函數依賴理論
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邏輯蘊涵
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定義：
- 存在如下條件
- 關系模式：r(R)
- 依賴集：F （由一個或多個依賴組成）
- 依賴：f
- 若r(R)滿足F ==> r(R)滿足f
- 我們稱 F 邏輯蘊涵 f
ps: 其中f可由F通過Armstrong公理推得
- 存在如下條件
- 舉個栗子：
給定關系模式 r(A, B, C, G, H, I)
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F包含如下依賴
- A → B
- A → C
- CG → H
- CG → I
- B → H
函數依賴f : A → H
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其中 f 被 F 邏輯蘊涵
- 由Amstrong傳遞公理可知：A → B, B → H ==> A → H
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函數依賴集的閉包
- 令 F 為一個函數依賴集。則 F的閉包 是 被 F 邏輯蘊涵的所有函數依賴的集合
- 記作：F+
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Armstrong公理（Armstrong's axiom）
公理是科學的客觀規律，不需要自己證明，直接用就行
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Armstrong 公理
- 自反律（reflexivity rule）。若α為一個屬性集，且β?α， 則α→β
- 舉個栗子：(A, B)→A
- 增補律（augmentation rule）。若α→β成立且γ為一屬性集，則γα→γβ
- 舉個栗子：(A, B)→C ==> (A, B, D, E)→(C, D, E)
- 傳遞律（transitivity rule）。若α→β和β→γ成立，則 α→γ 成立
- 舉個栗子：A→B, B→C ==> A→C
- 自反律（reflexivity rule）。若α為一個屬性集，且β?α， 則α→β
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Armstrong公理是完備的，對于一個給定的函數依賴集F，通過Armstrong公理可以產生全部的F+
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Armstrong公理的一些推論
可由Armstrong公理直接推得，也可以當做公理使用
- 合并律（union rule）。若α→β和α→γ成立，則α→βγ
- 舉個栗子：A→B, A→C ==> A→(B, C)
- 分解律（decomposition rule）。若α→βγ成立，則α→β和α→γ成立
- 舉個栗子：A→(B, C) ==> A→B, A→C
- 偽傳遞律（pseudotransitivity rule）。若α→β和γβ→δ成立，則αγ→δ成立
- 舉個栗子：A→B, (B, C)→D ==> (A, C)→D
- 合并律（union rule）。若α→β和α→γ成立，則α→βγ
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屬性集的閉包
- 令α為一個屬性集，我們將函數依賴集 F 下被α 函數確定的所有屬性的額集合為稱為F下α的閉包
- 記作：α+
- 偽代碼如下：
result := α repeat for each 函數依賴 β→γ in F do begin if β ? result then result := result ∪ γ end until(result 不變)
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正則覆蓋（極小函數依賴集）
- 如果去除函數依賴中的一個屬性不改變函數依賴集的閉包，則稱該屬性是無關的
- F的正則覆蓋 Fc 是一個依賴集，使得F邏輯蘊涵Fc 中的所有依賴，并且Fc 邏輯蘊涵F中的所有依賴。此外，Fc 必須具有如下性質 ：
- Fc 中任何函數依賴都不含無關屬性
- Fc 中函數依賴的左半部都是唯一的。即Fc 中不存在兩個依賴α1→β1和α2→β2， 滿足α1=α2
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無損分解
- 如果用兩個關系模式r1(R)和r2(R)替代r(R)時沒有信息損失，則我們稱該分解時無損分解（lossless decomposition）
- SQL 表示
-- 下面查詢的結果與r具有相同結果的元組集 SELECT * FROM r1 natural join r2 - 關系代數表示：
- ∏R1(r) ? ∏R2(r) = r
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