第一章：統一性（之二）

拉里·L·齊默曼于2015年9月9日 發表

不顧他們關于數學的本質的假定，羅素和他的同胞，正如我將要展示的，談論和研究數學好像這“無”又是某些東西，至少是一種數學家按照他們的喜好所創造的藝術形式。從“數學如同藝術”的視角來說，有兩個問題對數學家來說，在歷史上都發現難以回答，而且他們當代的同事也在為之奮斗。

首先，為什么有那么多統一的原理，比如集合、函數和向量，交織在那些起初看上去是不同的概念里，且這些概念是由不同的人在不同的時代、不同的地區獨立地發明的？如此的統一被很好地建立了。詹姆斯·J·西爾維斯特說，曾經有一個時候，學科的各個部分被割裂了，代數、幾何和算術或者各自分開，或者保持只限于偶爾彼此拜訪的冷淡的相識關系，但......現在愉快地結束了。他們正不斷地變得越來越親密，且被一千個新的關系所連接。我們或許可以自信地盼望一個時間，那時他們將構成一個身體且擁有一個靈魂。（11）

雷蒙德·L·懷爾德（Raymond L. Wilder ）談論“偉大的普遍性......內在于形式化的數學系統里。”他接著說數學的演變“將要迫使一種方法的發展，這種方法能夠將不明確的項（terms）和像類（group）與抽象空間這些出現在表面看起來不相干的數學分支中的基本說明概念包圍在單一的框架中。”（12）

表明統一最后會統治即便混亂是可預期的時候，比如在大膽的數學革新之后，赫伯特·韋斯特倫·特恩布爾（Herbert Westren Turnbull）說，“這些趨勢是值得注意的，當純數學的四個偉大分支中的每一個都在走向普遍化時，這些分支失去了一些他們與眾不同的品質，且變得越來越像。”（13）

克萊因給出了關于數學領域的內在一致性的進一步的證據，他聲明，“為了解決某一領域的一個問題而被發展出來的一個定理常常變成了一個完全不同領域中的關鍵點，這一事實讓數學史中充滿了驚喜。”（14）埃里克·坦普爾·貝爾（Eric Temple Bell）講述了那種熟悉的方式，利奧波特·克羅內克（Leopold Kronecker ）將他最感興趣的三股線——數的理論，方程式理論和橢圓函數——編織在了一個美麗的模式里，在其中，隨著這個構想的發展，意料之外的勻稱被揭露，并且在其他遙遠的地方還有很多細節被意外地想象到了。與他合作的那些工具，似乎每一個都是為了其他地方的更有效率的功能而被命運設計的。不滿足于接受這不可思議的統一僅僅作為一種神秘，克羅克內探求并在卡爾·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss）的二元二次方程式理論中發現了它潛在的結構。（15）

然而克羅內克，他可能是一個基督徒，僅僅承認“上帝創造了整數，其他的一切都是人的工作。”（16）溫斯頓·丘吉爾曾這樣描述他的政敵斯坦利·鮑爾溫（Stanley Baldwin），“偶爾他被真理絆倒，但是他匆忙地爬起來仿佛什么事都沒有發生一樣。”（17）克羅內克的哲學嘗試可以作為這種情況的一種典型，而且他并不是唯一一個這樣的數學家。

使用這類詞匯像“非凡的”，“驚訝的”，“未預見到的”，“意想不到的”，和“不可思議的”，克萊因和貝爾都心照不宣地承認數學的統一性從他們假定數學家發明了數學的設想中剪去了針腳。甚至數學家們“強迫”不統一的嘗試也被數學的完全統一的特性給拒絕了。例如，有這種好奇的悖論（curious paradox）“.....我們越接近一個絕對模式的序列，我們就越接近這樣一種模式，它如此罕見以至于突然產生這樣一個序列時，我們會懷疑它是由一個數學家精心構造而不是由一個隨機過程產生的。”（18）肯定的是數學是有人設計的一種存在（entity），并且它的一部分被數學家發現了。常常，他們那時就成了判斷他們的發現的意義的最差勁的法官。

由亞瑟·凱利（Arthur Cayley）和詹姆斯·J·西爾維斯特（James J. Sylvester）所發展的代數不變量理論是最一個很好的例子。

......這個想法最早的例子出現在約瑟夫-路易斯·拉格朗斯（[Joseph-Louis] Lagrange）的作品中，它逐漸變成了高斯（Gauss）的算術作品。但是，這兩個人都沒有注意到，在他們面前的簡單而非凡的代數現象是一個巨大理論的萌芽。當喬治·布爾（George Boole）繼續并極大地拓展了拉格朗日的工作時，他似乎也沒有完全意識到他所發現的。（19）

如果有任何人們期待驚奇最終已被清除掉的主題，那就是已經顯著了數百年的三角形和圓的初等幾何。即使在19世紀也依然如此。然而，那個世紀，“見證了這項研究的驚人的重新開始。看來好像這一領域的調查肯定是無限量的。”（20）

菲利普E.B.喬丹恩（Philip E.B. Jourdain）對這一現狀的評估被貼上了“守舊的”和“古怪的”標簽。它也被數學中發現的統一所支持，而不是被摧毀，因為任何人都能看到沒有誰能夠不顧C.S.劉易斯所說的“時間上的勢利”。若丹說，

“......數學的本質是獨立于我們個人和外部世界的，我們可以感覺到，我們自己的發現和觀點并不影響真理本身，而只是影響我們或其他人所看到真理的程度。我們中的一些人在科學中發現了一些東西，但是我們在科學上并沒有真正創造出任何東西，至多是哥倫布“創造”了美國......一些哲學家得出了一個驚人的結論：真理是由人類創造的，且哥倫布創造了美國；但是常識......是......以上是被哲學說服所奉承的，它確實占據了一個地方，而那個地方有時是為了一個更神圣的存在而保留的。”（21）

聽起來像是喬丹恩的回聲，夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）說，“我相信數字和函數分析并不是我們精神的任意產物；我相信它們存在于我們之外，必然與客觀現實的目標有相同的特性，我們找到或發現它們，并像物理學家、化學家和動物學家一樣研究它們。”（22）

雅克·阿達馬（Jacques Hadamard）——克萊因稱他是“本世紀最重要的法國數學家”——說：“盡管我們還不知道真理，但它是先于我們而存在的，并且在誤入歧途的懲罰之下，它不可避免地強加給我們一條我們必須跟隨的道路。”（23）即便是伯特蘭· 羅素（Bertrand Russell）也提到了“我們確信事實必須始終符合邏輯和算術”的說法，他聲稱，“認為邏輯和算術是由我們貢獻的，并不能對這做出解釋。”（24）

P.s.

1-括號里的數字為注釋；

2-注釋及英語原文請參考網站：https://answersingenesis.org/answers/books/truth-transcendent/