根據貝塞爾曲線的知識，我們知道三階貝塞爾曲線的參數方程如下，其中A、B、C、D為四個控制點坐標，P(t)表示曲線上的每一點。
因為要模擬1/4圓，所以通過P(0)和P(1)的切線方向，應該按照下圖所示位置安放。
其中AB為水平方向，DC為垂直方向，并且線段長度|AB| = |DC| = h。
那么這個問題實際上，就轉換為計算出合理的h值，使得半徑|OJ| = 1，也即J點剛好在圓弧上。
根據貝塞爾曲線的對稱性，不難想出J點在P(0.5)處，代入公式即可求得：
同樣的結論，也可以直接由貝塞爾曲線的幾何圖形特征來推定，也即：
所以也可以再次確認P(0.5)和J是同一點。
代入四個控制點坐標A(0, 1)，B(h, 1)，C(1, h)和D(1, 0)，可以求解P(0.5)點坐標如下：
根據圓形方程定義，可以擬出下面方程：
從而求解出h的值為：
所以，可以最終求解出三階貝塞爾曲線模擬1/4圓的參數方程P(t)定義如下：
另一方面，該方程描述的曲線與真實1/4圓有多大差異呢？下面就針對這個問題進行數值求解。
采用t = 0.0到1.0，步進值0.01，求解每個點到原點的距離與半徑1的差異。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
double bezier3(double a, double b, double c, double d, double t)
{
double nt = 1.0 - t;
double nt2 = nt * nt;
double nt3 = nt * nt * nt;
double t2 = t * t;
double t3 = t * t * t;
return (a * nt3 + b * 3.0 * nt2 * t + c * 3.0 * nt * t2 + d * t3);
}
int main()
{
double t, a;
double d, e;
double max_e = 0.0, min_e = 1.0;
double x, y;
double h = (sqrt(2) - 1.0) * 4.0 / 3.0;
for(t = 0.0; t < 1.01; t+=0.01)
{
x = bezier3(0, h, 1, 1, t);
y = bezier3(1, 1, h, 0, t);
d = sqrt(x * x + y * y);
e = d - 1.0;
a = atan2(y, x);
a = a * 180.0 / 3.1415926;
if(max_e < e) max_e = e;
if(min_e > e) min_e = e;
printf("%4.1f, %f\n", a, e);
}
printf("max_e = %f, min_e = %f\n", max_e, min_e);
return 0;
}
輸出結果如下：
90.0, 0.000000
89.1, 0.000003
88.1, 0.000010
87.2, 0.000022
86.2, 0.000037
85.3, 0.000054
84.4, 0.000073
83.4, 0.000092
82.5, 0.000113
81.6, 0.000133
80.7, 0.000153
79.7, 0.000172
78.8, 0.000190
77.9, 0.000206
77.0, 0.000221
76.1, 0.000234
75.2, 0.000246
74.3, 0.000255
73.4, 0.000263
72.5, 0.000268
71.6, 0.000271
70.7, 0.000273
69.8, 0.000272
68.9, 0.000269
68.0, 0.000265
67.1, 0.000259
66.2, 0.000251
65.3, 0.000242
64.4, 0.000232
63.5, 0.000220
62.6, 0.000208
61.8, 0.000194
60.9, 0.000181
60.0, 0.000166
59.1, 0.000152
58.2, 0.000137
57.3, 0.000123
56.5, 0.000108
55.6, 0.000094
54.7, 0.000081
53.8, 0.000068
52.9, 0.000056
52.0, 0.000045
51.2, 0.000035
50.3, 0.000026
49.4, 0.000018
48.5, 0.000012
47.6, 0.000007
46.8, 0.000003
45.9, 0.000001
45.0, 0.000000
44.1, 0.000001
43.2, 0.000003
42.4, 0.000007
41.5, 0.000012
40.6, 0.000018
39.7, 0.000026
38.8, 0.000035
38.0, 0.000045
37.1, 0.000056
36.2, 0.000068
35.3, 0.000081
34.4, 0.000094
33.5, 0.000108
32.7, 0.000123
31.8, 0.000137
30.9, 0.000152
30.0, 0.000166
29.1, 0.000181
28.2, 0.000194
27.4, 0.000208
26.5, 0.000220
25.6, 0.000232
24.7, 0.000242
23.8, 0.000251
22.9, 0.000259
22.0, 0.000265
21.1, 0.000269
20.2, 0.000272
19.3, 0.000273
18.4, 0.000271
17.5, 0.000268
16.6, 0.000263
15.7, 0.000255
14.8, 0.000246
13.9, 0.000234
13.0, 0.000221
12.1, 0.000206
11.2, 0.000190
10.3, 0.000172
9.3, 0.000153
8.4, 0.000133
7.5, 0.000113
6.6, 0.000092
5.6, 0.000073
4.7, 0.000054
3.8, 0.000037
2.8, 0.000022
1.9, 0.000010
0.9, 0.000003
-0.0, 0.000000
max_e = 0.000273, min_e = 0.000000
從輸出結果分析可以看到，誤差均為向著圓弧外凸，0度到45度一段，45度到90度一段。
在0度、45度和90度為最小誤差0.000000，在19.3度和70.7度達到最大誤差為0.000273，基本上非常接近1/4圓弧了。
以上，即為三階貝塞爾曲線模擬1/4圓弧的全部內容。
感謝Grapher和GeoGebra軟件，使得方便排版文章中使用的公式和曲線。
