向量是線性代數最基礎、最基本的概念之一，要深入理解線性代數的本質，首先就要搞清楚向量到底是什么？
向量之所以讓人迷糊，是因為我們在物理、數學，以及計算機等許多地方都見過它，但又沒有徹底弄懂，以至于似是而非。
1. 物理學中的向量
物理學中的向量：空間中的箭頭，由長度和它所指的方向決定
而且，在物理學中，你可以在空間中自由地移動向量，只要保持向量的長度和所指的方向不變，向量便保持不變，即移動前后的向量是同一個向量！
2. 計算機專業中的向量
計算機中向量是有序的列表
例如我們要對房價建模，
我們可以將房屋面積和房價排在一起形成向量，假定向量中的第 1 個元素用來表示房屋面積，第 2 個元素用來表示價格。顯然，這是一個有序的列表，不能隨意交換向量中元素的位置。
因此，站在計算機專業的角度來看，向量不過是列表或數組的別稱罷了。
3. 數學中的向量
數學中的向量綜合了不同專業對向量的理解。抽象意義上，數學中的向量可以是任意的東西，只要可以對它們進行加法和數乘運算即可。這也意味著，加法和數乘是向量最底層的運算。一切復雜和抽象的東西歸根結底都源自于這 2 種運算。
和物理學中的向量一樣，線性代數中的向量也是有大小和方向的（物理學觀點），但必須特別注意的是：線性代數中的向量不能像物理學中的向量那樣隨意挪動。線性代數中的向量全部都是起點固定在原點的向量!
3.1 坐標
以大家最熟悉的二維平面直角坐標系為例，線性代數中，向量的坐標由一對數字構成。這一對數字指示了如何從向量的起點（即坐標原點）出發到達向量的終點。第 1 個數字 -2 告訴我們從原點出發沿 x 軸負方向移動 2 個單位的距離，第 2 個數字 3 告訴我們從原點出發沿 y 軸正方向移動 3 個單位的距離，然后我們就能到達向量的終點了。
顯然，線性代數中的向量也是一個有序的列表（計算機觀點）。例如，在上面的例子中，第 1 個數字表示從向量起點（原點）沿 x 軸移動的距離，第 2 個數字表示從向量起點（原點）沿 y 軸移動的距離，這 2 個數字當然是不能隨意交換位置的。
為了將向量與坐標區分開來，我們通常將向量豎著寫，而將坐標橫著寫。但無論如何，向量和坐標是有著一一對應的關系的。
3.2 向量加法
線性代數中向量的加法運算和物理學中向量的加法運算是一樣的。
例如，要計算 v + w，
我們平移其中的任意一個向量（例如 w），將 w 的起點與 v 的終點重合，則平移后 w 的終點便是 v + w 的終點，而 v+ w 的起點也是 v 的起點（即原點）。前面，咪博士提到線性代數中的向量，都是起點固定在原點，不能隨意挪動的。但是，在這里，我們卻將向量 w 平移了。這確實是一個例外，而且可能也是線性代數中唯一允許向量離開原點的情形了。
但是，咪博士這里要講的重點不是向量如何做加法運算，而是為什么向量的加法運算要定義成這樣？
從剛才對坐標的解釋，我們可以很自然地將向量看成是對某種運動的描述（從原點出發）。向量 v 和 w 分別描述了不同的運動， 向量加法想表達的意思是：v + w 描述的運動等價于 v 和 w 這 2 種運動綜合的結果。即，v + w 描述的運動相當于先執行 v 描述的運動，再執行 w 描述的運動的結果。當然，你也可以先執行 w 的運動，再執行 v 的運動。最終結果都是一樣的，無論向執行 v，還是先執行 w，最終都等于 v+ w 的運動。
這樣理解起來比較抽象，咪博士還是為大家舉一個具體的例子吧。
假定我們有 2 個向量 [ 1 2 ] 和 [3 -1] 。現在我們要對它們進行加法運算。
按照向量加法運算的計算方法，我們平移向量 [ 3 -1 ] ，讓它的起點與向量 [ 1 2 ] 的終點重合。
如果將向量看看成是某種形式的運動，那么 2 個向量相加就是相繼執行向量對應的運動。最終向量相加的結果所表示的運動，就相當于，先沿 x 軸正方向移動 1 + 3 個單位，再沿 y 軸正方向移動 2 + (-1) 個單位。仔細想想，相加后的向量是不是恰好就是從原點出發，終點落在移動后的那個向量的終點上？
3.3 向量數乘
向量的數乘運算比加法運算要容易得多。向量的數乘運算就是對向量進行縮放，等于將向量中的各個元素（分量）分別進行縮放。現在，如果從向量坐標和運動的觀點出發，是不是很容易理解了呢？
總之，要深入理解線性代數的本質，我們就需要學會靈活地在向量的不同解釋之間相互轉換。
原文鏈接：http://www.ipaomi.com/2017/11/17/線性代數的本質與幾何意義-01-向量是什么？3blue1brown-咪博/
