簡介：本文翻譯自zcash官方博客，講解zcash中所使用的zk-SNARKs的原理第二部分，此處是原文鏈接。友情提示：本文偏技術(shù)化，適合對技術(shù)和數(shù)學(xué)非常感興趣的同學(xué)閱讀。
zkSNARK是zero-knowledge succint non-interactive arguments of knowledge的簡稱，意思是：簡潔的非交互的零知識證明
(本文授權(quán)BH好文好報群摘編、轉(zhuǎn)載以及相關(guān)轉(zhuǎn)授權(quán)推文行為)
正文
在本章中，我們將回憶一下中學(xué)課文中學(xué)到的多項式，并解釋一下“盲式計算”，以及如何用同態(tài)隱藏函數(shù)(之后將簡寫為HH)來實現(xiàn)它。在之后的章節(jié)中，我們將會發(fā)現(xiàn)盲式計算是構(gòu)造SNARK的核心工具。
我們用\mathbb{F}_p來表示大小為p的域，它代表，\mathbb{F}_p中的元素是{0, ..., p-1}，其元素的加法和乘法都會執(zhí)行 mod p，這在第一章有講過。
多項式和線性組合
定義一個d次多項式P：
P(X) = a_0 + a_1*X + a_2 * X^2 + ... + a_d * X^d, a_0, ..., a_d \in \mathbb{F}_p
我們可以這樣在 s \in \mathbb{F}_p 點上計算 P，讓 s 代替 X，并計算總和:
P(s) = a_0 + a_1*s + a_2 * s^2 + ... + a_d * s^d。
由上面的式子可以看出，P(s) 實際上也是1, s, ..., s^d這些值的線性組合，或者說成是加權(quán)和，他們的權(quán)重依次是a_0, ..., a_d。
在前一章中，我們看到HH E是這么來定義的： E(x) = g^x，g是一個具有難離散對數(shù)問題的生成元。另外，這個HH還支持加法，也就是說，我們可以通過E(x)和E(y)計算出E(x+y)。我們需要注意的是，它其實也支持線性組合，也就是說，給定a, b, E(x), E(y)，我們可以計算出E(ax+by)。這是因為：
E(ax+by) = g^{ax+by} = g^{ax} * g^{by} = (g^x)^a * (g^y)^b = E(x)^a * E(y)^b
多項式的盲式計算
假設(shè)Alice有一個d次多項式P，Bob有一個隨機的點s, s \in \mathbb{F}_p。如果Bob想要得出E(P(s))，那么他可以采用如下兩種辦法：
- Alice把
P發(fā)送給Bob，然后由Bob自己計算出E(P(s))- Bob發(fā)送
s給Alice，她在計算出E(P(s))之后把結(jié)果發(fā)給Bob
然后，在盲式計算中，我們想讓Bob在無法得知P的情況下得知到E(P(s)) —— 這就否定了第一種辦法；但同時，更重要地，我們也不想讓Alice得知s，這樣也否定了第二種辦法[1]。
不過，我們可以用HH進行盲式計算，具體可以這樣做：
- Bob把隱藏數(shù)E(1),E(s),...,E(S^d)發(fā)送給Alice
- Alice通過上面的隱藏數(shù)計算出
E(P(s))，然后把結(jié)果發(fā)送給Bob(Alice之所以可以這么做，是因為E支持線性組合，而P(s)就是1, s, ..., s^d的線性組合)
你看，我們只發(fā)送隱藏數(shù)就可以了，Alice不需要得知s[2]，Bob也不需要得知P。
為什么這很有用？
后面的文章，我們會深入到盲式計算中，看它在SNARKs中是怎么運用的。這個簡單的出發(fā)點是，驗證者Bob在不知道那個多項式的情況下，如何去檢驗另外一個人Alice是否知道它。我們通過Alice在一些隨機的點上進行盲式計算，如果她不知道那個隱藏多項式，那么她很可能會給出錯誤的結(jié)果。這，反過來，也依賴于Schwartz-Zippel定理：不同的多項式在大多數(shù)點上的值都是不同的。
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