半加器、全加器是組合電路中的基本元器件，也是CPU中處理加法運算的核心，理解、掌握并熟練應用是硬件課程的最基本要求。本文簡單介紹半加器、全加器，重點對如何構造高效率的加法器進行分析。
半加器和全加器
所謂半加器，是指對兩位二進制數實施加法操作的元器件。其真值表、電路圖和邏輯符號分別如下圖所示：
根據真值表，其輸入輸出之間的對應關系為：
S = A!B + !AB (!號表示邏輯非)
C = AB
從半加器的真值表、電路圖可以看出，半加器只能對單個二進制數進行加法操作，只有兩個輸入，無法接受低位的進位，因此稱為半加器。
對此，全加器則解決了這個問題，全加器有三個輸入（包括來自低位的進位），兩個輸出，其對應的真值表、電路圖和邏輯符號如下所示：
加法器的構造
有了全加器，構造加法器就非常容易了，假設有A3A2A1A0和B3B2B1B0，利用全加器構造A3A2A1A0+B3B2B1B0的串行進位加法器電路圖如下圖所示：
圖中的C-1=0，因為已是最低位，沒有進位。這種串聯方法只是完成了基本功能，從效率上則完全不可行。
分析：假設全加器中每個元器件的時延為t，則全加器的時延為2t（見全加器電路圖），對于4位加法器，按照這種串聯方法，加法器構造方法1中圖中最右邊（最低位）全加器計算完成后，才能計算右二個全加器，以此類推。因此，4位加法器至少需要4*2t=8t的時延；如果是32位，則是64t的時延。顯然，這種加法器的效率與參與計算的二進數長度成正比，數越長，時延越長。在現代計算機中，是不可能采用如此低效的加法器的。
那如何做呢？其實方法挺簡單的，只需要把Ci和參與運算的兩個4位二進制數之間的關系梳理清楚就行了。直接用代入法展開得：
設Gi= AiBi, Pi = !AiBi + Ai!Bi
C0 = Cin
C1=G0 + P0·C0
C2=G1 + P1·C1 = G1 + P1·G0 + P1·P0 ·C0
C3=G2 + P2·C2 = G2 + P2·G1 + P2·P1·G0 + ·P1·P0·C0
C4=G3 + P3·C3 = G3 + P3·G2 + P3·P2·G1 + P3·P2·P1·G0 + P3·P2·P1·P0·C0
Cout=C4
在這個關系式里，直接列出了4位二進制加法的最終進位，不用等待低位計算完了，再計算高位，而是直接進行計算，最終得到的超前進位加法器電路圖如下所示：
假設超前進位加法器中的每個門時延是t，對于4位加法，最多經過4t的時延，而且，即使增加更多的位數，其時延也是4t。
對比串行進位加法器和超前進位加法器，前者線路簡單，時延與參與計算的二進制串長度成正比，而后者則是線路復雜，時延是固定值。通常，對于32的二進制串，可以對其進行分組，每8位一組，組內加法用超前進位加法器，組間進位則用串行進位。采用這種折中方法，既保證了效率，又降低了內部線路復雜度。
