B-樹

一個m階的B-樹具有如下幾個特征:

  1. 根節(jié)點至少有兩個子女
  2. 每個中間節(jié)點都包含k-1個元素和k個孩子,其中m/2<=k<=m
  3. 每個葉子節(jié)點都包含k-1個元素,其中m/2<=k<=m
  4. 所有的葉子結(jié)點都位于同一層
  5. 每個節(jié)點中的元素從小到大排序,節(jié)點當(dāng)中k-1個元素正好是K個漢子包含的元素的值域劃分。

例:3階的B-樹


3.png

B-樹查詢的過程,假如我們要查詢的數(shù)值是5
第一次磁盤IO:


4.png

在內(nèi)存中定位(和9比較):


5.png

第二次磁盤IO
6.png

在內(nèi)存中定位(和2、6比較):
7.png

第3次磁盤IO:


8.png

在內(nèi)存中定位(和3、5比較)
9.png

通過整個流程我們可以看出,B-樹在查詢中的比較次數(shù)其實不比二叉查找樹少,尤其當(dāng)單一節(jié)點中的元素數(shù)量很多時。可是相比磁盤IO的速度,內(nèi)存中比較耗時幾乎可以忽略。所以只要樹的高度足夠低,IO次數(shù)足夠少,就可以提升查找性能。相比之下節(jié)點內(nèi)部元素多一些也沒有關(guān)系,僅僅是多了幾次內(nèi)存交互,只要不超過磁盤頁的大小即可。這就是B-樹的優(yōu)勢之一。
插入節(jié)點

B-樹插入新節(jié)點的過程比較復(fù)雜,而且分成很多種情況。例如插入值4
自頂向下查找4的節(jié)點位置,發(fā)現(xiàn)4應(yīng)當(dāng)插入到節(jié)點元素3,5之間


10.png

節(jié)點3,5已經(jīng)是兩元素節(jié)點,無法再增加。父親節(jié)點2,6也是兩元素節(jié)點,也無法再增加。根節(jié)點9是單元素節(jié)點,可以升級為兩元素節(jié)點。于是拆分節(jié)點3,5與節(jié)點2,6,讓根節(jié)點9升級為兩元素節(jié)點4,9。節(jié)點6獨立為根節(jié)點的第二個孩子。


1.png

B-樹能夠始終維持多路平衡,這也是B-樹的一大優(yōu)勢:自平衡。
刪除節(jié)點

比如刪除元素11

自頂向下查找元素11的節(jié)點位置。
2.png

刪除11后,節(jié)點12只有一個孩子,不符合B樹規(guī)范。因此找出11,12,15三個節(jié)點的中位數(shù)13,取代節(jié)點12,而節(jié)點12自身下移成為第一個孩子(這個過程稱為左旋)
3.png

4.png

B-樹主要應(yīng)用于文件系統(tǒng)以及部分?jǐn)?shù)據(jù)庫索引,比如著名的非關(guān)系型數(shù)據(jù)庫MongoDB.
而大部分關(guān)系型數(shù)據(jù)庫,比如Mysql,則使用B+樹作為索引。

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