最近翻到一個(gè)非常棒講解線性代數(shù)本質(zhì)的視頻，而且居然是在B站翻到的。掃過一遍視頻猶如醍醐灌頂，過程中不停發(fā)出“臥槽”的贊嘆。很久沒有碰到那么好的教程里。與我看過所有關(guān)于線性代數(shù)的教程不同，作者在這套視頻中沒有以定理和公式開始，而是完全從二維和三維世界里的動(dòng)畫來描述線性代數(shù)中的基本概念，弱化代數(shù)層面，而加強(qiáng)觀眾在幾何層面上的理解。演示動(dòng)畫是用編程實(shí)現(xiàn)的，十分形象，讓人過目不忘，作者還慷慨地給出了源代碼，真是業(yè)界良心。 現(xiàn)在我開始刷第二遍視頻，在記錄過程中我會(huì)補(bǔ)充一些自己的理解和別的教材給出的解釋。畢竟作者也說過光理解本質(zhì)還是不夠，線性代數(shù)包羅萬象，還是需要更加全面的理解，盡管會(huì)相對(duì)枯燥。
向量是什么 What the f***?exactly is a vector?
向量是線性代數(shù)中最重要和最基本的概念之一。除了在線性代數(shù)的范疇里，他在不同領(lǐng)域里還有不同的定義，可以很抽象，也可以很形象，為了不影響其他抽象概念的理解，我們需要先對(duì)向量有一個(gè)基本共識(shí)。總的來說，作者認(rèn)為可以從三個(gè)人角度來理解向量：
1. 物理學(xué)家的角度： 向量是空間中的箭頭，由長(zhǎng)度(Length)和方向(Direction)來決定。這個(gè)箭頭沒有固定的起點(diǎn)，只要保證長(zhǎng)度和方向一樣，不然它處于空間中的哪個(gè)位置都是同一個(gè)向量。
2. 計(jì)算機(jī)學(xué)家的角度：向量是一個(gè)有序的數(shù)字列表（an ordered list of numbers)。計(jì)算機(jī)學(xué)家用向量來對(duì)一些物體的屬性進(jìn)行建模，比如我的身高是177，體重145，那么就可以用一個(gè)二維的向量對(duì)我這兩個(gè)屬性進(jìn)行建模， 即 [177, 145]。需要注意的是，一旦建模后，屬性的排列順序不能改變，一旦改變了就是另外一個(gè)向量了。[145, 177] 會(huì)被當(dāng)成另外一個(gè)向量，即身高145，體重177的人（這才不是我的真實(shí)數(shù)據(jù)呢啊呸(╯°Д°)╯︵ ┻━┻），由此看出順序（order）在計(jì)算機(jī)學(xué)家的眼中多么重要啊。
3.?數(shù)學(xué)家的角度：在我看來，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家屬于同一類人：他們都不能好好說人話。他們善于抽象，抽象的深度和廣度是吾等凡人跟不上的。就向量而言，數(shù)學(xué)家認(rèn)為它可以是anything，只要保證兩個(gè)向量相加是有意義的，而且一個(gè)數(shù)字和向量相乘也是有意義的即可。聽不懂吧，我也聽不懂，所以我們最后再來回顧這個(gè)角度。現(xiàn)在你只要記得數(shù)學(xué)家告訴你：向量相加和數(shù)字與向量相乘是兩個(gè)非常重要的操作。
在線性代數(shù)里的向量指什么？
在這個(gè)教程中，當(dāng)我們提到向量的時(shí)候，我們把它想象成一個(gè)空間中的箭頭，有方向和長(zhǎng)度。與上面不同的是，這個(gè)箭頭的起點(diǎn)是固定的，都在坐標(biāo)系上的原點(diǎn)上。而向量箭頭的終點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)，這個(gè)坐標(biāo)和向量是一一對(duì)應(yīng)的。從坐標(biāo)理解，每個(gè)維度都移動(dòng)相應(yīng)的步數(shù)，得到一個(gè)總的結(jié)果即為向量加法的結(jié)果。
向量加法 - 運(yùn)動(dòng)（movement）
每個(gè)向量代表著一種特定的運(yùn)動(dòng)方式（movement），考慮一維情況（即數(shù)軸），2 + 5 就是先向數(shù)軸右邊移動(dòng)兩步得到2，再向右移動(dòng)五步得到結(jié)果7。在二維中，向量加法的結(jié)果是把其中一個(gè)向量移動(dòng)到另一個(gè)向量的終點(diǎn)，這樣所指向的終點(diǎn)即新向量的坐標(biāo)。這樣相當(dāng)于定義了一種新的運(yùn)動(dòng)，直接從原點(diǎn)到這個(gè)新坐標(biāo)即可。
向量數(shù)乘 - 伸縮（scaling）
一個(gè)向量乘以一個(gè)數(shù)字a，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼膢a|倍，方向由a的符號(hào)決定，如果a是負(fù)數(shù)，向量的方向沿著原點(diǎn)翻轉(zhuǎn)。
Summary: 向量和坐標(biāo)
物理學(xué)家和計(jì)算機(jī)學(xué)家對(duì)于向量的理解都是從自己專業(yè)領(lǐng)域里的應(yīng)用出發(fā)，而作者認(rèn)為我們應(yīng)該把兩個(gè)觀點(diǎn)結(jié)合起來，不用去在意誰先誰后，而是理解這兩個(gè)觀點(diǎn)如何相互轉(zhuǎn)化，這樣在處理數(shù)據(jù)時(shí)，我們就能對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行形象分析和可視化理解，進(jìn)而從中找到規(guī)律，而不是一堆雜亂無章的數(shù)字。
