題記:一位孩子的媽媽問我，孩子學(xué)得很努力，結(jié)果成績一直上不去，不知道怎么辦？希望我能給與指導(dǎo)。然而，對這個問題，雖說有多年的教育教學(xué)積淀，但也未必就能說清楚，說到位。即使說了，也未必能對一些孩子有用。既如此，那我就孤妄說之，大家孤妄聽之吧。
一直以來，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，曾就題論題地給孩子們傳授很多解題方法，也零零碎碎地給學(xué)生們指導(dǎo)了很多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，但從未系統(tǒng)地思考數(shù)學(xué)究竟應(yīng)該怎么來學(xué)。結(jié)合二十多年教育教學(xué)經(jīng)驗，下面就談一談自己的粗淺認(rèn)識。
一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在理解。
學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的問題是，老師一講覺得都會，考試一做，發(fā)現(xiàn)都不對，為什么會這樣呢？根源在于，沒有真正地理解知識。
數(shù)學(xué)是理科，需要理解性地去學(xué)習(xí)。理解性學(xué)習(xí)就是要弄清知識之間的因果關(guān)系、縱橫聯(lián)系，理清知識的來龍去脈，知其然更要知其所以然。簡單地說，面對數(shù)學(xué)概念、公式以及解答過程，都要想一想“為什么這樣”，自己能答出來，就是真理解了。
只有理解了知識，才能真正地掌握知識，靈活地運(yùn)用知識，否則很容易陷入機(jī)械主義、形式主義，陷入死記硬背、死搬硬套。這就是一些學(xué)生看似學(xué)會了，過后容易遺忘，看似懂了，卻不會做題。
比如說，圓柱側(cè)面積問題，就要理解清楚:什么是側(cè)面積？側(cè)面積怎么算？為什么這樣算？只有把這三個問題弄明白，才能靈活解答有關(guān)側(cè)面積的問題。問題是，一些孩子對這三個問題，多數(shù)僅停留在死記公式上，這就容易導(dǎo)致公式記錯、記混，也導(dǎo)致了在求相關(guān)變式題時，不能靈活思考。
當(dāng)然，數(shù)學(xué)知識的螺旋上升體系，決定了數(shù)學(xué)知識間的縱橫聯(lián)系千絲萬縷。比如要想明白什么是側(cè)面積，還要明白什么是側(cè)面什么是面積；要明白側(cè)面積為什么那樣算，還要知道側(cè)面展開是什么形狀以及相鄰兩條邊與圓柱間的關(guān)系。如果在這些地方出現(xiàn)一個認(rèn)知障礙，就可能成為“壓死駱駝的最后一根稻草”，就會出現(xiàn)理解不暢，運(yùn)用不靈的現(xiàn)象。
因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，尤其在學(xué)習(xí)新教材時，一定要停留下來，多一些事實、現(xiàn)象與概念規(guī)則（公式、定律等）之間聯(lián)系抽象，多一些“是什么”、“為什么”的自問自答，多一些“怎么辦”、“有什么用”的琢磨領(lǐng)悟，多一些“還可以怎樣”的質(zhì)疑問難。這種思辨與省察，就是數(shù)學(xué)上的深度學(xué)習(xí)。
當(dāng)然，這樣的思維訓(xùn)練，需要成人（父母或老師）長期的引領(lǐng)，需要一段時間的刻意練習(xí)，也需要有自由支配的時間。這種思考上的“慢”，能確保解決問題時的“快”。這種“慢”的藝術(shù)，是發(fā)展抽象思維、邏輯思維、建模思維、創(chuàng)新思維的有效方式?！拔宜脊饰以凇?，當(dāng)這樣的思考成為習(xí)慣，那么你往往能抓住事物的本質(zhì)，擁有敏銳的洞察力，成為人群中的佼佼者。
二、問題解決的突破口在于“關(guān)系”。
有些孩子還經(jīng)常出現(xiàn)這樣的困惑:明明已經(jīng)把概念、公式、定理等理解掌握住了，但一考試經(jīng)常有無從下手的挫敗感，怎么回事？
毋庸置疑，我們在解決問題時，肯定要用到理解掌握的基本概念、公式等知識，但它們又往往只能解決一些相對簡單的基本題目，解決不了復(fù)雜的變式題以及綜合性強(qiáng)的題目。復(fù)雜性題目不僅需要對許多概念公式等基本知識的熟練掌握，還涉及到解決問題的策略方法。
在日常的學(xué)習(xí)過程中，老師們也會傳授各種各樣的解題策略和方法，比如列舉法、假設(shè)法、表格法、畫圖法、倒推法、轉(zhuǎn)化法、嘗試調(diào)整法等。針對不同類型的數(shù)學(xué)問題，往往要采用不同的解題方法。然而，識別有些題目類型也并非易事，況且即使識別出來，也未必就能靈活地運(yùn)用相關(guān)解題策略予以突破，何況還會遇到大量辨別不清類型的問題。那么，有沒有便捷有效地突破難題的策略？
有。
從學(xué)科本質(zhì)上說，數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間圖形的科學(xué)。數(shù)學(xué)問題里往往蘊(yùn)含著各種數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系等，對數(shù)學(xué)知識的理解意味著能正確把握各種“關(guān)系”，建構(gòu)起數(shù)學(xué)模型，因而解決問題的突破口往往就在于發(fā)現(xiàn)“關(guān)系”、理清“關(guān)系”、運(yùn)用“關(guān)系”。我們經(jīng)常說，解決問題的關(guān)鍵在于正確分析數(shù)量關(guān)系。其實，我們分析問題的過程就是分析各種“關(guān)系”的過程。因此，當(dāng)孩子無從下手時，一定要從題目中抽象出數(shù)量，并從它們之間的關(guān)系上去分析，去突破。
當(dāng)然，數(shù)量之間的關(guān)系、圖形之間關(guān)系需要依據(jù)事實、概念、公式等邏輯關(guān)系去運(yùn)算、去處理。
比如有這樣一道習(xí)題:有兩件衣服都以120元的特價出售，其中一件提價20%，另一件降價20%。這兩件售出后，是賺了還是賠了？
分析這道題目的關(guān)鍵，在于正確分析兩個分率蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，即兩個20%分別表示誰是誰的20%。如果學(xué)生能正確理解提價或降價都是與原價比較，原價是單位“1”的量，120元這個數(shù)量表示的是現(xiàn)價，那么數(shù)量之間的關(guān)系應(yīng)是120元分別是原價的120%和原價的80%。理清這個關(guān)系后，兩件衣服的原價就可以分別求出，接下來就是用現(xiàn)價之和與原價之和進(jìn)行比較。
學(xué)生常出現(xiàn)的錯誤就是把120元錢當(dāng)成單位“1”，分別求出120元的120%和120元的80%。出錯的根本原因是不能正確分析數(shù)量之間的關(guān)系， 不能從現(xiàn)實出發(fā)根據(jù)分率識別數(shù)量關(guān)系。學(xué)生不能聯(lián)系生活理解提價、降價，不知道當(dāng)我們說提價、降價時，都是和原價比較,都是把原價看做單位“1”,因此20%就是指提價（或降價）的錢數(shù)是原價的20%。
數(shù)學(xué)問題解決的過程，是正確分析各種邏輯關(guān)系的過程，畢竟數(shù)學(xué)研究的是數(shù)理邏輯，是一門“關(guān)系”學(xué)。因此在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們要善于從各種數(shù)理關(guān)系出發(fā)，建立數(shù)學(xué)模型，然后依據(jù)各種邏輯關(guān)系，去推理論證，從而解決問題。
三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要有適度地刻意練習(xí)。
人們常說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要靠多刷題。這話有一定的道理。就知識類型而言，數(shù)學(xué)主要是程序性知識，是以技能學(xué)習(xí)為主的。我們知道，技能的掌握要靠多練習(xí)。
學(xué)過彈鋼琴的都懂，一個單調(diào)的旋律，都需要上百次的反復(fù)練習(xí)。而數(shù)學(xué)知識，遠(yuǎn)比鋼琴曲調(diào)更復(fù)雜，自然更需要大量地練習(xí)。因此說，數(shù)學(xué)需要大量刷題的，也是小學(xué)階段唯一需要每天布置書面作業(yè)的學(xué)科。
就目前小學(xué)階段需要形成的關(guān)鍵能力之一——運(yùn)算能力而言，許多學(xué)生遠(yuǎn)遠(yuǎn)尚未達(dá)標(biāo)。這從很多學(xué)生大量計算失誤中，可以窺斑知貌。多年教學(xué)經(jīng)驗來看，這些計算經(jīng)常出錯的學(xué)生，往往是在一至四年級，計算能力形成的關(guān)鍵時期缺乏大量必要的練習(xí)造成的。
比如，加減法出錯，往往是100以內(nèi)加減法練習(xí)不夠造成的；乘除法出錯，往往是乘法口訣表不能熟練掌握造成的。
不妨這樣說，孩子計算老出錯，往往是一二年級計算訓(xùn)練量不足導(dǎo)致的。多年的教學(xué)經(jīng)驗也表明，當(dāng)一個學(xué)生對100以內(nèi)加減法和乘法口訣表達(dá)到自動化時，計算的正確率根本就不是問題。
遺憾的是，在這個人人喊“減負(fù)”，個個是（教育）行家的時代，一二年級的計算練習(xí)被嚴(yán)重忽視，必然導(dǎo)致后勁不足，難以提升，計算也成了一些學(xué)生的“噩夢”。
不只計算問題，數(shù)學(xué)上的基本概念的學(xué)習(xí)，更是需要讓學(xué)生依托大量直觀現(xiàn)象 ，反復(fù)從中抽象出相關(guān)定義、公式、定律等，這樣的反復(fù)訓(xùn)練才是有意義的學(xué)習(xí)，才有助于理解。比如，在學(xué)習(xí)乘法分配律時，一開始應(yīng)讓學(xué)生從大量數(shù)學(xué)情景中，反復(fù)抽象出乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，這樣才能真正地熟練掌握。
其實，數(shù)學(xué)是高度抽象化的知識體系，只有在反復(fù)練習(xí)中，才能逐熟悉、熟練，進(jìn)而“形象”化。從某種意義上來說，數(shù)學(xué)知識之所以抽象難懂，那是練習(xí)量不足造成的。舉個栗子，1+1對我們來說簡單易懂，是很形象化的，那是我們無數(shù)遍練習(xí)的結(jié)果，要知道，對于幼兒園的初學(xué)者來說，這可是很抽象難懂的。
當(dāng)然，數(shù)學(xué)上進(jìn)行大量的練習(xí)，搞題海戰(zhàn)術(shù)，有些時候也未必有效。因為只有“量”，沒有“質(zhì)”，效果有限，也會造成一定的負(fù)擔(dān)。
我們提倡刻意練習(xí)，是指既要有大量有梯度的變式練習(xí)，又要及時進(jìn)行反饋，還要針對反饋結(jié)果進(jìn)行的針對性練習(xí)。這是一個復(fù)雜的系統(tǒng)性工程，需要成人（老師或家長）的協(xié)助。
首先，練習(xí)的題目不能千篇一律，必須變化多樣，多種形式，而且由易到難，有一定的梯度。其次，練習(xí)后必須及時反饋，知道對錯，同時弄清錯因掌握正確的解答方法。最后，針對出錯的題目，再此練習(xí)直至正確熟練地求解。
這樣一個循環(huán)往復(fù)的過程，對學(xué)生和成人要求都很高。習(xí)題設(shè)計，非專業(yè)研究人員，都是有難度的，但大量的教輔資料可以彌補(bǔ)我們能力的不足，選購合適的資料往往事半功倍。然而完成初步練習(xí)后，成人如何協(xié)助孩子識別錯誤、整理錯題，以及如何利用好錯題，都是需要投入精力、時間和智慧的，還考驗著大人尤其是孩子的意志。
雖說刻意練習(xí)在現(xiàn)實生活中還存在著各種不足，但我們要相信:只要行動就會有收獲，只要堅持就能創(chuàng)造奇跡！
四、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要善于歸納總結(jié)。
《人是如何學(xué)習(xí)的》告訴我們，元認(rèn)知能力往往能極大地提升我們的學(xué)習(xí)能力。元認(rèn)知能力，就是對學(xué)習(xí)過程的自我監(jiān)控、自我反思的能力。
學(xué)生在理解概念、解決問題后，需要及時反思回顧:我是通過什么方式理解這個概念、解決這個問題的，這個基本概念（或問題）以以往學(xué)習(xí)的哪些概念（或問題）有聯(lián)系。長期這樣的反思回顧，能幫助孩子掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的策略方法，發(fā)展歸納總結(jié)能力，有助于孩子形成一套自己的學(xué)習(xí)方法。
通過反思總結(jié)形成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與方法，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的加速器，不僅有利于學(xué)生掌握知識，還能形成一定的創(chuàng)新能力。
至于學(xué)好數(shù)學(xué)，還需要注意課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)、要有興趣、信心等學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)態(tài)度等方面，其實這些適合于一切學(xué)科的學(xué)習(xí)，這里就不再贅述。以上四點，只是結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點，特別需要努力的方向，也是能實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可持續(xù)性發(fā)展的。
總而言之，數(shù)學(xué)是思維的“體操”，要學(xué)好數(shù)學(xué)一定要勤思考、勤動腦。
