開始遍歷字符、判斷對稱，尋找最長回文字符。
2）當前訪問的位置 i 在 MaxRight的右邊，如圖6。
此時，說明以位置 i 為對稱軸的回文串的左右兩側的對稱信息，無法從歷史信息中推導出來，我們不得不從位置 i 的左右鄰居開始判斷是否相同，指定遇到不同的字符或達到邊界為止。
步驟4：如何更新RL數組, MaxRight變量，位置pos
if(i < MaxRight){
// RL[i] 初始值
RL[i] = min(RL[pos - (i - pos], MaxRight-i)
}else {
// RL[i] 初始值
RL[i] = 1;
}
以位置 i 為對稱軸 從對稱軸的左右RL[i]距離處，同時向左右開始訪問字符，并同時更新RL[i]
MaxRight = RL[i]+i-1 > MaxRight ? RL[i]+i-1 : MaxRight
pos = RL[i]+i-1 > MaxRight ? i : pos;
算法實現
public int findLongestPalindromicSubstring(String s){
// 填充字符, 假設字符#在s中沒有出現過
String cs = "#";
for(int i=0; i<s.length(); ++i){
cs += s.charAt(i);
cs += "#";
}
// 保存最長的回文字符串的長度
int maxlen = 0;
int[] RL = new int[cs.length()];
int maxRight=0, pos=0;
for(int i=0; i<cs.length(); ++i){
// 根據 i 位于maxRight的左邊還是右邊更新RL[i]
if(i < maxRight){
// i 在maxRight左邊的情況
RL[i] = Math.min(RL[2*pos-1], maxRight-i);
}else{
// i 在maxRight右邊的情況
RL[i]=1;
}
// 邊界判斷, 回文判斷
while(i+RL[i]<cs.length() && i-RL[i] >=0 && cs.charAt(i+RL[i])==cs.charAt(i-RL[i])){
++RL[i];
}
if(RL[i]+i-1 > maxRight){
maxRight = RL[i] + i -1;
pos = i;
}
// 更新最長回文字符串的長度
maxlen = maxlen > RL[i] ? RL[i] : maxlen;
}
// 利用RL的性質
return maxlen-1;
}
復雜度分析
空間復雜度：插入分隔符形成新串，占用了線性的空間大小；RL數組也占用線性大小的空間，因此空間復雜度是線性的。
時間復雜度：盡管代碼里面有兩層循環，通過平攤分析，我們可以得出，Manacher的時間復雜度是線性的。由于內層的循環只對尚未匹配的部分進行，因此對于每一個字符而言，只會進行一次，因此時間復雜度是O(n)。
注：文本主要參考了文獻[1]，并在理解的基礎上，做了些許更改。
