小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該怎么來學(xué)

題記:一位孩子的媽媽問我,孩子學(xué)得很努力,結(jié)果成績一直上不去,不知道怎么辦?希望我能給與指導(dǎo)。然而,對這個問題,雖說有多年的教育教學(xué)積淀,但也未必就能說清楚,說到位。即使說了,也未必能對一些孩子有用。既如此,那我就孤妄說之,大家孤妄聽之吧。

一直以來,在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中,曾就題論題地給孩子們傳授很多解題方法,也零零碎碎地給學(xué)生們指導(dǎo)了很多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法,但從未系統(tǒng)地思考數(shù)學(xué)究竟應(yīng)該怎么來學(xué)。結(jié)合二十多年教育教學(xué)經(jīng)驗,下面就談一談自己的粗淺認(rèn)識。

一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在理解。

學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的問題是,老師一講覺得都會,考試一做,發(fā)現(xiàn)都不對,為什么會這樣呢?根源在于,沒有真正地理解知識。

數(shù)學(xué)是理科,需要理解性地去學(xué)習(xí)。理解性學(xué)習(xí)就是要弄清知識之間的因果關(guān)系、縱橫聯(lián)系,理清知識的來龍去脈,知其然更要知其所以然。簡單地說,面對數(shù)學(xué)概念、公式以及解答過程,都要想一想“為什么這樣”,自己能答出來,就是真理解了。

只有理解了知識,才能真正地掌握知識,靈活地運(yùn)用知識,否則很容易陷入機(jī)械主義、形式主義,陷入死記硬背、死搬硬套。這就是一些學(xué)生看似學(xué)會了,過后容易遺忘,看似懂了,卻不會做題。

比如說,圓柱側(cè)面積問題,就要理解清楚:什么是側(cè)面積?側(cè)面積怎么算?為什么這樣算?只有把這三個問題弄明白,才能靈活解答有關(guān)側(cè)面積的問題。問題是,一些孩子對這三個問題,多數(shù)僅停留在死記公式上,這就容易導(dǎo)致公式記錯、記混,也導(dǎo)致了在求相關(guān)變式題時,不能靈活思考。

當(dāng)然,數(shù)學(xué)知識的螺旋上升體系,決定了數(shù)學(xué)知識間的縱橫聯(lián)系千絲萬縷。比如要想明白什么是側(cè)面積,還要明白什么是側(cè)面什么是面積;要明白側(cè)面積為什么那樣算,還要知道側(cè)面展開是什么形狀以及相鄰兩條邊與圓柱間的關(guān)系。如果在這些地方出現(xiàn)一個認(rèn)知障礙,就可能成為“壓死駱駝的最后一根稻草”,就會出現(xiàn)理解不暢,運(yùn)用不靈的現(xiàn)象。

因此,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,尤其在學(xué)習(xí)新教材時,一定要停留下來,多一些事實、現(xiàn)象與概念規(guī)則(公式、定律等)之間聯(lián)系抽象,多一些“是什么”、“為什么”的自問自答,多一些“怎么辦”、“有什么用”的琢磨領(lǐng)悟,多一些“還可以怎樣”的質(zhì)疑問難。這種思辨與省察,就是數(shù)學(xué)上的深度學(xué)習(xí)。

當(dāng)然,這樣的思維訓(xùn)練,需要成人(父母或老師)長期的引領(lǐng),需要一段時間的刻意練習(xí),也需要有自由支配的時間。這種思考上的“慢”,能確保解決問題時的“快”。這種“慢”的藝術(shù),是發(fā)展抽象思維、邏輯思維、建模思維、創(chuàng)新思維的有效方式?!拔宜脊饰以凇?,當(dāng)這樣的思考成為習(xí)慣,那么你往往能抓住事物的本質(zhì),擁有敏銳的洞察力,成為人群中的佼佼者。

二、問題解決的突破口在于“關(guān)系”。

有些孩子還經(jīng)常出現(xiàn)這樣的困惑:明明已經(jīng)把概念、公式、定理等理解掌握住了,但一考試經(jīng)常有無從下手的挫敗感,怎么回事?

毋庸置疑,我們在解決問題時,肯定要用到理解掌握的基本概念、公式等知識,但它們又往往只能解決一些相對簡單的基本題目,解決不了復(fù)雜的變式題以及綜合性強(qiáng)的題目。復(fù)雜性題目不僅需要對許多概念公式等基本知識的熟練掌握,還涉及到解決問題的策略方法。

在日常的學(xué)習(xí)過程中,老師們也會傳授各種各樣的解題策略和方法,比如列舉法、假設(shè)法、表格法、畫圖法、倒推法、轉(zhuǎn)化法、嘗試調(diào)整法等。針對不同類型的數(shù)學(xué)問題,往往要采用不同的解題方法。然而,識別有些題目類型也并非易事,況且即使識別出來,也未必就能靈活地運(yùn)用相關(guān)解題策略予以突破,何況還會遇到大量辨別不清類型的問題。那么,有沒有便捷有效地突破難題的策略?

有。

從學(xué)科本質(zhì)上說,數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間圖形的科學(xué)。數(shù)學(xué)問題里往往蘊(yùn)含著各種數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系等,對數(shù)學(xué)知識的理解意味著能正確把握各種“關(guān)系”,建構(gòu)起數(shù)學(xué)模型,因而解決問題的突破口往往就在于發(fā)現(xiàn)“關(guān)系”、理清“關(guān)系”、運(yùn)用“關(guān)系”。我們經(jīng)常說,解決問題的關(guān)鍵在于正確分析數(shù)量關(guān)系。其實,我們分析問題的過程就是分析各種“關(guān)系”的過程。因此,當(dāng)孩子無從下手時,一定要從題目中抽象出數(shù)量,并從它們之間的關(guān)系上去分析,去突破。

當(dāng)然,數(shù)量之間的關(guān)系、圖形之間關(guān)系需要依據(jù)事實、概念、公式等邏輯關(guān)系去運(yùn)算、去處理。

比如有這樣一道習(xí)題:有兩件衣服都以120元的特價出售,其中一件提價20%,另一件降價20%。這兩件售出后,是賺了還是賠了?

分析這道題目的關(guān)鍵,在于正確分析兩個分率蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,即兩個20%分別表示誰是誰的20%。如果學(xué)生能正確理解提價或降價都是與原價比較,原價是單位“1”的量,120元這個數(shù)量表示的是現(xiàn)價,那么數(shù)量之間的關(guān)系應(yīng)是120元分別是原價的120%和原價的80%。理清這個關(guān)系后,兩件衣服的原價就可以分別求出,接下來就是用現(xiàn)價之和與原價之和進(jìn)行比較。

學(xué)生常出現(xiàn)的錯誤就是把120元錢當(dāng)成單位“1”,分別求出120元的120%和120元的80%。出錯的根本原因是不能正確分析數(shù)量之間的關(guān)系, 不能從現(xiàn)實出發(fā)根據(jù)分率識別數(shù)量關(guān)系。學(xué)生不能聯(lián)系生活理解提價、降價,不知道當(dāng)我們說提價、降價時,都是和原價比較,都是把原價看做單位“1”,因此20%就是指提價(或降價)的錢數(shù)是原價的20%。

數(shù)學(xué)問題解決的過程,是正確分析各種邏輯關(guān)系的過程,畢竟數(shù)學(xué)研究的是數(shù)理邏輯,是一門“關(guān)系”學(xué)。因此在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,我們要善于從各種數(shù)理關(guān)系出發(fā),建立數(shù)學(xué)模型,然后依據(jù)各種邏輯關(guān)系,去推理論證,從而解決問題。

三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要有適度地刻意練習(xí)。

人們常說,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要靠多刷題。這話有一定的道理。就知識類型而言,數(shù)學(xué)主要是程序性知識,是以技能學(xué)習(xí)為主的。我們知道,技能的掌握要靠多練習(xí)。

學(xué)過彈鋼琴的都懂,一個單調(diào)的旋律,都需要上百次的反復(fù)練習(xí)。而數(shù)學(xué)知識,遠(yuǎn)比鋼琴曲調(diào)更復(fù)雜,自然更需要大量地練習(xí)。因此說,數(shù)學(xué)需要大量刷題的,也是小學(xué)階段唯一需要每天布置書面作業(yè)的學(xué)科。

就目前小學(xué)階段需要形成的關(guān)鍵能力之一——運(yùn)算能力而言,許多學(xué)生遠(yuǎn)遠(yuǎn)尚未達(dá)標(biāo)。這從很多學(xué)生大量計算失誤中,可以窺斑知貌。多年教學(xué)經(jīng)驗來看,這些計算經(jīng)常出錯的學(xué)生,往往是在一至四年級,計算能力形成的關(guān)鍵時期缺乏大量必要的練習(xí)造成的。

比如,加減法出錯,往往是100以內(nèi)加減法練習(xí)不夠造成的;乘除法出錯,往往是乘法口訣表不能熟練掌握造成的。

不妨這樣說,孩子計算老出錯,往往是一二年級計算訓(xùn)練量不足導(dǎo)致的。多年的教學(xué)經(jīng)驗也表明,當(dāng)一個學(xué)生對100以內(nèi)加減法和乘法口訣表達(dá)到自動化時,計算的正確率根本就不是問題。

遺憾的是,在這個人人喊“減負(fù)”,個個是(教育)行家的時代,一二年級的計算練習(xí)被嚴(yán)重忽視,必然導(dǎo)致后勁不足,難以提升,計算也成了一些學(xué)生的“噩夢”。

不只計算問題,數(shù)學(xué)上的基本概念的學(xué)習(xí),更是需要讓學(xué)生依托大量直觀現(xiàn)象 ,反復(fù)從中抽象出相關(guān)定義、公式、定律等,這樣的反復(fù)訓(xùn)練才是有意義的學(xué)習(xí),才有助于理解。比如,在學(xué)習(xí)乘法分配律時,一開始應(yīng)讓學(xué)生從大量數(shù)學(xué)情景中,反復(fù)抽象出乘法分配律的數(shù)學(xué)模型,這樣才能真正地熟練掌握。

其實,數(shù)學(xué)是高度抽象化的知識體系,只有在反復(fù)練習(xí)中,才能逐熟悉、熟練,進(jìn)而“形象”化。從某種意義上來說,數(shù)學(xué)知識之所以抽象難懂,那是練習(xí)量不足造成的。舉個栗子,1+1對我們來說簡單易懂,是很形象化的,那是我們無數(shù)遍練習(xí)的結(jié)果,要知道,對于幼兒園的初學(xué)者來說,這可是很抽象難懂的。

當(dāng)然,數(shù)學(xué)上進(jìn)行大量的練習(xí),搞題海戰(zhàn)術(shù),有些時候也未必有效。因為只有“量”,沒有“質(zhì)”,效果有限,也會造成一定的負(fù)擔(dān)。

我們提倡刻意練習(xí),是指既要有大量有梯度的變式練習(xí),又要及時進(jìn)行反饋,還要針對反饋結(jié)果進(jìn)行的針對性練習(xí)。這是一個復(fù)雜的系統(tǒng)性工程,需要成人(老師或家長)的協(xié)助。

首先,練習(xí)的題目不能千篇一律,必須變化多樣,多種形式,而且由易到難,有一定的梯度。其次,練習(xí)后必須及時反饋,知道對錯,同時弄清錯因掌握正確的解答方法。最后,針對出錯的題目,再此練習(xí)直至正確熟練地求解。

這樣一個循環(huán)往復(fù)的過程,對學(xué)生和成人要求都很高。習(xí)題設(shè)計,非專業(yè)研究人員,都是有難度的,但大量的教輔資料可以彌補(bǔ)我們能力的不足,選購合適的資料往往事半功倍。然而完成初步練習(xí)后,成人如何協(xié)助孩子識別錯誤、整理錯題,以及如何利用好錯題,都是需要投入精力、時間和智慧的,還考驗著大人尤其是孩子的意志。

雖說刻意練習(xí)在現(xiàn)實生活中還存在著各種不足,但我們要相信:只要行動就會有收獲,只要堅持就能創(chuàng)造奇跡!

四、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要善于歸納總結(jié)。

《人是如何學(xué)習(xí)的》告訴我們,元認(rèn)知能力往往能極大地提升我們的學(xué)習(xí)能力。元認(rèn)知能力,就是對學(xué)習(xí)過程的自我監(jiān)控、自我反思的能力。

學(xué)生在理解概念、解決問題后,需要及時反思回顧:我是通過什么方式理解這個概念、解決這個問題的,這個基本概念(或問題)以以往學(xué)習(xí)的哪些概念(或問題)有聯(lián)系。長期這樣的反思回顧,能幫助孩子掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的策略方法,發(fā)展歸納總結(jié)能力,有助于孩子形成一套自己的學(xué)習(xí)方法。

通過反思總結(jié)形成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與方法,是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的加速器,不僅有利于學(xué)生掌握知識,還能形成一定的創(chuàng)新能力。

至于學(xué)好數(shù)學(xué),還需要注意課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)、要有興趣、信心等學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)態(tài)度等方面,其實這些適合于一切學(xué)科的學(xué)習(xí),這里就不再贅述。以上四點,只是結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點,特別需要努力的方向,也是能實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可持續(xù)性發(fā)展的。

總而言之,數(shù)學(xué)是思維的“體操”,要學(xué)好數(shù)學(xué)一定要勤思考、勤動腦。

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