? ? ? 與其它學科相比，數學具有高度形式化或邏輯化的特征，所以，從簡單到復雜的基礎數學知識體系總是以文化的形態客觀存在著，這就使得表面上形形色色的版本在本質上卻大同小異。
? ? 一根一根小棒是離散量，放在一起是連續量。（三條路都有5根火柴，故螞蟻爬過的路程相同。）
? ? 建立長度守恒觀念（兩條線不一樣長）
? ? 造成兩種現象的在原因:
? ? 一，前一個問題中，火柴棍是具體的物體，兒童不僅可以看到，而且可以操作它，擺弄它，是一個可以通過動作進行探索的問題。在后一個問題中，道路AB和A1B1是老師畫在紙上的，兒童只能通過視覺看到它，而不能通過具體動作操作它。這再次說明，早期兒童的智慧是偏向動作性的，而非成人式的邏輯運算。
? ? ? ? 二，在前一個問題中，單個火柴實際上充當了測量單位的作用，兒童總是首先會使用某種工具或者概念，但是，一開始的使用往往是無意識的，他們還不能有意識地對測量單位進行聚焦并形成研究主題，也就是說，一根火柴棍還沒有被兒童內化為一種清晰的測量單位。在后一問題中，潛在的測量單位消失了，由于兒童腦海中還沒有形成有關測量單位的觀念，所以，他自然不會主動的去尋找新的測量工具，在這種情況下，他的思維活動重新退回到較為低級的認知水平:依據視覺做出判斷。
? ? ? 以上兩個問題設置不能顛倒位置，是因為其背后的教育學模型是教師視角，而非兒童視覺；教師視角的教學設計考慮的是客觀的知識邏輯，而忽視兒童當下的認知起點和認知發展的可能性。然而，認知終歸是兒童自己的事，教師視角看上去非常符合邏輯，但是，這里的邏輯是外在兒童的邏輯，而不是兒童的大腦內部真實發生的認知邏輯。
? ? ? ? 兒童視角關注的焦點問題是兒童當下的認知起點和認知發展的可能性，也就是說，關鍵不是有沒有認知沖突和是否符合客觀性的知識邏輯，而是認知沖突是否處于兒童的最近發展區，不在乎最近發展區的認知沖突一律是無限的，非法的。
? ? ? 前者培養兒童的長度守恒觀念，后者（動態的細繩可以變化位置）培養兒童長度和距離的守恒觀念（后者:師的右手緩緩地向細繩的C端移動，始終保持細繩成折尺的樣子。發現:A、B之間的距離一直在變長，B、C之間的距離一直在變短，這些變化不影響細繩的長度）
? ? ? 以上幾個游戲都與線段的長度（兩點間的距離）有關，而線段的長度又與一維測量問題有關。兒童一維測量關鍵的發展，大致可以分為以下三個階段:
? ? ? 第一階段是萌芽期。在三到四歲，兒童就可以定性地描述一根木捆是長的，或短的。
? ? ? 第二階段是生長期。在6歲左右，兒童首先建構生成離散量的守恒觀念，隨后是物質的量的守恒觀念，在此基礎上，兒童能夠逐步定性的描述連續量的守恒問題。
? ? ? 第三階段是成熟期。在7——8歲，兒童可以形成長度和距離的守恒觀念，他們不僅能夠理解一拃，一步等與長度測量相關的日常概念（當然，這需要成人的引導），而且也能夠選擇合適的工具，進行科學的長度測量。
? ? ? ? 他們頭腦中已有的長度（或距離）觀念基本上都是日常經驗內化的結果（當然也有先天視覺本能的綜合作用），屬于背景觀念，其中最重要的就是長度守恒觀念。
? ? ? ? 最初，年幼兒童依靠自己的視覺本能，將自己看到的長的物體（或短的物體）與從父母那里習得的語言符合——長（或短）對應起來，形成有關物體長度的日常經驗。五到六歲，隨著語言邏輯能力的發展，兒童在比較筷子和油棒的時候，會說筷子比油棒長一些，或者，油棒比筷子短一些。七歲左右，兒童憑借日常經驗的內化，即:在各種游戲活動中積累的經驗，以及在無意識中對父母或其他成人的學習和模仿，逐步建構生成了長度守恒個觀念。
? ? ? ? 在傳統生活中被頻繁使用的日常測量工具，諸如拃、庹、步等，在現代日常生活中幾乎已經消失，這些測量工具雖然無法得到精確的測量結果，但是，如果它們能夠被當作日常經驗在日常生活中自然地使用，就會為兒童學習科學測量問題奠定基礎。也就是說，在現代生活中，精確的測量工具雖然隨處可見，但是，對于沒有形成長度守恒觀念的兒童來說，他們是無效的；而伴隨著傳統測量工具的消亡，與長度相關的生活經驗實際上是對兒童的認知活動并沒有造成足夠的刺激，這其實并不利于兒童建構生成科學的長度測量觀念。在教學過程中應該對此現象給予足夠的重視。
? ? ? ? 此階段兒童頭腦中與長度測量有關的觀念屬于背景觀念，而背景觀念的運作一般都是無意識的，無意識運作幾乎等同于自動化運作，這是一種“知其然”而“不知其所以然”的操作性動作，幾乎不會對兒童造成明顯的認知沖突。所以，只能通過有目的、有意識的設計教學活動，才能真正激發兒童相應的認知沖突。
? ? ? 首先，當兒童首次接觸科學測量問題是就被告知米尺是當下國家通用的長度測量工具。如果教師引導兒童追問:既然各個國家的人居住如此分散，相隔如此之遠，為什么會有一個國際通用的工具呢？在傳統生活中，如果兒童經歷了步、拃、庹等自帶測量工具的使用，就會自然而然地體會到這些自帶工具雖然非常方便，但是，每個人的測量結果都不一樣，誤差也很大，不僅不能滿足人們對精確性的追求，而且會阻礙不同部落和種族之間的相互交流和溝通。所以，人們自然就會萌發創造統一測量工具的愿望，自然就會誕生國際通用的測量工具和測量單位。
? ? ? 其次，由于長度測量問題的復雜性，人類有時需要的測量結果，對精確度要求非常高，如宇宙飛船上各個零件的尺寸；有時卻又只需要知道一個大概長度，特別是在生活中，如家離學校大約有多遠？涉及到了估測。
? ? ? 估測觀念也有自己的生長歷程，長度估測是視覺與內在長度觀念綜合作用的結果。兒童年齡越小，他們的估測越依賴于視覺，受到視覺的局限和控制就越強烈，估測結果的誤差自然也就越大；隨著內在長度觀念的不斷提升，他們就越發能夠利用自己內在的長度觀念去進行有目的的估測，從而有效擺脫單純視覺的控制，提升估測結果的準確性。也就是說，長度估測并不僅僅是眼睛的事兒，更不是隨便故個數，反正怎么著都是對的。長度的估測結果當然與視覺有關，但是，它更與兒童內在長度觀念的發展水平之高低密切相關。
? ? ? 最后，傳統教學中通常關注的一些焦點問題，比如:不同單位長度之間的換算；在測量一個物體的長度時，起點沒有對準米尺的零刻度，這些問題對于低齡兒童來說，算不上是真正有價值的認知沖突。它們只不過都是微不足道的小問題，一旦長度觀念得以建構生成，這些小問題也就迎刃而解了。
? ? ? ? 本單元的建構活動已經觸及長度觀念的性質，后續與長度測量相關的科學概念的學習，只不過是根據解決實際問題的需要而添加的更為合適和便利的測量單位，以及在不同的長度單位之間進行準確的換算。這些新的科學觀念的內化過程，并沒有從本質上提升兒童長度測量觀念的水平，而只是有效地增強了長度測量觀念的豐富性和靈活性。
? ? ? 人類祖先最初肯定也經歷了同樣的過程，他們首先會面臨如何給工具之差異等現象命名的問題，最聰明的人創造了最初的命名，長短也就因此而誕生了。再后來，他們開始聚焦這個比那個長一點，那個比這個短點。再往后，他們迫切地想知道:這個工具具體有多長??？到底這個比那個長多少??？這些問題到底該如何解決呢？……老師正是依靠這些問題，把孩子們帶入思維游戲之中，而不是去傳遞一個個外在的知識與信息。同時，由于兒童已經擁有了非常豐富的生活經驗，他們肯定會說去測量呀。此時，孩子們需要絞盡腦汁地想辦法，正好抵達不憤不啟，不悱不發的狀態，甲骨文順理成章帶進來。
? ? ? 長度測量的實質是什么？所謂長度測量，就是要確定某物（長度）是由多少個測量單位之和構成的。
? ? ? 自帶工具的缺點是由于每個人的身高不一樣，導致自帶的測量工具差異很大，所以同樣是教室的長度，有的人測量結果是50步，而有的人測量結果居然是60步。
? ? ? ? 有效度量的前提，就是確定一個標準，或者說標準長度，然后，只需明確被測物量物的長度是標準長度的幾倍——這個倍數一旦確定，某物的長度也就算確定了。這個測量過程有點類似于幾何中的拉伸變換，將單位長度按一定系數進行拉伸變換。系數就是變換后所得物體的長度——從某種程度上講，長度測量其實就是找到這個系數。
? ? ? ? 當代人不僅為了交流的方便而需要統一長度測量工具和單位，而且，由于時空的無限擴大和精微，長度單位既可以大至光年，也可以小至納米。
? ? ? ? 在浪漫階段，主要是結合諺語、故事和甲骨文喚醒兒童腦海中的已有經驗，協助兒童對本單元學習有一個整體性的浪漫感知，激發兒童的學習興趣。
? ? 第一課時: 步、拃、庹的創造與應用（2課時）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一板塊:長和短的命名 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （教師一要會講故事，二要時刻注意用問題推動兒童的思維活動，而不是去試圖用信息填充兒童的大腦。講故事的時候，老師需要做的是如何把故事講得更生動，不知不覺把孩子們帶到故事情景中去。）
? ? （以提問題的方式入手）這個甲骨文表示漢字“二” ，上邊一橫表示天，下邊一橫表示地。一開始天和地是在一起的，整個世界一片混沌，一個叫盤古的人孕育而生，他想伸伸懶腰，卻伸不開，想站起來也不行，于是他就掄起大斧頭使勁一砍，世界裂開一條縫隙，輕而清的東西上升成為天，重而濁的東西下沉成為地，從此便有了天和地（當天和地在一起的時候沒有空間觀念）。? 有天和地后需要打獵吃飯，可是打獵工具（圖片展示） 不一樣:有長有短。我們的祖先一開始可是不知道這些的，在漫長的打獵過程中，他們才發現稍微長一點的木棍更容易打到獵物，就這樣才有意識命名了長和短。? （出示不同顏色和長短的小棒，和同一根木棍比長短，會有多種的結果）? ? ? ? ? ? ? 第二板塊:步、拃、庹 測量基準的發明? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在原始社會，要想知道一根木棍到底有多長，可以用一塊小石頭測量:可以先擺一個，然后做個標記，再從標記處往后擺，就這樣一直循環下去，到最后數數一共擺了幾次就可以了。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如果想測一下教室的長，可又沒有測量工具。可以用身體測，幾個人站在教室的墻根，數數一共幾個人，如果教室里只有一個人，怎么辦？
? ? ? 甲骨文“步”，與東西南北有關系，還表示在大道上走路?？梢杂貌綔y量教室的長。一步:從前腳尖到后腳尖的距離。
? ? ? 測量時要注意——測量的起點在哪里，終點在哪里。我們測量的教室是直直的，所以我們也要盡量直直地走路。
? ? ? 如果想測量桌子的長度，可以用手測量，用手測量的基準叫作拃:把手伸展，從大拇指尖到中指尖這么長就是一拃。
? ? ? ? 新的測量基準——庹，兩臂左右平伸時兩個中指指尖之間的距離為一庹。它可以測量教室的長，黑板的長（實際測量教室里的長度）
? ? ? ? 減少誤差的方法:
? ? ? ? 1.沿著墻測，自己做標記；2.幾個學生合作手拉手，數數幾個人就是幾庹；3.兩個人合作，一人測量，一個人做標記。
? ? ? ? 第三板塊:選擇合適的測量基準，測量教室物體（用自帶測量工具測量教室的長度，并做記錄）? ? ? ? ? ? ? 第四板塊:寫繪? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? 第二課時:寸、尺、丈的創造和應用? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一板塊:不能、尺、丈的發明? ? ? ? ? ? ? （讓學生回憶昨天學的測量工具步、拃、庹，教師分別讓班里最矮和最高的學生測教室的長，結果兩人測量結果差別很大。針對此問題提出疑問）。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 討論后，達成共識:一個同學腿長，一個同學腿短，可以讓他們盡量邁一樣大小的步子，但是也很難做到，也可以以老師的步子為基準來測量?？梢栽谝桓竟魃厦鏄擞浝蠋煹囊徊剑缓笤倌弥@根木棍測。? ? 我們的祖先是這樣做的:
? ? ? 出示篆體“寸”字。我們的祖先發明了新的測量基準——寸，右手加一個指示符，起初表示關鍵位置。這個關鍵位置是指脈搏跳動的地方。一開始寸表示的是關鍵位置，即脈搏跳動的位置，慢慢地，人們發現這個腕關節到這個關鍵位置就是一個長度。于是，就把這個長度命名為1寸。但是這樣也不合理，大人和小孩1寸長度不一樣。
? ? ? ? 最后，我們的祖先就以最厲害的那個部落的首領的寸為標準，規定了這個長度為一寸。（手里舉起來長度為1寸大小木棍），根據這個小木棍來制作寸尺。
? ? ? 在用寸尺測量的時候，需要注意的是:比如說測這個繪本的長時，必須從寫繪本的最左邊開始測，一直到寫繪本的最右邊，而且測量的時候一定要直直的。
? ? ? 用你的寸尺測一下我們的教室的長吧。（不可能，這個寸尺測短一點的東西還可以，教室太長了），可以找一個更長的繩子。引出尺
? ? ? ? 這個篆書“尺”字，小腿位置加了一個指事符，表示一個膝蓋。尺的篆書和寸的篆書一樣，最初都是指某個部位，慢慢演變才有了長度的意思，從腳掌到膝關節的長度為1尺。（為每個學生準備了一根1尺的繩子）。
? ? ? ? 讓學生用市尺測量教室和黑板的長。
? ? ? ? 如果測更長的路，比如說操場的跑道，用尺作為標準就有點麻煩了，可以再創造更大的基準。10個1尺作為一個新的測量基準。
? ? ? ? 我們的祖先也是定10個1尺為1丈，最初創字本義是手持棍賬的意思，隨著歷史的演變，慢慢有了長度的意思。
? 第二板塊:寸、尺、丈的應用? ? ? ? ? ? ? ? 如果用這三種測量基準測量操場的長，需要用大一點的測量基準，所以在測量物體前一定要選擇合適的測量基準。（自由測量教室內的 所有物體，并做好測量記錄）? ? ? ? ? ? ? ? ? 第三版塊:這回
? ? ? 第三課時:國際單位的統一與應用
? ? ? 第一板塊:國際單位的統一
? ? ? （回顧寸、尺、丈測量基準，讓學生意識到中國的測量基準統一以后，在中國每個城市繼續用寸、尺、丈測量肯定可以，因為全中國一尺都是統一的，但是出國就麻煩了，這就涉及今天的國與國之間的長度單位的統一。）
? ? ? ? 每個國家的測量基準不一樣，后來達成共識，哪個國家強大就用誰的基準，近兩百年左右，我們的國家還不夠強大，只能用別的國家的測量基準，所以，我們自己的已有長度單位，慢慢的就不再使用了?，F在使用的直尺和三角板的單位都是歐美統一的結果。
? ? ? 觀察直尺的測量基準:1厘米。像指甲蓋那么寬，從0到1，從1到2……在直尺上還能找到比1厘米更小的基準:毫米，把1厘米分割成了10個小單位（可以不用詳細解說毫米，只是讓學生意識到測量比較小的物體會用比較小的基準，根據實際需要，甚至還要用的微米、納米等更小的測量單位。）
? ? ? ? 觀察直尺，可以發現上面除了有數字，還有刻度線。測量一個物體時，需要把物體一端對準零刻度線。（生自主測量身邊，鉛筆、書等物體，進而討論用直尺測量的正確使用方法。）
? ? ? 用直尺測量一下教室的寬（發現用1cm的基準來測量教室的寬有點小，要發明一個大一點的基準，比如把10個，20個或者100個1cm看作一個大的基準。經討論，以十10個1cm的長度為基準來測教室的寬還是有點小，但是用它來測桌子的長和寬該可以，就此命名了10個1厘米為1分米，即1分米＝10厘米）
? ? ? 如果我們測稍微長一點的物體，再用直尺就不方便了，可以用新的測量工具——米尺，這個米尺也是西方人測量的一個基準。
? ? ? ? 制作米尺。
? ? ? （在學習單位換算時，不需要讓兒童去死記硬背，只要他們被問到一米和1cm時，腦海里首先想到了是1cm大致有手指甲蓋那么寬，一米大概相當于一個5歲左右的兒童身高就可以了。）
? ? ? ? 測量很長很長的公路，可以發明一個更大更大的測量基準（師生一起創造千米，公里等更大的測量基準）。
? ? ? 第二板塊:探索國際單位“厘米”與寸、尺、丈的關系
? ? ? ? （初始寸，尺，丈和厘米等單位。）
? ? ? ? 左邊這些是中國人制造的測量單位，右邊是歐美人創造的測量單位。這兩種單位之間有什么關系呢？（學生動手，通過動手測量，很快發現一寸約等于3cm3mm，一尺約等于33cm，并制作成一個表格。）
? ? 第三板塊:自由測量
? ? ? ? 學生自由組合，測量教室里自己感興趣的物體的長度，并作記錄。
? ? ? 第四板塊:寫繪
? ? 第四課時:精確使用直尺測量
? ? 第一板塊:認識尺子（精確使用直尺測量）
? ? ? 觀察直尺，直尺上有數字、刻度線，還有厘米。（找準尺子上刻度的起點位置，0刻度線，刻度線有三種:最長的刻度線在數字的位置，相鄰兩條最長的刻度線之間的距離就是1cm。1cm又被短線分成了10個小格，為讀數方便，在中間的位置用略長的刻度線標記，表示把1cm分成兩份。）（在直尺上找到1厘米，同桌之間互相說一說:相鄰兩個數字之間的距離都是1cm。）
? ? ? ? ? 找出4厘米:不管從幾到幾，只要中間有4個格子那么長就是表示4cm。除了從0到4，還可以從4到8，從8到12，制造4個格子即可。
? ? 快速練習1:在尺子上找出2cm，5cm，7cm。
? ? ? ? 在這個過程中，學生發現雖然有很多種方法，但最便捷快速的方法是以0為起點的。
? ? ? 快速練習2:讀出線段的長度
? ? 上圖，學生們通過數格子、減法運算等方式，得出黑色線段的長度為4厘米。
? ? ? 第二板塊:測量
? ? ? （請學生用直尺測量鉛筆的長，討論測量的注意事項。）
? ? ? 測量時需要注意以下幾點:
? ? ? 1.尺子要緊貼著被測物體；2.物體一端要和0刻度線對齊；3.另一端到數字幾就是幾厘米。
? ? ? 第三板塊:量一量，畫一畫
? ? ? 活動:1.測量線的長度；2.畫一條長4cm的線段。
? ? 我的尺子不小心壞了，還能用它畫出4cm長的線段嗎？可以從4開始畫到8；還可以從6開始畫的10。即:隨便從哪個數字開始都行，只要是畫4個格子那么長就可以了。平時從0開始測量，是因為另一端到數字幾就是幾厘米長，不需要計算，也不需要去數。
? ? ? ? 3.練習:畫出1cm的線段，畫出3cm的線段，畫出5cm的線段。
? ? 第五課時:長度估測? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一板塊:用拃估測? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 要想知道桌子的長?？梢杂贸咦恿浚绻麤]有帶尺子可以用拃去測。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 不足:每個人一拃都不一樣，可能你測的是4拃，他測的是5拃，不方便交流。測量基準不同，測量結果也會不一樣，非常不利于交流。? ? ? ? ? 通用的測量基準比如寸，尺，丈在國內可以交流，但厘米，分米，米更厲害，全世界都在用。我們可以先用尺子把我們自帶工具的長度測出來，至少在短暫的一段時間內，一拃不會變化太大。
? ? 自主測量，分享結果（如桌子），這種方法幫助我們在沒有精確測量工具的情況下，也能比較科學的知道一個大概的數值，這種方法實際上就是估測。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在日常生活中，很多時候都不需要知道準確值，剛才就是用身體的自帶工具來估計桌子的長度的。我們身上，除了拃可以作為估測的身體工具，還有庹，步。（同桌兩人先用拃進行估測，再用科學測量工具進行測量，每個孩子都得到了自己的庹、步相對準確的長度。）? ? ? ? ? 第二板塊:選擇合適的身體工具進行估測? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 選擇拃、庹、步，對教室中的物品（課本、教室長度、門寬等）進行估測。測量時，幾個人合作，或者干脆排成一條長龍，估測到教室的長為13庹，而每個人的一庹大約是130cm，因此得了教室的長大約是17米。有的孩子用步估測到教室的大約是30步，每步大約是55cm，因此得到教室的長大約是16米。
? ? 第六課時:長度測量腦圖制作? ? ? ? ? ? ? 第一板塊:分享交流
? ? 我們從最初沒有空間觀念到有空間觀念，命名了長與短；后來我們使用步、拃、庹進行測量，但很難彼此交流，所以就有了中國統一的長度測量單位寸、尺、丈；現在為了國家與國家交流更加方便，又有了國際長度單位米、厘米。（未來發展方向:比如說我們要測量一條特別長的公路就需要公里為基準了，如果要測特別小的物體就要用到比厘米和毫米更小的單位。）
? ? ? 第二板塊:再創造（讓腦圖更豐富）
