1.1849年4月25號夜間，杜塞爾多夫當?shù)氐蹏h會秘書的家里籠罩著緊張的氣氛。外面，起義的萊茵蘭人民建起的街壘對抗著政府軍的隆隆炮火；家里，做好了一切逃跑準備，可沒人愿意離開;就在那一夜，嚴厲的普魯士秘書得了個兒子，這兒子便是菲利克斯·克萊因。他的出世標志著1848年革命的徹底破產(chǎn);他的一生便是普魯士人統(tǒng)治德意志的時間;而他本人則是這些統(tǒng)治者身上最優(yōu)秀最高貴品質的化身;隨著他最終病入膏肓，這統(tǒng)治也迎來了自身的毀滅。神經(jīng)方面的疾病，早年就不時給他以強烈的警兆，最終逐步地，不可抗拒地掌控降服了他。他覺得，這病情部分來自母親的遺傳，部分源于他毫無節(jié)制地消耗自身的精神能量——這種能量如此堅韌，甚至在他生命終末的兩年，無助地躺在病床上，日甚一日地衰弱下去時，他也從未抱怨過半句，至死神智清明，工作，甚至校正樣稿。1925年6月22號，星期一傍晚八點半，他毫無痛苦地逝去了

{注：以下原文注釋不標記，譯者所加注釋用{}標出}

2.少有數(shù)學家如同克萊因這樣，留下如此豐富的素材，足以令人對他的生平工作蓋棺定論。我們知道他的一生：他在去世前兩年親手寫下；以及數(shù)學論文集，他親自徹底修訂，其中隨處可見自傳性質的補充注釋和介紹短文；還有大量的數(shù)學講義，多年來以影印形式四處流傳；甚至他逝世前幾年做的一系列講座的可靠記錄，由他的同事兼繼任者柯朗教授仔細地訂正過。

他去世后，他的眾多門生筆下涌出了一篇篇描繪他個人與工作的文章。可是:正如一個有強烈個性的人，一處驚艷絕倫的風景，對未曾見過原版的人而言，照片根本無法傳達其中風采。克萊因的情形正是如此，也必定如此。同時，皇家學會有義務好好紀念這位它最年長的外籍成員，羅列幾項生平事跡是遠遠不夠的。不光為著克萊因名列學會成員四十年之久，于1912年得到了科普利勛章，更不單緣于他為許多學會成員所熟識與敬重。而是由于克萊因的一生與數(shù)學研究的更新?lián)Q代緊密相連。

3.有人說，克萊因是一切時代最偉大的數(shù)學家之一，這他自然當不起；然而他的個人影響力如此強烈，甚至遠在他的國家以外的地方都深受影響，也許比現(xiàn)代任何數(shù)學家都更強烈。這是因著他強勢有魅力的個性，因著他對數(shù)學觀念的高瞻遠矚，因著他理性客觀的開放思維。這理性的思維偶爾會染上個人感情波動的色彩，因為克萊因秉性絕無人們通常喜歡假想的數(shù)學家那般冷酷算計。克萊因的影響力部分來自莫測的機緣，英格蘭人通常無動于衷地稱之為“走運”，一系列無法預料的外部事件給他提供了超常的機遇，可若非聰慧之極、品行端方的人遇上這種機會，必定要落得不光彩的下場。部分來自他吸引聽眾的能耐，即使是他鮮有涉足的數(shù)學領域，也能講的娓娓動聽。部分來自他對教育事業(yè)不知疲倦的奉獻，然而他這方面的努力如此成效顯著，該歸因于克萊因激起了一個人誠摯的熱情，使他為此執(zhí)行措施，Althoff，曾是哥廷根大學的管理者，后來又升職為普魯士教育部部長。

4.克萊因天賦早熟，十七歲時他就被尤利烏斯·普呂克選中作為波恩大學物理實驗室的助教。索末菲告知我們，在這個實驗室里，普呂克同蓋斯勒（他的玻璃吹制工）一起發(fā)明制造了蓋斯勒管，在英國通常被稱作克魯克管。克萊因一輩子都想當物理學家，就像歌德的靡菲斯特，意在作惡卻老是造善，克萊因終生掙扎著想做點純粹數(shù)學以外的東西，而總是立刻發(fā)現(xiàn)，最終什么別的都沒做。當然，普呂克的口味這時也變了，經(jīng)過多年的停歇，他又恢復了早年對幾何的熱愛。年輕時他發(fā)現(xiàn)了以他名字命名的著名方程，晚年他則點燃了克萊因的興趣之火。

皇家學會應當記住，是普呂克而非凱萊，指出空間中的六個齊次線坐標之間，存在二次的條件方程，發(fā)表在學會的匯報上（1865，pp,725-791）.克萊因的早期工作全是線幾何學，或者至少與此相關。然而甚至在寫他的博士論文時，那時他才十九，普呂克死后一年，就已經(jīng)無意識地引入了他日后工作的典型標志——群的概念。同樣，在他為博士學位答辯準備的五篇論文之一當中，為了說明先前巴塔利尼所考慮的二元形式復量不是最一般的二元形式復量，他的論證方式依賴于一個三參數(shù)的普呂克坐標變換，在這種變換下整個巴塔利尼復量集不變；這種變換自然就是，群。

普呂克死后（1868.5.22）留下了未完成的著作《以直線為基本元素的新空間幾何》Clebsch把完成與修訂后半本書的任務交給了普呂克年輕的助教，唯一和原作者有過長期交流，能夠按照他的精神編輯手稿，填補空缺的人。

5.既然Clebsch新近在哥廷根就職，克萊因便隨他而去，每天都與他當面交流。在Clebsch的影響下，普呂克在克萊因心中點燃的對幾何模型的熱愛愈發(fā)熾烈。順帶一說，普呂克告訴過克萊因，主要是因著法拉第，他才意識到模型的重要性。法拉第并非數(shù)學家，他在工作中意識到，為了理解他所需要的數(shù)學結果，建立物理模型是極有幫助的。熟識英國科學家們的普呂克似乎有意指導克萊因學習英語，閱讀英國數(shù)學家的著作，由此，克萊因與英語國家及人民結下了至死不渝的友情。

1868年，哥廷根的一次數(shù)學會議上，克萊因初次見到真正的模型（維納制造），是凱萊1849年發(fā)現(xiàn)的，由27根實直線組成的立方曲面。克萊因對凱萊的工作已經(jīng)相當熟悉了。此事令克萊因想親自動手做做模型，這一決心得到了Clebsch的贊許，而他真的（在1871年）用鋅片構造了一個四階庫默爾曲面，有16個雙重點和16個雙重面，正如此曲面在線幾何學中的其他特殊情形一樣。終其一生，他對曲線和曲面的真實形態(tài)都極感興趣。他深信模型和實物在數(shù)學教學中的作用。此生終結時，他能夠驕傲地說，在他和他朋友們——Brills和Dyck——的努力下，德國每間大學都有完備的數(shù)學模型藏品。

6.克萊因第一次去哥廷根，從1869年年初待到同年8月，第二次居留則從1871年年初待到1872年9月，最終在1886年永遠定居于此。第一次和第二次之間有著三段非常重要的時期，他去了柏林，去了巴黎——此事容后再表，還參加了普法戰(zhàn)爭，不過他不能服現(xiàn)役，只參加了救護部隊，不久因傷寒發(fā)熱被遣送回家

1869年8月，罔顧Clebsch的建議，無視普呂克先前給過的警告，克萊因去了柏林，在那里待到1870年3月。不像在波恩和哥廷根，柏林的權威們對克萊因的人格魅力無動于衷，這點上Clebsch和普呂克的預言說對了。盡管他在庫默爾曲面上做過工作，還在庫默爾的討論班上報告過自己的線幾何學，連他自己都驚訝的是，他和庫默爾在光學代數(shù)系統(tǒng)上的共同研究，居然沒能在他們之間建立起任何關系。在魏爾斯特拉斯的心里，對克萊因確定無疑的反感已經(jīng)產(chǎn)生。魏爾斯特拉斯的學生口口相傳，克萊因是個“該遭天罰的異端”，就是說他搞的根本不是數(shù)學。然而，當初在利普希茨的建議下，克萊因在博士論文的草稿中添加了一部分以魏爾斯特拉斯的基礎工作為出發(fā)點的討論，論證退化情形；考慮到克萊因對開闊視野的熱忱渴望，不受任何門戶之見拘束的決心，他堅持要到柏林來，很可能就是希望能從和魏爾斯特拉斯的個人交往中獲益。然而，他卻親口告訴我們，他幾乎不上任何課，只是在跟同學季培特的交往中，才領略并學習了魏爾斯特拉斯的橢圓函數(shù)，他唯一一次在魏爾斯特拉斯的討論班上發(fā)言；論及凱萊的理論，在總結中他猜測，這可能和非歐幾何有關。不久前，他才剛剛從另一位同學奧托·施陶茨那里聽說非歐幾何。魏爾斯特拉斯堅決否認這種猜測，說距離的概念才是一切幾何的基礎。后來，克萊因用幾年時間把這個想法擴展成一系列論文；1873年在布拉福德參加大不列顛協(xié)會會議時，克萊因跟凱萊本人當面談過這個問題，在場的還有克利福德和羅伯特·鮑爾爵士，克萊因從未能使凱萊和鮑爾信服他不是在循環(huán)論證。當然，對沖動勇敢依靠直覺的克萊因而言，他缺乏足夠的耐心和審慎，用來說服他們。

7.在Clebsch的影響下，克萊因在23歲這樣輕的年紀就當上了埃爾朗根大學的數(shù)學教授。然而這卻不是個揚名立萬的好機會，乍一看來，這件事對初出茅廬的年輕幾何學家甚至可能成為毀滅性災難，因為他最重要的支持者Clebsch于1872年11月7日猝死于白喉。兩天前，克萊因剛剛上了第一節(jié)數(shù)學課，只來了兩個學生，其中一個再也沒有出現(xiàn)，另一個也只來過一兩次。Clebsch的衣缽責無旁貸地落到了克萊因手上，許多高年級的學生立刻從哥廷根前往埃爾朗根，其中好些比克萊因年紀還大。年輕的教授突然成了熱烈的數(shù)學氣氛中心，正像先前在哥廷根曾經(jīng)存在過的那種熱烈氛圍。

正是在埃爾朗根，克萊因完成了他最著名的成就，即埃爾朗根綱領。說它是對幾何學思維的根本革命毫不為過。雖說在細節(jié)上稍有微瑕，可想想作者的年紀，想想當時的數(shù)學觀念，這項成就實在極其驚人。克萊因后來補充的注釋以及關于它誕生的說明，都增加了這篇文章的趣味。其中的新想法是，幾何種類繁多，尤其是19世紀如雨后春筍般冒出種種新幾何(非歐幾何，射影幾何，線幾何等等)而所有不同的幾何都可以從同一個角度來看，群論，各式各樣的幾何都不過是某個群變換下的不變量。這個想法一經(jīng)問世，甚至索菲烏斯·李也"大為震驚"。克萊因一直惦記著這個想法，預見它必定可以應用到幾何之外的其他數(shù)學領域。特別是愛因斯坦的相對論發(fā)展重新燃起了晚年克萊因對埃爾朗根綱領的興趣。當他發(fā)現(xiàn)他的物理學家朋友里沒人對最一般的四維空間共形變換群感興趣時，不由得深感挫敗，貝特曼和坎寧安曾指出，麥克斯韋方程在這個群變換下保持不變。

克萊因在埃爾朗根結了婚，甚至在暮年時分，他妻子的美貌依舊鮮明;是位甜蜜文雅的主婦，可惜忍受著逐步加劇的耳聾折磨，而丈夫有著異乎尋常敏銳的聽力，成了他們家庭生活可以察覺的特性，凡是有幸體驗過克萊因一家簡樸老式的友好接待的人，都不會忘記這種特性。她是安娜·黑格爾，埃爾朗根一位教授的女兒，哲學家黑格爾的孫女。

8.在埃爾朗根，克萊因沿著《綱領》的道路前進，將如下簡單原則當作指路明星——"代數(shù)形式，在幾個線性置換群下回到自身，由此便可預測它有什么特殊性質。他用來闡明這個思想的第一個例子是用黎曼把復平面映射到球上的解釋，來處理三次四次的二元形式。此處顯然可見Clebsch對克萊因思維的影響，他指導克萊因去研究線性變換，二次型的不變量和協(xié)變量理論。但克萊因以他特有的開闊思維處理了這個問題，他說，他曾一再懷著希望與恐懼捫心自問，熱衷系統(tǒng)化的射影方法的Clebsch，對他這種有著天壤之別的幾何方法，會說什么呢？然而Clebsch未能活到讀了埃爾朗根綱領的一天。

克萊因在巴黎時學了些伽羅華的工作，在《綱領》的結束語中，他提到了方程式理論，亦即伽羅華用群論來解代數(shù)方程的努力。他暗示線性置換論也可作相似的考慮，應用黎曼的解釋，就能看出球面上的幾何關系對應于正多面體。在這樣的解釋下，線性置換就成了球對不同直徑的旋轉，加上對徑平面的反射。因而一切已知正多面體的頂點。可定義為在這種旋轉下回到自身的集合。這就給了我們x+iy的二元形式，在特定的線性變換群下不變。用這種方式，克萊因證明了他可以構造出所有可能的x+iy的線性變換有限群，只靠五個古典的柏拉圖正多面體，和一個正多邊形的平板，作為正多面體的退化情形。更進一步，應用伽羅華的理論，他解出了五次方程，吸引了當時幾位最好的數(shù)學家注意力。

9.1875年，克萊因從巴伐利亞小城埃爾朗根搬到了巴伐利亞首府慕尼黑的工科學校。德國社會等級森嚴分明，各成各的小集團，技術學校教授地位通常比大學教授低一等;但克萊因有著更長遠的計劃。他眼里的技校應當同巴黎與蘇黎世的多科工藝學校毫無二致，接受慕尼黑任命時，他覺得自己又上了一個臺階*。正在此時，Brill也從達姆施塔特來到慕尼黑，有他在，克萊因的計劃就更容易為人理解了。而他本人的經(jīng)驗，對技術學校傳統(tǒng)的熟知，對實際工作的認識，對克萊因是無價之寶。克萊因當然也很開心，有Dyck當他的助教，赫維茨當他的學生。后者是他在橢圓模函數(shù)上工作的主要合作者，這是克萊因的不朽豐碑之一。

*“巨大的飛躍”克萊因《自傳》19頁

埃爾朗根的歲月不過是熱身，在慕尼黑克萊因才開始真正發(fā)力，用他自己的話講，他"把自己打造成一個獨立自主的數(shù)學家"然而，同時他卻弄壞了自己的身體，1880年被萊比錫任命為幾何教授后，他在那里病的極其嚴重。很可能因他在萊比錫受到的排擠而加速了身心崩潰。他比他的同事都年輕太多，他們憎恨他身上的革新傾向。特別是反對他決心要動用那個名存實亡的德語詞"學術自由"，在最廣義的范圍上詮釋幾何，開了一門幾何函數(shù)論的課。

10.此時克萊因正在他數(shù)學能力的巔峰，在凌晨時分的海邊，克萊因哮喘發(fā)作，倚靠在沙發(fā)上時，腦內閃過了自守函數(shù)中的“中心極限定理”，克萊因把這個定理視作他一切數(shù)學發(fā)現(xiàn)中最珍貴的。那是1882年復活節(jié)。這個定理是他早期關于二十面體和模函數(shù)工作的衍生品，受1881年2月、3月龐加萊在法蘭西科學院周刊上先后發(fā)表的三篇短文刺激而產(chǎn)生。龐加萊的短文是論證富克斯函數(shù)的，這是他為了紀念富克斯而起的名字，指的是克萊因此后稱作自守函數(shù)中的一部分特殊函數(shù)。

龐加萊只比克萊因小五歲#，在法國漫長的數(shù)學教育進程中，比克萊因成長的要晚些。1880-1881年他是卡昂的講師。那里完全沒有像樣的圖書館，于是當他發(fā)表那預兆未來偉大理論的三篇短文時，全然沒有注意到已有別人也在進行這樣的工作。當克萊因寫信指出他的疏漏時，他極富騎士風范地把剩下的所有自守函數(shù)都命名為克萊因函數(shù)￥。對未來的數(shù)學家而言，關乎這些函數(shù)的理論永遠銘刻著克萊因和龐加萊糾纏的名字。他們此后的通信發(fā)表在數(shù)學學報，39卷，向我們展示了這兩位數(shù)學家彼此間的關系如何成為這個理論的建筑基礎。在克萊因崩潰后，龐加萊仍然繼續(xù)他的工作。

#克萊因和別人對此事的說法，容易使人誤會龐加萊比他年輕的多，而且在當時也非常年輕，這顯然不合事實

￥見龐加萊《數(shù)學年鑒》20卷p53：說到克萊因函數(shù)，我用別的任何人的名字來命名它都不恰當，的確是Schottky先生最早發(fā)現(xiàn)了它的存在，可正如你在通信中指出的，是你在《論線性變換到自身的正則函數(shù)》結尾處最早意識到它的重要性

11.因病被迫放棄了一段時期工作，長遠來看也必須減少工作量的情況下，克萊因單槍匹馬地出版了一本書“論二十面體”。這本小冊子所牽涉的課題里屬于克萊因自己的原創(chuàng)部分，早已在《數(shù)學年鑒》上發(fā)表過。最好不過用克萊因自己的話來總結這本書和他先前在這個課題上做的工作之間的聯(lián)系：

“這本書里，進一步詳盡討論了許多細節(jié)問題，也簡化了不少問題，這方面果爾丹和季培特對我起了很大幫助，另一方面，許多內容被壓縮了，尤其是不變量理論……其余部分，可以看作是按歷史順序討論五次方程。此書出版后，數(shù)學圈子里以為我的目標是要為已存在的二十面體理論發(fā)展一套直觀的解釋。回想起來，這種看法一點也不符合我所堅持的觀點。我更愿意認為先前埃爾米特，克羅內克和布廖斯基等人只為二十面體理論和橢圓函數(shù)論開了個頭。證據(jù)就是非但從1876年到1880年，他們論證中的模棱兩可之處從來沒人澄清，而且，在我們的急速推進下，解決的是到那時為止還壓根沒人意識到的問題。回顧那些年時，我總是把那些大步前進的歲月視作我數(shù)學創(chuàng)造中最幸福的時期。由外觀察，數(shù)學創(chuàng)造力的旺盛程度可以用我和果爾丹見面的頻率來衡量。一般我們選擇在艾希斯特相會，慕尼黑和埃爾朗根的中點。果爾丹后來最喜歡談這種“橡樹之地聊數(shù)學”*，這就是他給我們見面命的名”

{^見面地點是艾希斯特（Eichstadt），Eiche在德語中意為橡樹}

12.看看克萊因和果爾丹的職業(yè)生涯，會發(fā)現(xiàn)他們截然不同。整整11年的時間，盡管果爾丹作為數(shù)學家的能力廣受稱贊，盡管他與Clebsch有著親密的友誼與合作，果爾丹卻只能在吉森大學當個無薪講師。下一步是埃爾朗根的副教授，幾個月后，比他小12歲的克萊因離去，空出正教授的位置，由他繼任，果爾丹在這里一直干到離世前兩年。他于1912年去世。果爾丹似乎有一種鮮見的天賦，也許可稱之為數(shù)學共情力。果爾丹70歲生日紀念時的短暫發(fā)言里說他和Clebsch十年的關系是“愉快的伙伴，他的主要任務就是把那位多產(chǎn)的天才的想法散播到四周”。諾特也說，果爾丹面前好像沒有什么困難不能克服，他以一種真正蘇格拉底式的風范使所有課題得以明澈清晰。這人正該是克萊因的朋友，對克萊因深有了解的李說過：“我對克萊因的才華評價很高，永遠也不會忘懷他總是在我的科研努力進程中心甘情愿地懷著同情陪伴我。然而我認為，例如，他不能充分區(qū)別歸納和證明，區(qū)分引入的概念和概念的解釋”

13.果爾丹來埃爾朗根陪克萊因正是時機。克萊因漸漸從普呂克與Clebsch的代數(shù)與幾何觀念轉換到黎曼更一般的觀念上來，也就是幾何化的函數(shù)論，這最終成了克萊因數(shù)學的重心。克萊因從未見過黎曼本人，然而他一到哥廷根就開始讀黎曼的論文。而果爾丹則有幸親聆黎曼教導，1862年的秋天聽了幾個星期，正在黎曼身體徹底垮掉之前。1866年，黎曼死后三個月，Clebsch和果爾丹合寫了關于阿貝爾函數(shù)的書。克萊因對此評價:"這本書的重要意義在于，用解析幾何方法成功重新推導了黎曼在代數(shù)曲線上得出的結論。那時黎曼本人的原始方法還只是他親傳學生們保守的秘笈，而其他數(shù)學家則對它心懷疑慮。必須強調，我立刻就看出，隨著時日推移，曲線研究數(shù)學進展必定會自然而然地走向黎曼的方向，黎曼的方法將被所有數(shù)學家繼承下來。"若說今天已是如此，將來也必定如此，主要得歸功于熱情傳道的克萊因。克萊因的黎曼教派深奧難解的關鍵信條卻只口口相傳給他選定的門徒:讀讀黎曼!

很有意思的是，克萊因從萊比錫的身心交瘁中恢復過來的轉折點，是巴特摩爾大學的邀請，請他擔任西爾維斯特1884年離職后的繼任者。他認為，正是這個邀請在他眼前展開了誘人的幻想前景，使他精神振奮，終于擺脫了抑郁的糾纏。他最終拒絕了這個邀請，美國大學日后還再三向他發(fā)出邀請。雖說年齡只到但丁所謂的"方吾生之半途"，但克萊因充滿創(chuàng)造力的年代已經(jīng)終結;從那時起，很多年里，他致力于建立自己的數(shù)學學派。

1886年他接受了哥廷根的職位，真正的德國人不會以大城市為家，克萊因滿懷熱忱搬去了"這座花園小城"。時光以繁華的畫筆為哥廷根上了動人的色彩，以至今日探訪哥廷根的人難以想象它曾有多么樸素無華。至今哥廷根仍是一首中世紀的詩。在這兒，克萊因一家人度過了最幸福的歲月，他們親手建了他們舒適的別墅，有著陰涼的花園。它一邊緊鄰禮堂，另一邊則是哥廷根的林地，美麗的森林一直延綿到哈茨山上。每天吃過午飯，小憩一陣，克萊因便陪著他的同事和朋友去森林散步，邊走邊談數(shù)學。此后他便去放滿了書的辦公室里見他指導的學生，同他們討論工作，或者備自己的課。

16.克萊因一直對哥廷根極其滿意，為此拒絕了一切其他大學的邀請。他見證了哥廷根再次聞名于世，成了無人膽敢想象的真切存在的奇跡，連高斯時代也未曾達到這樣的高度。1893年圣誕節(jié)聚會時，他幽默地對學生說，轉折點已經(jīng)到來，哥廷根回到了宇宙中心，隨之而來的奇跡自然是:夏娃女兒的降臨。事實上，普魯士大學的日常生活起了波瀾。兩位美國女生受克萊因當年在芝加哥講課的影響，隨他來到歐洲求學，同時另有一位格頓學院的女生也自發(fā)前來哥廷根，18個月后，她成了普魯士大學第一位正式通過考試畢業(yè)的女性哲學博士

17.禮堂頂層是克萊因的課室;他課講的最好時，聽眾通常不到一打，幾乎全是外國人。但本世紀初，學生數(shù)量接近百人，聽眾大多是德國人。課室鄰近漂亮的數(shù)學閱讀室，緊靠的房間放著擺滿模型的玻璃柜;教授課后呆在這里，這是"接待時間"，任何學生都可以帶著問題去找他請求幫助。給很少一點小費，學生就可以拿到一把閱讀室的鑰匙，隨時可以進來看書(這里不像通常的大學圖書館，書可以拿出來)，查閱手寫或印刷的課程說明;最重要的是可以看前一天克萊因講課的稿子，由他的助教作記錄，克萊因親自審閱。并不鮮見的是，教授課堂上脫口而出的疏漏錯誤在這里被提出并改正。這些助教里特別應該一提不幸過早離世的Ernst Ritter，大部分數(shù)學課程樣稿他都提供了極多協(xié)助。這一切都是克萊因組織設計的，如今演變成了單獨的數(shù)學研究所大樓。

18.克萊因對大學學會與制度起的作用，這里只能寥寥數(shù)語帶過。克萊因在科學圈子和工業(yè)圈之間負責架起橋梁，這使他更容易發(fā)揮作用。克萊因提出了《哥廷根促進應用數(shù)學協(xié)會》的光輝想法，他訪問過美國后，就一直想建這樣的協(xié)會，最終成立于1898年。協(xié)會里有許多工業(yè)界大亨。這些有公眾意識的人物提供資金，供大學任意使用。盡管普魯士政府并不吝嗇，給學校的撥款卻仍然入不敷出，協(xié)會資金正可用于補足。由此成立新的測地學，天文學，精算保險，工程力學，工程電學聯(lián)合研究所，創(chuàng)造新的職位，找到合適的人擔任。

19.克萊因為哥廷根大學與哥廷根城所做的一切將被永遠銘記;他的紀念碑就是今日的哥廷根。除了致力于倡導應用數(shù)學和純粹數(shù)學地位平等以外，克萊因對哥廷根最重要的直接作用也許是挑選他的同事。若是人人公認或私下默認，教授職位的任命理由并非候選者的個人能力，則非但有損學校聲譽，且將在長期內腐化風氣。克萊因推薦新教授的兩個基本原則，最重要的是個人要優(yōu)秀，其次則要保證整體的多樣性。尤其是克萊因選中希爾伯特來哥廷根，由此間接帶來了閔可夫斯基。因為希爾伯特在拒絕柏林的邀請時提出條件，若要他留在哥廷根，則必須為閔可夫斯基創(chuàng)立一個新職位：克萊因拒絕這種要求時，他總是抓住機會為哥廷根大學謀求各種利益。這點值得我們注意，德國大學里這種行為蔚然成風，是德國大學最高尚的特性之一，在我們國家的大學里沒有什么能與之比擬。

20.1907年哥廷根大學把克萊因選為代表，送他進了普魯士議會，很難說克萊因對他自己國家的影響因此事而增加了多少。這個選舉結果部分是因為大家想看克萊因把不知疲倦的精力消耗到大學以外的事情上去。可是，盡管他多次出席和教育有關的會議，卻幾近一言不發(fā)。

21.對新一代的數(shù)學家而言，克萊因的主要形象可能是數(shù)學科學百科全書計劃的組織者。他有極好的記憶力，從不忘記他曾瀏覽過的東西。然而，終其一生他都沒有快速吸收書本知識的特殊稟賦，隨著時間推移，他發(fā)現(xiàn)自己越來越無法跟上當下數(shù)學發(fā)展的進度，哪怕是大略把握也不行，除非新的進展像相對論那樣，和克萊因自己的早期工作有所聯(lián)系，即使在這種情況下，克萊因也只是把握了他能理解的這部分聯(lián)系。照克萊因的觀點看，百科全書計劃，就是為了給他的學生，他自己，給一切研究數(shù)學的人，降低當下數(shù)學研究入門的難度。90年代某天，筆者親耳聽到克萊因如此闡明百科全書的概念，他打了個有趣的比方，說數(shù)學進程如同建造一座高塔；有時塔高增加的飛快，有時卻增長緩慢；這就是該修訂反思的年代。這時在外界眼光里幾乎沒有進展，然而確有進步，在夯實地基，加強厚度方面。他認為當下就是這樣的時期。最后得出結論，我們所需的是現(xiàn)存數(shù)學大廈的全景。

克萊因親自擔任的工作同他對應用數(shù)學的偏好一致：力學卷的編輯；但他著實是凌駕于整個百科全書計劃之上的精神推動力；他在自傳里說：“我在百科全書里始終強調，必須把應用數(shù)學和純粹數(shù)學視為同等重要的根本問題。可這點卻難于上青天，我們沒能發(fā)表許多文章來闡明各個不同領域中應用數(shù)學的日常作用，相反，這方面的專家更愿意只寫這些應用里純屬數(shù)學的部分。如此一來，我就確定，為了獲得應用卷（力學，物理，地球物理學，天文學）必要的背景知識，必須跟多種多樣的人面對面地談。這就促成了我去奧地利，意大利，法國，英國，荷蘭，丹麥的一些旅行”

在這樣的旅程當中，五十歲生日那天，他到了都靈，當?shù)財?shù)學家盛情款待他，筆者和妻子——人們說她是克萊因偏愛的學生——正在當?shù)厍髮W。晚宴上克萊因坐在她身邊，對她的祝賀，他輕聲回答：“哦！我妒忌你，你此刻正是多產(chǎn)的大好年齡。等到人人恭維你的時候，你就要走下坡路了。”

百科全書的構想壯麗輝煌，它的存在也意義重大。只要回想一下，在英國，到1892年為止，柯西的復變函數(shù)論（更別提黎曼了）竟然還幾近無人知曉。可整體來說，百科全書不算成功。雖說根本的數(shù)學內涵一致，但要不同國度，不同文章，論述表面看來相去萬里的課題的作者們好好合作簡直不切實際。統(tǒng)一的規(guī)劃使得百科全書計劃的架構龐大到非同尋常的地步，就算這些都好了，文章本身也經(jīng)常有所缺陷，不得不由德國數(shù)學協(xié)會的年鑒報告補充完整。我們情不自禁地想起羅杰斯·培根聲稱，要向一個有中等智力的人解釋他所知的一切——那差不多就是到他那個時代為止累積下來的所有知識——只要三到六個月的時間就夠了。一切真正有能力的數(shù)學家對現(xiàn)代數(shù)學自然也有相近的看法，一切必須的要素當然可以清晰分明地塞進短短幾卷里，用不著太厚。可惜我們只能得到這一理想的近似品，最終成形的百科全書，乍看起來粗略之極。這是日耳曼精神的典型特征，產(chǎn)生一個大而無當?shù)母拍睿僖粤钊司茨降牟磺粨系哪托氖怪兊每梢岳斫猓薪鼘嶋H，而羅曼思維則會遲疑不決，難以行動，除非形式已經(jīng)做的非常漂亮完美。

22.克萊因的對工作的熱情使他遠在百科全書的任意方面有所成就之前，就不得不把組織問題丟給別人，自己則轉向中學數(shù)學教育這一國際性問題。轉向更為實際的工作，和數(shù)學家之外的思維方式打交道，數(shù)學家的想法其實比巨石像殘留的軀干更為簡單明了。在國際數(shù)學教學委員會里，克萊因擔任主席，是委員會的三巨頭之一，此外是一位環(huán)游世界的美國人，改革運動的先鋒，大衛(wèi)·尤金·史密斯，還有秘書長，瑞士本地教授，亨利·費爾。這一國際合作計劃因大戰(zhàn)被迫終止，最終流產(chǎn)。

23.哪怕只是浮光掠影地談一談克萊因全部計劃，這里也寫不下，不過我們難以抗拒提及其中一件迄今未完的龐大工程的沖動。克萊因是它主要的推動者，那就是編輯出版高斯的作品。對克萊因而言，高斯是數(shù)學全面性的化身，在這點上，他認為高斯比他自己更適合作為效仿的典范&。然而，如果說高斯是這一理想的原型，那也被高斯的個人性情所掩飾了；數(shù)學全面性真正的傳道者是克萊因，毫不夸大地說，他可以被視作二十世紀意義上“數(shù)學科學”的創(chuàng)立者，超脫各項科目專門化和狹隘的民族主義之上。誠然，當今時代，物質文明的力量初時隱秘，此后公然地破壞文明國家團結的基石，挑起妒忌和紛爭，引發(fā)戰(zhàn)亂，克萊因卻代表著截然相反的原則。憑著他在自己國家的地位，對世界知識分子的影響，成了追求國際和平友愛的重要力量之一。尤其在于，正是克萊因復興了中世紀傳統(tǒng)——那時拉丁文是有教養(yǎng)人物的通用語言——邀請各國杰出學者前來開講座#

&幾乎每個新數(shù)學思想誕生時，克萊因就會摘引一段高斯，說明高斯早就預見到了。

#特別應該提到，龐加萊于1895年去哥廷根，用法語對數(shù)學教授和學生做了演講。

24.只消對克萊因的自傳匆匆掃一眼，就會對他頻繁提到友誼一事印象深刻。克萊因的特質是，這些友誼都直接或間接地和他的數(shù)學事業(yè)或行政組織工作有關。他著實是個別無愛好的人；有一點從心理學的觀點來看特別有趣，稀奇古怪，雖說是個德國人，雖說上天賦予他無比敏銳的聽力@，他卻從來分不清兩個音調。

@在課上，他能聽清最微弱的輕聲細語。還有，出外旅行時，他一般都睡不著，除非拿棉花或羊毛把耳朵堵上，1897年他來三一學院領受劍橋大學榮譽學位時就是這么辦的。

對克萊因而言，社交就是交流思想，這點上他同古雅典人一樣熱切。在這樣的意見交流中，他自己的思想逐步成形。由此，說克萊因從不是最早提出他自己思想的人，可能并非虛言。他缺少柯西或者康托爾那樣源源不斷的新思想，卻有超凡的力量抓住細微跡象的重要性，把它放到更大的圖景里，顯現(xiàn)出無人曾想象過的意義

我們已經(jīng)順帶談過幾段激勵克萊因成為數(shù)學家或直接影響過他的數(shù)學生涯的親密友誼。最重要的是他同李的友情，值得在此占有一席之地。談到這事，我們就要回到他1869年在柏林的居留。克萊因寫：“在柏林這段時間里，最重要的事情當然是，將近十月底的一次柏林數(shù)學協(xié)會會議上，我認識了挪威人索菲烏斯·李，我們各自的工作源頭不同，卻殊途同歸，至少也統(tǒng)一在極其相近的問題上。于是我們便天天見面，快樂地交流思想。我們如此親密，主要是因為身邊再沒有別的對我們的幾何感興趣的人。”這段時間里，他們倆主要處理線幾何學。

1870年夏天，克萊因和李前往巴黎，他們住在隔壁房間，生活在最親近的友誼結合中。他們起初打算冬天來英國，普法戰(zhàn)爭爆發(fā)攔住了他們的腳步。在這件事上，克萊因寫道：“在那時，德國幾乎不理解開闊國際科學視野、了解外國研究方向的重要性。比如，在我父親的叮囑下，我希望能從柏林教育部那里得到推薦信，收到的官方回復是：‘我們用不著法國或英國的數(shù)學。’”

他們倆在巴黎不上課，只是一起工作。然而，無疑是通過和法國年輕數(shù)學家們的接觸，特別是卡米爾·約當，這一對的注意力轉向了伽羅華的群論。約當寫的“置換論”專著那時剛剛出版，對這兩個年輕人來說，這是“七重封緘的圣書”。繼續(xù)引用克萊因的話“可我們跟達布最為親近。那時法國數(shù)學的注意力轉向了度量幾何的新進展（逆變換，常用于研究無窮圓），這在德國還沒人懂。突然看出它和我們自己線幾何學的工作有著密切聯(lián)系。。。對李來說，最有趣的可能是法國人研究的微分方程幾何化理論。把這兩個不同圈子的想法聯(lián)系起來，李就發(fā)現(xiàn)了曲面上的曲率線和極小曲線之間的關系”

克萊因為這段時期寫下了栩栩如生的描繪“1870年七月初某天，清晨我早早起床，打算出門，李還在床上，叫我來他的房間，開始向我解釋夜間閃現(xiàn)的想法，曲率線和極小曲線的關系。我一個字都沒聽懂。不管怎樣，他向我擔保庫默爾曲面上的極小曲線必然是16次代數(shù)曲線。上午我參觀國立工藝學院時，突然想到，這必定就是我的一次二次線復量理論里出現(xiàn)的那個16次曲線，沒有用李的變換方法，我立刻成功得出了幾何證明。等我下午四點回去時，李已經(jīng)出去了，我給他留了封信，寫下我的證明。”

25，戰(zhàn)爭爆發(fā)，克萊因迅速離去，把他的挪威朋友留在法國，他們繼續(xù)興致盎然地通信交流數(shù)學，卻沒想到會給李帶來什么即時后果。當李乖乖呆在巴黎時，什么事都沒有，可是，在八月的高溫下，他步行前往意大利，在楓丹白露被當成間諜逮住了，關了四個星期。直到，好吧，直到朋友達布解釋清楚，李攜帶的那些難懂的（再加上克萊因臭名昭著難認的字跡）德語信只是無害的數(shù)學為止才放出來。

26.這一事件證明，即使在普法戰(zhàn)爭期間，他和他新結交的法國朋友之間的科學友誼仍舊沒有中斷，給克萊因留下了不可磨滅的印象。或者可以說，那個時代的科學界仍舊閃耀著騎士精神。1914年大戰(zhàn)爆發(fā)時，克萊因同我們大多數(shù)人一樣，對這一事態(tài)不可能有別的想法，然而正如他1870年的實際行動一樣，他又被當時的愛國主義浪潮席卷而去。當他剛開始意識到純粹的政治性災難可能會對國際科學界關系產(chǎn)生怎樣的威脅時，在某個不幸的時刻，他失落了凝重鎮(zhèn)定的判斷力，這種判斷力本是他最鮮明的特質。有人打電話邀請他在一份文件上簽名$，照他當時的印象，文件旨在呼吁歐洲科學家們在戰(zhàn)爭中保持中立態(tài)度，他輕率地同意了這個請求。直到這份文件連同他的簽名——作為93人之一——出現(xiàn)在日報上時，他才看到了全文。此事對克萊因的國際聲望損害極大，這份文件的要旨與他一生的根本基調南轅北轍，而他竟毫不猶豫地同意把他的名字列入支持者中。他太高傲，甚至停戰(zhàn)之后，仍不肯公開收回他的簽名。他希望他親近的朋友明白并澄清真相，但對他自己，他覺得他的立場由他的一生而體現(xiàn)，并非體現(xiàn)在這個孤立又出于誤會的行動上~。

$在一封1918.12.7的親筆信中，他向我妻子解釋此事，見她在《泰晤士報》1925.7.9發(fā)表的訃告。最后，克萊因終于同意將這封信的節(jié)選發(fā)表在柏林的一家日報上，同93人中大部分人或多或少基調一致的辯白一起發(fā)表

~1919.7.15,同樣在給我妻子的信中，他如此結束：關于只能在充滿相互攻訐的主觀想法的報紙上了解的東西， 一般來說，我不能發(fā)表什么客觀理性的意見。戰(zhàn)爭年代，我所能做的只有默默工作，所剩無幾的余生里，我也將一直這樣下去。

世界將會重回正軌，有朝一日，各個國家會再度團結起來。而當下，正如曾在巴別塔發(fā)生過的事那樣，他們不再相互理解。

27.李比克萊因年長七歲，但他們的數(shù)學創(chuàng)造力差不多同時發(fā)展。李直到26歲才開始嚴肅地搞數(shù)學，而克萊因開始于20歲，他們初遇時，已經(jīng)看過彼此的數(shù)學論文三年之久了。李第一篇出版的論文是1869年，論用∞^4實線空間來表示∞^4虛線平面，而克萊因的博士論文”線性齊次坐標下一般二次型變換到正則形式”在波恩于1868年12月出版。這兩篇文章都受到了普呂克的啟發(fā)；跟李很熟的恩格勒，甚至說李自稱為普呂克的門徒，這肯定沒有。恩格勒引用的那句話，顯然是隨意寫的，而且不是李熟悉的語言，它肯定沒有恩格勒想賦予它的意義。李的原話是“從普呂克門徒的視角來看，我的推廣是很自然的。”人們很難不想到，這么隨便寫的一個普呂克的門徒，假使特指某個人，那也不是說李，而是克萊因。難以想象，李這樣的挪威人，會像恩格勒所暗示的那樣，會把自己的靈感來源全都歸之于德國人普呂克。李對自己思想所有權的捍衛(wèi)是出了名的，絕對不可能在任何意義上暗示自己的思想是二手貨，正是在這點上他跟舊友克萊因吵了起來，在變換群論第三卷的前言里，他斷然駁斥了他是克萊因門徒的想法；“不如說”他寫“反過來才貼近現(xiàn)實”。克萊因理所當然地生氣了。他慷慨大方的天性讓他不可能有前者那樣的想法，坦率健康的自信也使他不能接受后者。在我們這個世界上，誤會最終得以澄清真是罕見的事。很令人高興的是，克萊因和李的情形就是如此。克萊因在自傳和數(shù)學論文集里真切動人地談到他和李工作的交織時，毫無苦澀的口吻。我有幸可以在此添上一段出自克萊因夫人之手的描繪，她專為我這篇文章寫下的。

“在數(shù)學同個人方面，我丈夫和李都是非常親密的朋友。后來，李來萊比錫看我們，我也很喜歡他，一個強悍的北歐人，有著坦白直率的眼神和愉快的大笑，是個英雄人物，單因其在場，就令宵小之輩不敢現(xiàn)形。

后來他成了我丈夫在萊比錫的繼任者，在那兒他患上了思鄉(xiāng)病。我太理解他了！那么無拘無束的人，慣居在粗獷而美麗的北國，他哪兒受得了這充滿煙霧的大城市，高樓大廈，狹小的街道，柔弱的薩克森人？他得了憂郁癥，被送到療養(yǎng)院，但住院卻使他變得更糟了，因為他失去了自由，也無法工作。這樣，在他的苦痛與怨憤當中，他想必寫了一些惡意攻擊的話，令我丈夫既難過又不明所以。

但是很快我丈夫就明白過來，他最好的朋友病了，不能為自己的行為負責。這個判斷非但寬宏大量，充滿善意，而且也是明智的。我的丈夫決心不卷入任何論戰(zhàn)，等著事情平息下來。他沒有看錯他的友人。

一個夏天的傍晚，我們散步回家，那兒，在我們門前，坐著一個蒼白的病人。“李！”我們驚喜地喊，這兩個朋友握手，注視對方的眼睛，他們上次會面以來的所有事情都忘在腦后了。李同我們住了一天，這位親愛的朋友，他也變樣了。每當我想起他悲劇的命運時，總是不能不動感情。很快，他去世了，但在那之前，挪威人像對待國王一樣禮遇這位偉大的數(shù)學家。”

我們再補充最后一句，外貌上，克萊因非常高挑筆挺纖細，濃密的棕色鬈發(fā)，典型泛著閃光的淡藍眼睛，帶著誠摯的凝視，可惜此處的照片未能反映出來。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? W.H.Y

【W(wǎng).H.Y先生原本的附圖是下面這張，不過我私心在開頭塞了一張年輕的】