本文來自同步博客。
P.S. 不知道簡書怎么顯示數學公式以及更好的排版內容。所以如果覺得文章下面格式亂的話請自行跳轉到上述鏈接。后續我將不再對數學公式進行截圖，畢竟行內公式截圖的話排版會很亂。看原博客地址會有更好的體驗。
上一篇文章介紹了機器學習中支持向量機的基本原理，并且在文章末尾介紹了一種利用Python求解二項規劃問題極值的方法。這篇文章我將利用這種方法一步步求解上文中提及的-\vec{\alpha}-、-\vec{w}-、-b-，借此復習和驗證支持向量機的知識點。
數據
下面看一組測試數據：
data = {
'+': [
[1, 7],
[2, 8],
[3, 8],
[2, 6.5]
],
'-': [
[5, 1],
[6, -1],
[7, 3]
]
}
數據data是擁有兩種已經分好類的數據，每種類型的數據的元素都是二維向量，可以在笛卡爾坐標系中表示。
依照上一篇文章講述的原理，我們需要利用這些數據求解一個-\vec{\alpha}-向量。也就是我們需要求解使得二項規劃方程值最小時的-\vec{\alpha}-向量：
F(\vec{\alpha}) = \frac{1}{2}\vec{\alpha}\_{T}H\vec{\alpha} + \vec{c}\vec{\alpha} + c_0， \vec{y}^{T}\vec{\alpha} = 0， \vec{\alpha} \ge 0
很明顯，在支持向量機中，-c_0 = 0-。
參數求解
首先利用輸入的測試data準備上述方程中出現的變量-H，c，c_0-。參考下面代碼：
def parseXYC(d):
X = []
y = []
c = []
for _, v in enumerate(d['+']):
X.append(np.array(v))
y.append(1)
c.append(-1)
for _, v in enumerate(d['-']):
X.append(np.array(v))
y.append(-1)
c.append(-1)
return X, y, c, 0
X, y, c, c0 = parseXYC(data)
parseXYC函數把data格式化成-X, y, c, c_0-。
然后計算-H-矩陣的值。比較簡單，一行代碼就可以得到：
H = np.array([y[i] * y[j] * np.dot(X[i], X[j]) for i in range(len(X)) for j in range(len(X))]).reshape(len(X), len(X))
求解-\vec{\alpha}-
所有數據都準備好了，接下來就是帶入optimize.minimize函數中計算結果。
這里有幾個超出本文描述范圍的難點需要簡單提及一下：
-
optimize.minimize函數求解二項規劃使用的SLSQP方法既需要用到二項方程的雅各比導函數，也需要用到約束條件函數的雅各比導函數。不清楚這點導致我在測試過程中一直無法求解到正確的值。 - 不等式約束條件-\vec{\alpha} \ge 0-無法在作為約束條件參數
constraints傳遞給optimize.minimize函數。我猜測是因為我構造的不等式參數是錯誤的，因此無法讓不等式約束條件生效。我尚無法解決這個問題，希望了解該問題的同學能留言賜教。作為一種補救方法，我利用邊界約束參數bounds描述-\vec{\alpha} \ge 0-這個不等式。 - 求解出來的-\vec{\alpha}-向量中，部分應該為0的元素無法完整精確到0。我觀察測試結果總結出來的精確度應該在1e-16，因此在負16次方這個精確度下的值我都假設它就是0。經過繪圖驗證，我發現這個假設是合理的。
下面開代碼實現：
# 定義二項規劃方程fun及其雅各比方程jac
def fun(x, sign=1.):
return sign * (0.5 * np.dot(x.T, np.dot(H, x))+ np.dot(c, x) + c0)
def jac(x, sign=1.):
return sign * (np.dot(x.T, H) + c)
# 定義等式約束條件方程feq及其雅各比方程jeq
def feq(x):
return np.dot(y, x)
def jeq(x):
return np.array(y)
# 生成相關參數
diff = 1e-16
bounds = [(0, None) for _ in range(len(y))] # x >= 0
constraints = [{ 'type': 'eq', 'fun': feq, 'jac': jeq }]# y*x = 0
options = { 'ftol': diff, 'disp': True }
guess = np.array([0 for _ in range(len(X))])
# 計算結果
res_cons = optimize.minimize(fun, guess, method='SLSQP', jac=jac, bounds=bounds, constraints=constraints, options=options)
alpha = [ 0 if abs(x - 0) <= diff else x for x in res_cons.x ]
# 輸出結果與校驗y*alpha的值是否為0
print('raw alpha: ', res_cons.x)
print('fmt alpha: ', alpha)
print('check y*alpha: ', 'is 0'if (abs(np.dot(y, res_cons.x) - 0) < diff ) else 'is not 0')
求解-\vec{w}-和-b-
# 計算w = sum(xi*yi*Xi)
w = np.sum([ np.array([0, 0]) if alpha[i] == 0 else (alpha[i] * y[i] * X[i]) for i in range(len(alpha))], axis=0)
print('w: ', w)
# 計算b，對support vector有：yi(w*xi + b) = 1，既有：b = 1/yi - w*xi
B = [( 0 if alpha[i] == 0 else ( 1 / y[i] - np.dot(w, X[i]) ) ) for i in range(len(alpha))]
B = list(filter(lambda x: x != 0, B))
b = 0 if len(B) <= 0 else B[0]
print('b: ', b)
至此支持向量機的參數求解過程完畢。
運行結果如下圖所示：
繪圖
最后把數據繪制成圖像。
limit = 11
plt.xlim(-2, limit)
plt.ylim(-2, limit)
# 繪制數據點
[plt.scatter(X[i][0],X[i][1], s=100, color=('r' if y[i] > 0 else 'y')) for i in range(len(X))]
# 繪制分割超平面L： wx + b = 0
plt.plot([i for i in range(limit)], [(-b - w[0]*i)/w[1] for i in range(limit)])
# 繪制上下邊： wx + b = 1/-1
plt.plot([i for i in range(limit)], [(1-b - w[0]*i)/w[1] for i in range(limit)])
plt.plot([i for i in range(limit)], [(-1-b - w[0]*i)/w[1] for i in range(limit)])
plt.show()
效果如下圖。其中紅點為'+'樣本，綠點為'-'樣本。中間的藍色線為分類的標準線。邊界線，即紅色線和綠色線分別穿過各自類別中最靠近分類標準線的點。這些點就是支持向量，只有這些向量所對應的-vec{\alpha}-分量才為非零值。
本文源碼
