每一個階段人總會遇見一些難以解決的問題，這些問題無法依靠現有的工具解決，于是我們發明了新的工具，輕而易舉的解決。新的工具擴大人們對數學的認知問題，也就催生出新的概念來描述新的數學規律。當概念擴大之后又會有新的難題，于是….(?循環往復)，有位群友形容此為螺旋上升發展，貼切。
數學的這種發展模式舉個很好的例子就是 數和方程的發展：
雞兔同籠問題（已知雞兔總頭數和總腳數），小學未學方程，老師就會教：假設全是雞頭，腳數湊不夠，那便用一只雞替換一只兔，就會多兩只腳，看腳數差多少，除個2，那可不就是兔的數。
插：你看這種思維很好，它其實就滿足了頭數和腳數兩個限制條件。但并不是所有人都能理解上述思維，而且它不具有普適性去解一些更復雜的像不同價格的雞蛋已知總價錢和總個數要你求不同品種雞蛋的個數。通常對于那些想要參加競賽的同學老師會再給一個新的技巧，但是用有限的時間去學無限的技巧顯然并不是一件聰明劃算的事。
但：當我們用方程去把它翻譯成數學語言的時候，問題就顯然簡單了許多。方程變成了一項工具。（此處列方程就是數學思維里的逆向運行，你回想一下你解方程的時候是不是有假設的未知數帶入滿足的條件轉而去求這些個未知數），它可太普適方便了。
再回想我在級數那一塊用的求級數的強有力的兩個數學工具以及求向量場化簡的愛因斯坦指標求和（如有必要下次我會分享此方法），無一不在證實這件事情，掌握好工具才是學好數學的王道，而不是做更多的題。
吳軍老師曾問過美國華裔物理學家，為什么的老一輩的理論物理學在他們50歲以上就很難再發表具有轟動性的論文，他回答說他們的數學工具不夠先進，他們讀研時相比于新一代科學家有很多不足之處。
一元二次方程的發展（比如求面積問題時），通解問題使人對數的認識提高到無理數層次。一元三次方程的推導過程中引入了虛數（虛數在解三次方程中被創造出來，然后又通過正負相抵消，可以得到原來就存在的實數答案，類似于幾何中的輔助線，很多數學工具都如此，由邏輯虛構出來），所有的一元方程不僅變得有解，而且N元方程對應N個解。
芝諾悖論的例子：
大家可能聽說過芝諾的四個悖論，前兩個是一類問題，本質即無限的分割與趨于0的速度快慢問題。（前者是線性疊加，后者是指數衰減，所以加和后它是個有限數）阿克琉斯追不上烏龜是個 偽命題，因為他混淆了概念（有限和無限）。我們用級數可以對它形象的解讀，即它是一個收斂的等比級數。而他的第四個悖論：相對空間悖論，在引入無窮小量這個基本概念之后，就很容易破解了。
無窮小：1.它不是0（因此1倍變化量不等于2倍變化量）
? ? ? ? ? ? 2.它的絕對值小于任何一個你能給定的數（從趨勢的角度出發）
此外極限語言（定量和逆向思維）的嚴格定義重新審視了無窮小的世界，無窮小其實是一種特殊的極限。對于任意給定的數1，我們總能找到一個N，使n>N后，就有一個數<數1，我們就說這個數序列趨于0，或者說是無窮小。
插入：無窮大：動態的變化趨勢，無限增加的趨勢，也有快慢之分，用量級來描述，比如x 和 x^2顯然就是兩個不同量級。具體可看我的導圖里的無窮之比較。
他的第三個悖論：
飛箭不動悖論：射出去的箭是靜止的。解決：引入瞬時速度，即導數這個概念的提出。他的錯誤在于：當S T 的變化量都趨于0時，它們都比值也就是速度并不為0.
導數概念的提出使得人們能夠從對變化本身的觀察上升為對變化速度的觀察，這是人類的認知的新高度。
一件事物有陰陽兩面，陰陽永恒變化發展與數學和人類發展是吻合的，在生活和學習中我們應該保有一種不刻意去壓制住某方的觀點，過猶不及，以一種開放爽朗的眼光看待出現的新興事物。福與禍相依，塞翁失馬，焉知非福？畢達哥拉斯如果能從棺材中出來，應該會為他否認無理數存在而做的錯事懺悔不已。
