【3D數學】——透視變換與相機偏手性

書上和網上有很多透視變換的例子，但是其缺點是只討論一種情況，無法將不同的情況關聯(lián)起來，因此整理一篇文章，希望可以把透視變換的相關東西都聯(lián)系起來。

透視變換

透視變換，就是用一個矩陣（透視變換矩陣）將整個場景轉換到齊次裁剪空間之中。所謂的齊次裁剪空間，是一個特殊的空間，它的作用就是讓渲染管線可以對這個空間中一定范圍內的物體保留，超出范圍的物體剔除，如果有截斷表面的情況，還要生成新的頂點數據。
齊次裁剪空間通常有兩種，兩種齊次裁剪空間的x和y坐標范圍都是[-1,1]，但是z坐標的范圍不同，一種是[0,1]，一種是[-1,1]。很多書上，網上的教程都會說DX的齊次裁剪空間是[0,1]的那種，而OpenGL的裁剪空間是[-1,1]的那種。不過到底事實是什么樣的，我們還得試過之后才知道。
為了在計算機中模擬人眼看東西的狀態(tài)，我們想出了這樣的一個模型：把人眼固定在相機空間的原點，然后從原點定義一個四棱錐，表示人眼可以看到的范圍，就像下面這張圖一樣：

這個四棱錐就被稱為視景體。除此之外，對于離眼睛太近的物體我們看不到，太遠的物體同樣也看不到，所以我們可以選取一定范圍內的物體顯示出來，這樣可以節(jié)省渲染時間。那么多近的物體不顯示，多遠的物體不顯示呢？這個沒有定論，經常使用n和f表示這兩個距離，比n近的物體不顯示，比f還遠的物體不顯示。這兩個面就把視景體截斷成一個四棱臺，這個四棱臺里的物體會被繪制，而在外面的不會。

接著，我們就可以來推導這個透視變換矩陣了。此時我們是在相機中間中，并且假設相機空間是一個右手坐標系。

水平視場角

下圖是從視景體的上方垂直看下去的圖，就像是三視圖一樣。圖中，三角形的頂邊就是投影平面。

參數說明：為了計算方便，我們取特殊的投影平面，它的x坐標區(qū)間是[-1,1]，這個坐標區(qū)間剛好可以直接當成齊次裁剪空間的坐標。如圖中所示，投影平面距離原點的距離為e，注意這是距離，不是投影平面的z坐標，這個e有時也被稱為相機的焦距。這樣，左錐面和右錐面形成的夾角為xfov，稱為水平視場角。

水平視場角，英文名是horizontal angle of view，但是通常，我們會把視場角和視野混用，視野的英文是field of view，所以我就用xfov（x-axis field of view）來表示水平視場角。

可以看到，距離e滿足 $e = \frac{1}{\tan(\frac{xfov}{2})}$
再來看看垂直方向上：

垂直方向與水平方向類似，投影平面的縱橫比（寬除以高）用aspect表示，這個比值通常是16：9，就是我們顯示器的寬高比。所以，投影平面的y坐標范圍為[-1/aspect, 1/aspect]。如圖中所示，垂直視場角 $yfov = 2\arctan(\frac{\frac{1}{aspect}}{e})$

計算投影后的x坐標

原始的頂點是v，投影之后的頂點是v'，根據相似三角形原理，我們可以列出下面的等式：

求解x'得：

接著計算y'的值。

如上圖所示，同樣使用相似三角形的公式來計算：

于是

到這里，y'的計算還沒有結束，最關鍵的一步來了！上述的推導成立的前提是，y的投影面是[-1/aspect, 1/aspect]，而齊次裁剪空間中，y的取值范圍必須是[-1,1]，所以，最后一步是，將上述計算出來的y'值除以1/aspect，得出的結果才是齊次裁剪空間中真正的y值：

轉換之前的坐標記為(x, y, z, 1)，轉換之后的坐標就是(x', y', z', 1)，將之間計算的結果代入得到轉換之后的坐標是

在齊次坐標系統(tǒng)中，點(x, y, z, 1)和點(cx, cy, cz, c)表示的是同一個點，如果這個c不是0的話。利用這個性質，我們可以對上述坐標乘以一個z得到如下的形式

列出轉換矩陣表示這個轉換過程

轉換矩陣中有四個參數沒有確定，我們需要把這四個參數解出來。先來思考一下，對z進行投影，這和x,y坐標有沒有關系？顯然沒關系，所以m1和m2的值肯定是0。接下來考慮m3和m4，我們可以列出下面的方程

兩邊除以z得到

接著，我們說過齊次裁剪空間的z坐標范圍有兩種，一個是[0,1]，一個是[-1,1]，我們先計算[0,1]。這種轉換，近裁剪面（n）轉換到0，遠裁剪面（f）轉換到1，于是我們將坐標代入（注意我們所說的裁剪面n和f是距離）得到方程組

解方程組得到的結果是

將結果代入到轉換矩陣里，我們就能得到最終的轉換矩陣：

投影矩陣有很多變種，嗯，多到頭暈的變種。比如，之前我們?yōu)榱朔奖阌嬎悖瑢D換后的坐標值乘以了一個z得到的

顯然，我可以不乘z，如果我乘以一個-z得到的結果會是什么呢？

用這個結果去推導投影矩陣，得到的結果是：

很明顯，P2 = -P1。這兩個矩陣效果都一樣嗎？事實是，不一樣！P1是一個無效的透視矩陣，P2才是有效的矩陣。這里涉及到裁剪的相關原理。

透視矩陣會把所有的頂點都轉換到齊次裁剪空間中，為啥叫齊次裁剪空間？因為在這個空間中，會發(fā)生裁剪的操作。為啥是齊次？因為這個空間中的點，w坐標不是1，而是z或者-z。裁剪空間要做的第一件事，就是把w坐標小于0的頂點都剔除。而我們的z坐標，是一個小于0的值！所以，如果你用P1作為透視矩陣，那么你無法看到任何東西，因為它們都被剔除掉了。不信？試試~

推導這么復雜，寫成代碼就很簡單了，只要把結果賦值就好了。

float cFov = 1.f / tanf(xfov / 2);
result.m[0][0] = cFov;
result.m[1][1] = aspect * cFov;
result.m[2][3] = -1;
result.m[2][2] = far / (near - far);
result.m[3][2] = near * far / (near - far);

代碼的矩陣是P2矩陣的轉置，因為這種數據格式傳遞給渲染管線的時候計算方便。運行測試場景，得到的結果是：

另一個齊次裁剪空間

之前我們首先的齊次裁剪空間的z范圍是[0,1]，那么如果它的范圍是[-1,1]，又會是什么結果呢？下面我們來嘗試推導[-1,1]的投影矩陣，這個不難，只有最后轉換z坐標的時候有區(qū)別，我們以乘以-z為基礎來推導。
$\begin{bmatrix}\cot({\frac{xfov}{2}}) && 0 && 0 && 0\\ 0 && aspect·(\cot{\frac{xfov}{2}}) && 0 && 0\\ m_1 && m_2 && m_3 && m_4\\ 0 && 0 && -1 && 0\end{bmatrix}·\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x·(\cot{\frac{xfov}{2}})\\ y·aspect·(\cot{\frac{xfov}{2}})\\ -z·z'\\ -z \end{bmatrix}$
首先，m1和m2還是0，因為x坐標和y坐標對z投影之后的坐標值沒有影響。然后，列出z坐標轉換公式：
$m_3·z + m_4 = -z·z'$
兩邊除以-z
$-m_3 - \frac{m_4}{z} = z'$
現在，我們要把近裁剪面轉換成-1，遠裁剪面轉換成1，列出方程：
$\begin{cases} -m_3 + \frac{m_4}{n} = -1\\ -m_3 + \frac{m_4}{f} = 1 \end{cases}$
求得
$\begin{cases} m_3 = \frac{n + f}{n - f}\\ m_4 = \frac{2nf}{n - f} \end{cases}$
最后的轉換矩陣是：
$\begin{bmatrix}\cot({\frac{xfov}{2}}) && 0 && 0 && 0\\ 0 && aspect·(\cot{\frac{xfov}{2}}) && 0 && 0\\ 0 && 0 && \frac{n + f}{n - f} && \frac{2nf}{n - f}\\ 0 && 0 && -1 && 0\end{bmatrix}$
再用代碼實現：

float cFov = 1.f / tanf(xfov / 2);
result.m[0][0] = cFov;
result.m[1][1] = aspect * cFov;
result.m[2][3] = -1;
result.m[2][2] = (near + far) / (near - far);
result.m[3][2] = (2 * near * far) / (near - far);

應用這個投影矩陣，得到的結果是：

沒有半毛錢區(qū)別！

上面兩張圖是OpenGL下運行的結果，下面兩張圖是D3D12下運行的結果：

D3D12 z區(qū)間為[0,1]

D3D12 z區(qū)間為[-1,1]

可以看到，上面兩張圖也沒啥區(qū)別。而對比OpenGL和D3D12的圖會發(fā)現，OpenGL中顯示的物體稍微偏上了一點，為什么會產生這種效果，筆者也不清楚。

如果不用fov，還能用什么參數計算投影矩陣？

在《3D游戲與計算機圖形學中的數學方法》一書和《Real Time Rendering 4th Edition》一書中，提供了一種不用fov的方法。這個方法是這樣的：
首先確定投影平面的位置，令投影平面正好位于近裁剪面處，它與觀察點之間的距離為n，所以其z坐標就是-n。然后，這個投影平面的x范圍是[l, r]，y范圍是[b, t]。先通過相似原理列出一個點(x, y, z, 1)投影到上述投影平面上之后的x，y坐標，令投影后的坐標為(x', y', z', 1)：
$\frac{x'}{x} = \frac{z'}{z}=\frac{-n}{z}$
$x' = (-n)\frac{x}{z}$
同理
$y'=(-n)\frac{y}{z}$
現在，我們來計算假如投影平面上有一點(x', y')，要將其坐標映射到[-1,1]區(qū)間，計算公式是什么樣的？
因為投影平面上x坐標取值范圍是[l, r]，我們可以通過x'到l的距離占(r - l)的比例來映射:
$\frac{x - l}{r - l} \quad \text{x到l的距離占總長度之比，它的范圍是[0,1]}$
要將這個范圍轉換到[-1,1]，只需要將這個范圍翻倍，然后左移一個單位的距離就可以，即：
$x'' = \frac{x' - l}{r- l}·2 - 1$
同理
$y'' = \frac{y' - b}{t- b}·2 - 1$
將x'和y'的式子代入到x''和y''的公式中
$x'' = \frac{(-n)\frac{x}{z} - l}{r- l}·2 - 1=\frac{(-2n)\frac{x}{z} - 2l}{r- l} - 1=\frac{-2n}{r-l}·\frac{x}{z}-\frac{2l}{r-l}-1=\frac{2n}{r-l}(-\frac{x}{z})-\frac{r+l}{r-l}$
$y'' = \frac{2n}{t-b}(-\frac{y}{z})-\frac{t+b}{t-b}$
轉換后的點為
$\begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l}(-\frac{x}{z})-\frac{r+l}{r-l} \\ \frac{2n}{t-b}(-\frac{y}{z})-\frac{t+b}{t-b} \\ z''\\ 1 \end{bmatrix}$
老規(guī)矩，乘以-z
$\begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l}(x)+\frac{r+l}{r-l}z \\ \frac{2n}{t-b}(y)+\frac{t+b}{t-b}z \\ (-z)·z''\\ -z \end{bmatrix}$
列出矩陣
$\begin{bmatrix}\frac{2n}{r-l} && 0 && \frac{r+l}{r-l} && 0\\ 0 && \frac{2n}{t-b} && \frac{t+b}{t-b} && 0\\ 0 && 0 && m_3 && m_4\\ 0 && 0 && -1 && 0\end{bmatrix}·\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l}(x)+\frac{r+l}{r-l}z \\ \frac{2n}{t-b}(y)+\frac{t+b}{t-b}z \\ (-z)·z''\\ -z \end{bmatrix}$
m3和m4的計算和上面一樣，我們直接寫出結果就行。對[0,1]區(qū)間是
$\begin{bmatrix}\frac{2n}{r-l} && 0 && \frac{r+l}{r-l} && 0\\ 0 && \frac{2n}{t-b} && \frac{t+b}{t-b} && 0\\ 0 && 0 && \frac{f}{n-f} && \frac{nf}{n - f}\\ 0 && 0 && -1 && 0\end{bmatrix}$
對[-1,1]區(qū)間是
$\begin{bmatrix}\frac{2n}{r-l} && 0 && \frac{r+l}{r-l} && 0\\ 0 && \frac{2n}{t-b} && \frac{t+b}{t-b} && 0\\ 0 && 0 && \frac{n + f}{n - f} && \frac{2nf}{n - f}\\ 0 && 0 && -1 && 0\end{bmatrix}$
接著我們用代碼來實現這個投影矩陣：

// 注意矩陣要設置成我們推導結果的轉置。
void BuildPerspectiveFovRHMatrix(Matrix4f& result, const float l, const float r, float b, float t, const float n, const float f)
{
    result.Set(0);

    result.m[0][0] = 2 * n / (r - l);
    result.m[1][1] = 2 * n / (t - b);
    result.m[2][0] = (r + l) / (r - l);
    result.m[2][1] = (t + b) / (t - b);
    if (g_DepthClipSpace == DepthClipSpace::kDepthClipZeroToOne)
    {
        result.m[2][2] = f / (n - f);
        result.m[3][2] = n * f / (n - f);
    }
    else /* g_DepthClipSpace == DepthClipSpace::kDepthClipNegativeOneToOne */
    {
        result.m[2][2] = (n + f) / (n - f);
        result.m[3][2] = (2 * n * f) / (n - f);
    }

    return;
}

(fov)式投影矩陣和(l,r,b,t)式投影矩陣的聯(lián)系

這兩個的關系非常明確，把我們推導fov矩陣時假設的參數代入就行了。l等于-1，r等于1，b等于-1/aspect，t等于1/aspect。代入之后，(l,r,b,t)式矩陣就變成
$\begin{bmatrix}n && 0 && 0 && 0\\ 0 && n·aspect && 0 && 0\\ 0 && 0 && \frac{f}{n-f} && \frac{nf}{n - f}\\ 0 && 0 && -1 && 0\end{bmatrix}$
而這里的n是投影平面到原點的距離，也就是說
$n=\cot(\frac{xfov}{2})$
于是(l,r,b,t)式矩陣就和(fov)式矩陣畫上等號了。如果n = 0.1，那么這個（l,r,b,t）式矩陣的xfov值就是168.58度。來看看運行效果：

OpenGL z范圍[0, 1]

OpenGL z范圍[-1, 1]

D3D12 z范圍[0, 1]

D3D12 z范圍[-1, 1]

OpenGL的顯示還是比D3D12偏上一些，整個物體也變小很多，因為我們這次的xfov值太大了。

到這里，我們就可以回答本節(jié)最開始的問題了，對DX和OpenGL渲染管線來說，不存在裁剪空間[0,1]還是[-1,1]的區(qū)別，而之所以印象中有這區(qū)別，是因為在寫DX和OpenGL代碼時，所用的數學庫一個是[0,1]，一個是[-1,1]。

如果相機空間是左手坐標系，那怎么辦？

從最初的推理開始，左手坐標系改變了什么？投影平面的z坐標改變了，變成了 $\cot\frac{xfov}{2}$ 隨之而來的x和y坐標的表達式也變了 $x'=\frac{x}{z}(\cot{\frac{xfov}{2}})$
$y'=\frac{y}{z}(\cot{\frac{xfov}{2}})·aspect$
緊接著，我們不用再乘以-z，列出的矩陣也變了
$\begin{bmatrix}\cot({\frac{xfov}{2}}) && 0 && 0 && 0\\ 0 && aspect·(\cot{\frac{xfov}{2}}) && 0 && 0\\ 0 && 0 && m_3 && m_4\\ 0 && 0 && 1 && 0\end{bmatrix}·\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x·(\cot{\frac{xfov}{2}})\\ y·aspect·(\cot{\frac{xfov}{2}})\\ z·z'\\ z \end{bmatrix}$
求解m3和m4的方程也變了
$m_3 + \frac{m_4}{z} = z'$
n和f坐標地改變，導致代入方程的數據也變了，先計算z范圍是[0,1]的轉換矩陣
$\begin{cases} m_3 + \frac{m_4}{n} = 0\\ m_3 + \frac{m_4}{f} = 1 \end{cases}$
求得的結果是
$\begin{cases} m_3 = -\frac{f}{n - f}\\ m_4 = \frac{nf}{n - f} \end{cases}$
最終轉換矩陣為
$\begin{bmatrix}\cot({\frac{xfov}{2}}) && 0 && 0 && 0\\ 0 && aspect·(\cot{\frac{xfov}{2}}) && 0 && 0\\ 0 && 0 && -\frac{f}{n - f} && \frac{nf}{n - f}\\ 0 && 0 && 1 && 0\end{bmatrix}$
計算z范圍是[-1,1]轉換矩陣的方程是
$\begin{cases} m_3 + \frac{m_4}{n} = -1\\ m_3 + \frac{m_4}{f} = 1 \end{cases}$
解的m3和m4的值為
$\begin{cases} m_3 = -\frac{n+f}{n - f}\\ m_4 = \frac{2nf}{n - f} \end{cases}$
最終的投影矩陣是
$\begin{bmatrix}\cot({\frac{xfov}{2}}) && 0 && 0 && 0\\ 0 && aspect·(\cot{\frac{xfov}{2}}) && 0 && 0\\ 0 && 0 && -\frac{n+f}{n - f} && \frac{2nf}{n - f}\\ 0 && 0 && 1 && 0\end{bmatrix}$
編寫代碼實現這個投影矩陣

// 還是要注意我們要按照轉置的思路去設置
void BuildPerspectiveFovLHMatrix(Matrix4f& result, const float xfov, const float aspect, const float near, const float far)
{
    result.Set(0);

    float cFov = 1.f / tanf(xfov / 2.f);
    result.m[0][0] = cFov;
    result.m[1][1] = aspect * cFov;
    result.m[2][3] = 1.0f;

    if (g_DepthClipSpace == DepthClipSpace::kDepthClipZeroToOne)
    {
        result.m[2][2] = -far / (near - far);
        result.m[3][2] = near * far / (near - far);
    }
    else
    {
        result.m[2][2] = -(far + near) / (near - far);
        result.m[3][2] = (2 * near * far) / (near - far);
    }

    return;
}

修改相應的代碼查看效果

lefthand_OpenGL_zero_to_one

lefthand_OpenGL_negative_one_to_one

lefthand_D3D12_zero_to_one

lefthand_D3D12_negative_one_to_one

不用看盒子的顯示狀況，只需看顯示的位置就可以了。因為這個場景是從blender導出的，而blender是右手坐標系的，所以它給出的頂點法線都是以右手坐標系給出的，我在這里做了一些小手腳，把攝像機放在了原點，在它背面放了一個盒子。用了一個左手坐標系的投影矩陣后，后面的盒子就顯示出來了。可以看到，位置和右手坐標系及對應的OpenGL和D3D12圖片是完全一致的，說明我們的推導沒有問題。

那么，不用xfov的投影矩陣怎么辦呢？

嗯，懶了，留給讀者推導吧。

補充說明

本文用于測試的程序是我在github上的Panda項目。項目的使用方法是：
（1）首先你得有一個環(huán)境，Win10+VS2017+CMake+Git+Git-Lfs+github賬號
（2）克隆項目到本地（克隆過程請耐心等待，原本github就不快，而且我項目里還有大文件（git-lfs更加慢得令人發(fā)指），100M以上的那種），逐個運行build_assimp.bat，build_crossguid.bat，build_libpng.bat，build_opengex.bat，build_zlib.bat
（3）運行build.bat
（4）打開build文件夾下，Panda.sln解決方案。
（5）運行EditorD3D或是EditorOGL。
投影矩陣的生成函數在Numerical.cpp文件中，使用的地方在GraphicsManager.cpp的CalculateCameraMatrix()函數中。模型加載的地方是EditorLogic.cpp的Initialize()函數。上面用到的模型文件是article.dae和article_lefthand.dae，模型文件在根目錄/Asset/Scene文件夾中，你可以隨意嘗試加載文件看效果。如果有什么困難，請在下方留言。

參考資料

《3D游戲與計算機圖形學中的數學方法》
《Real-Time Render 4th Edition》
《3D Graphics for Game Programming》

最后編輯于：2020.07.06 09:38:04

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透視變換

水平視場角

計算投影后的x坐標

另一個齊次裁剪空間

如果不用fov，還能用什么參數計算投影矩陣？

(fov)式投影矩陣和(l,r,b,t)式投影矩陣的聯(lián)系

如果相機空間是左手坐標系，那怎么辦？

那么，不用xfov的投影矩陣怎么辦呢？

補充說明

參考資料

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計算投影后的x坐標

另一個齊次裁剪空間

如果不用fov，還能用什么參數計算投影矩陣？

(fov)式投影矩陣和(l,r,b,t)式投影矩陣的聯(lián)系

如果相機空間是左手坐標系，那怎么辦？

那么，不用xfov的投影矩陣怎么辦呢？

補充說明

參考資料

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