三角函數(shù)

18世紀(jì)數(shù)學(xué)家廣泛研究了三角級(jí)數(shù)，由于天文現(xiàn)象大多是周期性的，因此在天文學(xué)中很有用。為了確定行星在介于觀測位置之間的位置，人們首先在三角級(jí)數(shù)中考慮了插值問題。

三角級(jí)數(shù)

1729年歐拉處理一個(gè)插值問題：已知f(x)對整數(shù)x的值為1，求一個(gè)周期解。他用一個(gè)三角級(jí)數(shù)表示：

其中系數(shù)根據(jù)每個(gè)f(n)=1而定

三角級(jí)數(shù)形式與現(xiàn)在使用的任意函數(shù)的傅里葉展開一樣，系數(shù)由積分決定。1754年達(dá)朗貝爾研究把兩個(gè)行星間距離的倒數(shù)展開為原點(diǎn)到行星兩條射線的夾角的余弦級(jí)數(shù)，系數(shù)也同傅里葉級(jí)數(shù)一樣由積分決定。

歐拉還用另一種形式得到了函數(shù)的三角級(jí)數(shù)。拉格朗日也得到了同樣的級(jí)數(shù)，但是他們都沒有意識(shí)到他們已經(jīng)把非周期函數(shù)表示成三角級(jí)數(shù)（后來他們還是發(fā)現(xiàn)了）。達(dá)朗貝爾經(jīng)常拿x^2/3作為不能展開為三角級(jí)數(shù)的例子，拉格朗日給出了表示形式，但達(dá)朗貝爾反對稱兩邊導(dǎo)數(shù)不一致，而且拉格朗日的辦法可以把sinx表示為余弦級(jí)數(shù)，但sinx是奇函數(shù)，余弦級(jí)數(shù)是偶函數(shù)，這個(gè)問題在18世紀(jì)未得到解決。

1777年歐拉研究天文問題時(shí)用三角函數(shù)的正交性得到了三角級(jí)數(shù)的系數(shù)，也是我們現(xiàn)在使用的方法。上述提到的三角級(jí)數(shù)的工作表現(xiàn)了一個(gè)矛盾現(xiàn)象：雖然當(dāng)時(shí)大家試圖把所有類型的函數(shù)表示成三角級(jí)數(shù)，但歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日認(rèn)為并非任意函數(shù)都可以表示成三角級(jí)數(shù)。

連分式

歐拉研究過連分式并給出了兩個(gè)關(guān)于e的表達(dá)式，他實(shí)質(zhì)證明了e和e^2是無理數(shù)（用連分?jǐn)?shù)可以得到無理數(shù)的逼近）。他奠定了連分式的理論基礎(chǔ)，在《引論》中證明了怎樣表示級(jí)數(shù)的連分式，以及怎樣從連分式反推級(jí)數(shù)。

歐拉和拉格朗日在柏林科學(xué)院的同事蘭伯特（1728-1777）證明了歐拉在連分式上的工作：如果x是非0有理數(shù)，那么e^x和tg x都是無理數(shù)。蘭伯特證明了e^x對正整數(shù)x是無理數(shù)，且證明了所有有理數(shù)都有無理自然對數(shù)。tgx=1時(shí)x=π/4，所以π是無理數(shù)，他實(shí)際證明了tg x的連分式展開的收斂性。

拉格朗日用連分式找到了求方程無理根的近似方法，他用連分式形式給出了微分方程的近似解。1768年拉格朗日證明了歐拉在1744年證明的一個(gè)定理的反定理，這個(gè)反定理說：二次方程的實(shí)根是周期連分式。

ps:今天這部分的理論基本上沒看懂，因此砍掉了很多枝節(jié)，如有表述上的問題先行滑軌。