對于那些過去學過微積分的人，可能會發現我的講法和大學里完全不同，我并沒有強調具體的知識點，而是在改變大家的一種思維方式，從孤立、靜止地看待一個個數學定理，做一道道數學題，變成用動態發展的眼光，從趨勢來理解世界。這個過程，就是人的認知從初等，到高等的過程。

我回顧自己學習高等數學的道路，發現大家走過的彎路我也都走過，做了很多沒必要的數學題。當時蘇聯吉米多維奇的《數學分析習題集》我大約做了三分之一（這套書里面有4000多道題），考試卻不一定能考好。

突然有一天我決定不做了，數學分析考成什么樣就是什么樣了，這時覺得有一種解脫。騰出時間后，把基本的概念理解清楚，結果成績也不差。

后來到了研究生時，學了數學系更底層的數學課，發現我過去完全學錯了，不是老師內容講得不對，而是沒有學到該學的東西。那些題其實我根本不需要會做，如果將來遇到，要么查參考書，要么用計算機工具解決就可以了。

關鍵是我在20歲之前，不理解應該用什么樣的眼光來認識數學，看待數學里的那些概念和方法。后來當我懂得了高等數學本質上是對趨勢的動態描述，是對各種相關性抽象的表述后，再回頭看微積分，就覺得容易得不得了了。非常遺憾我在剛上大學時，沒有人這么引導我。

數學的世界，在很大程度上可以被看成是我們這個真實世界高度抽象的結果，它的概念是對我們生活中各種對象的濃縮，它的規律是我們生活中很多規律的抽象表述。因此在有了一些生活閱歷后，再回過頭來看看數學書，我有時會把一些零碎的想法和頭緒理清楚。今天我和你分享我的9個體會：

1.有窮和無窮

我們花了不少篇幅在講無窮大，特別強調在無窮大的世界里，有限生活的不適用。這種感覺有時讓我覺得個人的渺小和見識短淺。很多時候，處于很底層的人，是無法理解高層人的想法的。

我們常說“貧窮限制了想象力”，其實貧窮不會限制想象力，貧窮的人可以胡思亂想，但是他們在某一些維度上的經驗極少，以至于讓人覺得是劉姥姥進大觀園。

十年前中國有一本關于羅斯柴爾德家族和美聯儲的陰謀論的書，我的一些做投資的朋友看了后說，這個作者一定是個窮人，不曾擁有過大錢，不知道世界上的錢放在哪里。

這位作者缺的不是想象力，而是憑空想象的世界完全不靠譜。胡思亂想不會增加自己的智慧，倒是像蘇格拉底那樣，知道自己的知識有窮盡，而未知世界無窮盡，反而會更接近真理，更容易提高自己的認知。

2.靜態和動態

我們的世界需要靜態，沒有靜態的穩定，我們就無法立足。但是，很多時候，我們做事情需要以動態作前提假設，這就如同在足球賽中，除了罰定位球，沒有人給你機會站著不動從容射門的。從初等數學到高等數學，就是要把看數學的眼光，從一個個靜態的數字、孤立的公式，上升到動態變化的趨勢。

比如我們在談論無窮大這個概念時，我一再強調要把它看成是一個動態的趨勢，而不是一個大數。我還特別講了，x2這個函數，在無窮大的世界里，要比10000x大得多。中國有句話，叫做莫嫌少年貧，其實很有道理，我們看待一個年輕人，要看他成長的趨勢，而不是現在有多少錢。

很多人在創業時，喜歡湊熱鬧，找風口，生怕錯過了機會。我對他們講，如果那個時間窗只有幾個月、半年，那根本不是機會，只是一次投機而已。這就是靜態地看待時機。真正的大趨勢，總是持續十幾年甚至幾十年，是不容易錯過的，幾十年復合增長下來，比任何投機獲利都大，這就是對動態看世界的人的褒獎。

3.精明與聰明

從靜態和動態的關系，讓我想到這個話題。

有人覺得數學好的會算賬，遇事可以精明不吃虧。但是過分精明的結果就是眼睛都盯在了眼前的利益上，看不到長期的利益，這樣反而不聰明了。

比如在投資方面，很多人喜歡尋找低買高賣的機會賺差價，他們有時會得手，但是失手的時候一般比得手更多，更糟糕的是，這些人永遠無法把握長期增長的機會。事實上，任何一個向上持續增長的趨勢，假以時日，都能漲得很多很快。

4.現實與虛構

數學中很多工具都是建立在世界并不存在的虛構概念之上的，但是，將它們用于現實的社會非常有用，比如說無理數便是如此。人不僅要有形象思維，更要有抽象思維，能夠通過抽象思維理解無理數，那么學習物理，做信號處理的工作，搞控制系統，都會很順手。

人是特別善于創造虛擬概念的物種，我們今天的生活其實離不開各種虛擬物作為實體的媒介。比如說，世界上的財富是真實的，但是度量它們的貨幣其實是人虛擬出來的。你不可能在買東西時把真實的財富帶在身上，大家只把自己在銀行賬上的錢從一個虛擬的空間搬到另一個去而已。

不僅錢是虛的，很多實實在在的商品虛擬意義也大于實際意義。據估計，個人手里的茅臺酒在被喝掉之前，會被當作禮品轉手不下十次，它就像數學中那些虛構的概念一樣，而不是簡單的酒精飲料，沒有它們，真實世界的問題就不好解決。

5.攢錢和賺錢

我在《硅谷來信》有一次談到錢，講到沒有人靠攢錢發財的，發財要靠賺錢。今天攢錢，錢實際上在不斷貶值，雖然各國公布的CPI看似并不高，但是CPI并不包括房價的上漲。我們在前面介紹指數函數時講過，如果每年購買力萎縮10%，用不了幾年購買力就少掉一半。

但是，年輕人只要努力，一年收入增長20%，還是能做到的。事實上，在過去的30年里，北京計算機專業畢業生的入職年薪平均每年上漲17%，有經驗的優秀從業者后來的增長速度更快。

我們在前面的課程中講了，往無窮小變化的趨勢和往無窮大變化的趨勢如果相乘，最后是清零，是常數，還是不斷放大，就看誰的階高了。

通脹、房價上漲等因素都是將財富貶值到無窮小的力量，而且不是人為可控的因素；但是另一方面，收入的增長則是讓財富往無窮大增長的力量，對每個人來講最終就看哪個力量大了。因此，財富靠賺，而不靠攢。

6.直覺和邏輯

我們的直覺常常是對的，但是這只是在我們熟悉或者能夠感知到的世界里。世界的很多規律和我們的直覺不一致，比如我們說的芝諾悖論和貝克萊的無窮小悖論，就是因為我們的直覺和無窮小世界里的規律不一致所造成的。

邏輯可以幫助我們分析清楚我們看不到的事情，甚至不存在的事情。在課程中，我們舉了伽利略的例子，他之所以認定亞里士多德關于質量重的球先落地是錯誤的結論，是因為找到了這種說法的邏輯錯誤。這一類例子，在生活中不勝枚舉。

7.概念和表述

今天，交流在我們的生活中占據重要的位置。將一件事情表述清楚非常重要，很多時候，我們需要通過彼此能夠理解的形象的比喻來說明，這就如同我們在講述極限這個概念時用“越來越接近”描述。

但是，在很多場合，這樣形象的描述還不夠，還需要用極為嚴格的語言表述，數學的語言是一種，法律的語言也是一種，更普遍地講，任何專業的術語都是為了這個目的而出現的。做事專業，就需要掌握專業的術語。

8.朋友和理性的對手

很多時候，取得小成就要靠朋友幫忙，但是要取得驚人的成就，就需要一個理性的對手。在數學的發展史上，芝諾、貝克萊，以及后面我們要講到的羅素，都起到了反角的作用。正是他們給尚未完善的數學體系挑毛病，才讓數學體系變得完美。

我們在前面講到金融危機時，似乎經濟學家們沒有預警，實際上當所有的人都在贊同同一個想法時，根本無法發現系統中的漏洞。因此，我們在工作中，對于那些理性的對手，即使不喜歡，我們也應該尊重他們的意見，因為那些看似不同的意見，恰恰是我們進步所需要的。

9.榮譽和財富

科學是沒有專利可言的，因為科學家們所發現的規律是客觀存在的，只是他們發現了而已，因此科學很難直接帶來財富。而技術是有專利可言的，因為他們是使用科學改變世界的方法。它們不能混為一談。

對科學家最大的褒賞是榮譽，因此今天科學家們爭的是誰第一個發現某個規律，而不是保守秘密。

我們在前面講了三次方程解法被發現的故事。其中的費羅和塔爾塔利亞，他們試圖把科學變成獨占的成果，這是行不通的。今天絕大部分數學家，會知道卡爾達諾和費拉里對解方程的貢獻，對費羅所知甚少。原因就是前者將這些方法告訴了世人。

對于搞技術的人來講，將科學變成改變世界的產品是他們所追求的，有可能帶來財富。因此，技術是要獨占的。雖然我們說科學無國界，但是技術從來就是有國界，不僅有國界，甚至有公司的邊界。

對于一個人來講，他需要搞清楚的，就是自己想要什么。

我學習微積分是三十多年前的事情了，很多具體的內容已經想不起來了，但是學習了之后，人的思維方式改變了。因此，從通識教育的目的來看，我應該算是達到了。今天借著復盤的機會，和你分享一下我從數學中得到的啟發，希望能供你參考。