在那，有一個神秘的世界。一個美麗而優雅的隱蔽的平行宇宙，錯綜復雜地纏繞著我們生活的點點滴滴。這就是數學的世界。但對我們之中的大多數人而言，它卻視而不見。而本書就是一張請帖，帶領大家去探索這個數學的世界。
看看這個矛盾的地方：一方面，數學編織著我們生活中的一針一線中。每次我們在線上購物，發條短信，在互聯網上搜索，或者使用GPS設備，都會用到數學公式和算法。而另一方面，大多數人卻對數學心有余悸，漢斯·馬格努斯·恩岑斯貝格爾(Hans Magnus Enzensberger德國詩人和作家)曾說過，數學已經成為了“我們文化中的一個盲點——仿佛身處異國他鄉，只有少數的精英才有能力挖掘的寶藏”，這種情況很少見，他繼續說：“我們遇見了一個人，他激烈的警告說‘讀一本小說，看一幅圖畫，或者看一場電影，僅僅想想這些就會讓他有一種無法忍受的煎熬’，但明智的，受過良好教育的人也經常用蔑視與驕傲的認為‘數學是純粹的折磨和噩夢，也對數學不聞不問’”。
怎么可能這么異常？我認為有兩個主要的原因。首先，數學相比其他領域更抽象，因此不太容易入門。其次，我們在學校所學到的數學，大部分都是上千年前就創建好的的，只是數學全貌的很小的一部分。數學從那時起已經有了突飛猛進的發展，但現代數學中的寶藏仍未被我們所了解。
如果在學校的美術課里，老師只教給你如何畫一個籬笆，那會如何？如果你從未領略過達芬奇和畢加索的作品，你又會如何？你還會對藝術有所感觸嗎？還會想要更多的了解它嗎？我深表懷疑。你更可能是這樣的看法：“學習美術就是在浪費時間。如果我想對籬笆上色，雇人來做就可以了。”當然，這聽起來可笑，但這正是數學教育的現狀，在多數人的眼里，學習數學就如同在無聊的看籬笆上的顏料變干。當大師的作品被人們所熟識時，數學的瑰麗卻仍然被塵封。
但是，數學中迷人的那種美不僅僅只在審美角度。伽利略的名言“數學就是大自然法則的語言”。數學描述現實，并揭示其運轉的方式，是宇宙的語言，是真理的金科玉律。在我們的世界里，在科學技術的日益增長的驅動下，數學漸漸成為力量，財富和進步的源泉。因此那些精通數學的人將會站在高科技的風頭浪尖處。
人們對數學常見的一個誤會就是數學只是一個工具而已：一位生物學家說，數學可以在一些領域發揮作用，收集數據，嘗試著建立一個數學模型來匹配這些數據（或許，借助某個數學家的幫助）。如果這是流程中非常重要的一個模塊，數學可能會帶來更多價值：它能夠帶來開創性的，思維方式上的跳躍，而沒有數學，我們對此一籌莫展。舉個例子，當愛因斯坦明白了重力引起了空間彎曲時，他不會試圖用任何數據去吻合公式。實際上，當時也沒有任何數據可以用來驗證。在那個時候，沒人能夠憑空想象出我們的空間其實是彎曲；曾經所有的人都認為世界是平的！愛因斯坦明白能夠歸納他的狹義相對論的唯一方式是非慣性的系統，同時他的洞察力也告訴自己，重力和加速度也具有相同的非慣性的作用。這就是在數學領域的高級別智力練習，在這里，愛因斯坦依靠數學家的身份來展開研究。Bernhard Riemann,早在五十年前就已經發現，人類的大腦困擾于某種因素，這就是無法設想超過兩個維度的空間彎曲的情景；我們只能借助數學來理解它。你猜結果如何，愛因斯坦的結論是正確的——我們的宇宙是彎曲的，甚至還在擴展。這就是我現在所說的數學的力量。
類似的例子可能會找到很多，而且不僅僅是在物理學中，還存在于科學的其他領域中（我們會在下面的部分討論其中的一些）。歷史告訴我們科學和技術都是借助于數學的思想，以加速度的方式來進行轉變；即使剛開始數學理論只是一些抽象的，難懂的設想，最后在應用中也會變得必不可少。達爾文在早起的工作中也并不指望數學，后來在他的自傳中寫到：“沒有足夠深入的，至少能了解那些重要的，指導性的數學法則，對此我深感慚愧。那些對數學有天賦的人們往往具備一種額外的感應。”我經常用這句話作為先見之明的忠告送給下一代，突出數學巨大的潛能。
當我還是孩子的時候，我并沒有意識到這個隱藏的數學世界。像多數人一樣，我認為數學史一門陳舊的，無聊的學科。但是我很幸運：在我高中的后幾年，我遇到了一位數學教授，他為我打開了數學這個魔幻的世界。我認識到數學具有無限的可能，同時也集優雅和美麗與一身，就像詩歌，藝術還有音樂。從此我愛上了數學。
親愛的讀者，通過這本書，我希望對你有所幫助，就如我的老師和導師對我所做的那樣，解開數學的力量與美，讓你和我一樣進入這夢幻的世界，即使你屬于那種，永遠不會想到將數學和美聯系在一起，并脫口而出的人。數學將會抵達到你的肌膚里面，如同它蘊藏在我的身體里那樣，而你的世界觀將會不同。
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數學的知識不像其他的學科。我們對物理世界的感知可能會更新時，但我們對數學真理的感知永遠不會改變，它們是客觀存在的，持續的，絕對的真理。一個數學的公式或定理放之四海而皆準——無分性別，宗教和膚色，無論是亙古還是當代，對任何人的價值都是一樣的。而且更驚訝的是我們每一個人都擁有它們的全部。沒人可以對一個數學公式申請專利，它歸全人類所共享。這個世界上沒有一件這樣的東西，如此的深邃而精致，同時又輕而易舉的對所有人可用。很難相信會存在如此的知識庫。它是那么的寶貴，而不能只被開始的幾個人所獨占。它屬于全人類。
數學的核心功能之一就是信息的規則。這也是區分梵高的畫作和一堆亂涂亂畫的準則。隨著3D打印的問世，我們所熟悉的現實生活正經歷一場極具的變化：所有的事物都在由物體的層面移植到信息和數據的層面。不久的未來，如同我們現在能夠輕易的將PDF文件打印成一本書，MP3文件轉變成一首歌曲一樣，我們也能夠按照指令將信息轉化為實物。在這個全新的世界，數學的作用變的更為核心，因為組織和規范信息的方式，將信息便利的轉化為物理現實，（這都依賴于數學）。
本書中，我將描述一個在最近的50年里，眾多數學奇思妙想中的一個:，數學大統一理論，也就是Longlands項目。這是一個讓人著迷的理論，企圖將數學的所有不同的領域編制成一個網絡，這些不同的領域，初看仿佛八桿子打不著邊：代數，集合，數論，分析以及量子物理學。但將這些領域假想成是隱藏在數學王國中的各個大陸，那Longlands項目就是終極的傳送門，能夠將我們瞬間從一個大陸傳送到另一個大陸并能夠返回。
60年代的普林斯頓大學高等研究所，數學家Robert Langlands開啟了這個項目，他的辦公室，正是當年愛因斯坦的辦公室。Langlands以開創性的數學的對稱理論作為基礎。而這一基石是200年前的一位法國數學奇才所提出，而不久之后他就因為決斗而被殺死，年僅20.后來又有很多驚人的發現，他的理論得到了擴充，不僅領導證實了費馬定理，也讓我們對數，方程式的有了革命性的思考。誠然，另一個所覬覦的則是數學本身的羅塞塔石碑（傳說中所有文字都起源于此起源），而各種數學分支則是數學本質各種變幻莫測的類比和比喻。遵循這些分析方法，如同行走在賦予了數學魔法的土地上的小溪，而Langlands項目的主意就是能夠涌入到幾何和量子力學的領域，在看似混亂中創建出秩序和和諧。
我想把關于數學的方方面面，平時我們很少見的都告訴你：深邃而振奮人心的思想，驚嘆的發現。數學是打破傳統阻礙的一種方式，在追尋真理中沒有拘束的想象的一種表達方式。康托爾，無限集合的創造者，寫到：“數學的本質蘊藏在它的自由中”。數學交給我們嚴格的分析現實，研究事實，無論他們指向何方我們都去追隨。它使得我們從教條和偏見中解脫，為創新的能力提供養分。因此數學所提供的工具，已經超越了事物的本身。
這些工具可以被用在好或壞的地方，驅使我們評估數學的真實世界作用。比如，全球化的經濟危機在很大程度上都是由于在財政市場中廣泛使用不充分的數學模型所導致。多數的決策制定者因為自數學水平的局限，并不能完全的理解這些模型，但卻在貪婪的驅使下，自大的肆意使用這些數學模型，直到這種方式幾乎破壞了整個系統。他們不公平的利用不對稱優勢來獲取信息，同時也希望沒人會要求他們攤牌，因為也沒有人會傾向于質問他們：數學模型是如何工作的。或許，如果有更多的人能夠理解這些模型的功能，系統如何真正的運轉的話，我們就不會被愚弄如此之久。
再看看另一個例子：在1996年，一個有美國政府任命的委員會秘密的歸并修改了一個公式，該公式用來標示消費者價格索引，計算通貨膨脹從而決定稅收等級，社會安全，醫療以及其他指標的支付。上千萬的美國人都受到其影響，但對新公式和其結果卻只有很少的公眾會去討論。而最近，還有人試圖探索這個神秘的公式，認為這個公式是美國經濟的后門。
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數學和藝術，文學以及音樂一樣都是我們文化遺產的一部分。作為人類，我們需要保持發現新事物的饑渴感，收獲新的意義，更好的理解這個宇宙和我們居住的地方。我們也不可能像哥倫布發現新大陸，或者成為第一個在月球上留下腳印的人。但如果我告訴你，你并不需要穿過海洋，不需要穿越空間，就可以發現一個未知的世界，這會怎樣？他們就在你的身邊，夾雜在我們當前的現實之中。某種意義上就在我們體內。數學指引著宇宙的流向，潛伏在它的形狀和曲線中，不管小到原子還是大到恒星，都把握著他們的命脈。
這本書就是來自這個豐富的，奇異世界的請帖。這本書的讀者并不需要任何的數學背景。如果你認為數學很難而難于領悟，如果你對數學心存惶恐，但同時又充滿好奇，數學中是否有什么值得你去了解的話，這本書就適合你去閱讀。
通常有一個謬論，只有學了多年數學以后，你才會感激它。甚至有些人認為多數人在學習數學中存在一種先天的缺陷。我不同意：我們中的多數都聽說過，或者最少對一些基本概念有所了解，比如我們的太陽系，原子和基本的粒子，DNA的雙螺旋結構甚至更多，而對他們的了解，并不需要上物理或生物課。這些常見的概念作為我們文化和集體意識形態的一部分而熟知，沒人會對此表示驚訝。同樣，如果用正確的方式來解釋數學，人人都可以抓住數學的關鍵概念和思路。做到這點，并不需要花費多年來鉆研數學，在很多情況下，我們可以直接切入重點，除去其中冗余的步驟。
而問題在于：當這個世界多數情況下都在討論星球、原子和DNA的時候，很少會有人會告訴你現代數學中的那些迷人的思想，比如對稱集合，在新型數控系統中2加2并不總等于4，黎曼曲面中美妙的幾何形狀。現實中我們只是在照貓畫虎的介紹他們。但實際上，相對貓，老虎是一個完全不一樣的動物。我會讓你全方面的領略它的壯麗，而你，則如同William Blake充滿說服力的言辭那樣，領會到這敬畏的對稱。
并不要會錯了我的意思：閱讀這本書本身并不會讓你成為一個數學家。我并不鼓吹人人都應該是一名數學家。不妨以這樣的心態來對待：學會了一小部分的旋律可以保證你能夠用吉他彈奏幾首小曲，但并不會讓你成為世界上最好的吉他手，但這可以豐富你的人生。在這本書里，我會給你揭示那些隱蔽在你身邊的現代數學的旋律。我保證會豐富你的人生。
我的老師之一，偉大的Israel Gelfand曾經說過：“人們認為自己不懂數學，但這完全取決于你怎么揭示給他們。如果你問一個酒鬼，2/3和3/5哪一個更大，他無法告訴你答案。但如果你換一個方式來問這個問題，2瓶伏特加分給3個人，或者3瓶伏特加分給5個人，哪一個更好一些的，他會直接告訴你：當然是前者”。
我的目的就是以你能理解的方式來解釋這些內容，從而讓你能夠理解。
我也會告訴你一些我在前蘇聯成長的經歷，在那里，面對專制制度，數學也成為了自由的警戒區。因為蘇聯的歧視政策，我被否決進入莫斯科國立大學。這扇大門在我面前關閉了。我被驅逐出去了。但我并沒有放棄，我可以私下去大學參加這些課程和研討會，可以自己閱讀數學書記，有些時候直到深夜。最后，能夠撬動這個體制。他們沒有讓我從前門進入，但我可以從窗戶上溜進來。畢竟如果你真的遇到真愛，有誰可以阻擋你呢？
兩個偉大的數學家把我帶進他們的羽翼下，并成為了我的導師。在他們的指引下，我開始進行數學研究。那時我仍然是一個院校學生，但我已經在開拓那些未知的邊疆。這是我人生中最得以的時候，即使我確切的明白，在蘇聯這種大的政策環境下，絕不允許我作為數學家得到一份工作的，我也一無反顧。
但總有一個意外等待你的發現：我的第一篇數學論文私下流傳到國外并被熟知，在我21歲的時候收到了哈佛大學作為訪問教授的邀請。更不可思的是，就在那個時刻，蘇聯的改革拉開的鐵幕，市民被允許出國旅行。因此，作為沒有博士學位的哈佛教授的我，又一次撬動了這個體制。我繼續著我的學術之旅，這也指引我研究了Langlands項目的序幕，使得我在接下來的20年中，能夠參與其中主要的進展中。接下來，我將會描述這些杰出的科學家所擁有的絕倫成果，以及這些成果背后的故事。
這也是一本關于愛的書。曾經，我有一個意愿，作為衣蛾數學家去發現愛的公式，這也是《愛的儀式和數學》這部電影的前因，這部分我會在本書中介紹。當我展示這部電影時，總會有人問我：愛的公式是否真的存在？
我的回答是：“我們所創建的每一個公式都是充滿愛的公式”。數學是永恒的，深刻知識的源泉，直入萬物之心，跨越文化，大地以及世紀的局限而將我們結合在一起。我的夢想就是我們所有人都能夠領悟，感激并驚嘆于這些思想，公式和等式中魔幻般的美以及優雅的和諧，而我們對這個世界以及彼此的愛，因為它而更有意義。
