問題描述：
有個高度為10級臺階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上1級或者2級臺階。要到達最上面問一共有多少種走法？
問題分析：
解法一：窮舉法（該方法往往不是最有效，但往往是最直接的解決問題的方法）
解法二：動態規劃法
目標要想找到到達從0階到10階，那么最后的一步要么是從第8階到第10階，要么是從第9階到第10階，于是將問題轉化為兩部分之和：
（1） 從0階到第8階的方法
（2） 從0階到第9階的方法
我們可以用公式表達為F（0,10）= F（0,9）+ F（0,8）
F（0,N）表示從0階到第N階的方法
同樣道理：F（0,9） = F（0,8）+ F（0,7）
于是存在如下遞推關系：
F（0,N） = F（0,N-1）+ F（0,N-2） （N > 2）
F（0,1）= 1
F（0,2）= 2
這和斐波那契數列的遞推關系是類似的，于是代碼實現如下（python語言）：
#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-
def compute1(N):
'''
遞歸實現
:param N: 第N階臺階
:return:
'''
if N<= 0:
return "parameter invalid."
elif N == 1:
return 1
elif N == 2:
return 2
else:
return compute1(N- 1) + compute1(N - 2)
def compute2(N):
'''
非遞歸實現
:param N: 第N階臺階
:return: c 從第0階到第N階總的方法
'''
if N <= 0:
return "parameter invalid."
elif N == 1:
return 1
elif N == 2:
return 2
else:
a, b, c = 1, 2, 0
while N >2:
c = a + b
a, b = b, c
N -= 1
return c
if __name__ == "__main__":
print compute1(-5)
print compute2(5)
上面思考問題是從最后一步有幾種方法的角度入手
那么如果從第一步有幾種方法的角度入手是不是也有相似的遞推關系呢？我們來分析下：
第一步存在兩種方法：（1）一個臺階，還剩 9個（2）2個臺階，還剩8個
那么從第0階到第10階的方法 = 剩余9個臺階的方法（從第1階到第10階的方法） + 剩余8個臺階的方法（從第2階到第10階的方法）
我們用公式表示為：
G（0,10） = G（1,10） + G（2,10）
G（N,10）表示從第N階到第10階的方法數。
同樣：
G（1,10） = G（2,10） + G（3,10）
G（2,10） = G（3,10） + G（4,10）
于是存在如下遞推關系：
G（N,10） = G（N + 1,10） + G（N + 2,10） （N + 2 <= 9）
G（8,10） = 2
G（9,10） = 1
代碼實現如下（python語言）：
#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-
def compute1(N, M):
'''
遞歸實現
:param N: 第N階臺階
:param M: 總的臺階數
:return:
'''
if N < 0 or N >= M:
return "parameter invalid."
elif N == M- 1 :
return 1
elif N == M- 2:
return 2
else:
return compute1(N+ 1, M) + compute1(N + 2, M)
def compute2(N, M):
'''
非遞歸實現
:param N: 第N階臺階
:param M: 總的臺階數
:return:
'''
if N < 0 or N >= M:
return "parameter invalid."
elif N == M- 1 :
return 1
elif N == M- 2:
return 2
else:
a, b, c = 1, 2, 0
while N <M - 2:
c = a + b
a, b = b, c
N += 1
return c
if __name__ == "__main__":
print compute1(0, 5)
print compute2(0, 5)
上述兩種方法分別稱為前向動態規劃方法（順序解法）和后向動態規劃方法（逆序解法）。
