? ? ? 2022年4月21日，義務教育新課標正式頒布，并于2022年秋季學期開始執行。各學科立足核心素養，對教育教學提出了全新的要求。

? ? ? 其中數學學科新課標提倡用數學的眼光、思維與語言來拓展數學核心素養的內涵。數學新課標有哪些亮點？一線教師如何從數學的角度來理解和表述核心素養？教育部義務教育數學課標研制組組長史寧中教授就以上問題進行全面解讀。

教育部義務教育數學課標研制組組長 史寧中

? ? ? 數學新課標有哪些變化？

? ? ? 21世紀中國的基礎教育發生了巨大變革，本世紀開始的基礎教育的改革，在本質上就是課程標準如何制定和落實的問題。課程標準的修訂已有近20年時間，義務教育數學課標修訂之后的版本整體呈現三大亮點，并堅持落實兩大根本任務。

? ? 1.呈現三大亮點

? ? ? 拓展課程目標。過去傳統教學目標是雙基，后來我們發現雙基不夠，拓展到四基，加上了基本思想和基本活動經驗。過去強調分析問題和解決問題，但是到了2011年左右，中國已經提出培養創新性人才，因此光有分析問題和解決問題能力是不夠的，因此增加了發現問題的能力和提出問題的能力。

? ? ? 豐富課程內容。2001的課程標準中沒有幾何的概念，用空間與圖形來表達，后來我們把它改成圖形與幾何，并且增加了若干個基本事實，使得幾何證明成為可能。數學教育一直存在一個問題——數學的證明只有幾何證明而沒有代數的證明，課程標準中只有代數的基本事實而缺少幾何的基本事實。大家都認為不從基本事實出發的證明就不是證明，因此剛頒布的課程標準在此基礎上增加了兩個基本事實，一個是等量相等，還有一個就是等式的基本性質。

? ? ? 強調核心素養。2011年版本的課標已經把國家一直所說的數學的三大能力，運算能力，推理能力和空間想象力，拓展為10個核心詞，在數學上是8個核心詞。可以看到除了保持這些之外加上了符號、意識、數感、抽象有關的核心詞，這是很重要的一個變化。傳統的數學教育不強調抽象，但是對于數學來說抽象是極為重要的，因為數學的結論是看出來的，不是證明出來的，因此所有學科對培養學科的直覺是極為重要的。

? ? ? 數學的基本思想是指什么？第一就是學習數學一般愿意給一個思維的原則，數學基本思想是數學的產生與發展所必須依賴的思想，學習過數學應當具有的思維特征是抽象推理和模型，通過抽象使得現實世界的事情到了數學內部，因為通過抽象得到了數項研究成果，抽象的主要對象是數量與數量的關系，圖形與圖形的關系，形成了研究對象和研究對象之間的關系，用定義符號來表達。

? ? ? 數學自身的發展是通過推理而得到的，數學的結論也通過推理而得到。推理主要分兩類，一類是通過歸納類比來得到結論，還有一個是通過演繹的方法論證結論。我寫過一篇文章論證，無論是歸納類比還是演繹推理都是有邏輯性的。

? ? ? 我把邏輯定義為具有傳遞性的推理形式，就論證了歸納、類比和演繹都是有傳遞性的。因此數學之所以有嚴謹性就是因為無論得到結論的過程還是驗證結果的過程都是有邏輯的。第三個就是模型，數學通過語言構建了通往現實世界的橋梁，因此數學返回現實世界是通過模型來布局的，很多學科也采用了數學語言來表示某個領域的性質、關系和規律。

? ? 2.落實根本任務

? ? ? 這次課標修訂有兩個根本任務，也是所有學科都必須完成的任務。

? ? ? 第一是立德樹人。教育部04年的文件是通過核心素養的落實來完成立德樹人的根本任務，并且要求高中課程標準，就應該落實核心素養，用核心素養指導課程標準的實施始終。義教也提出了這個要求，因此我們這次課標修訂有一個任務就是如何落實核心素養。

? ? ? 第二是實現學科融合，這是一個世界潮流。義務教育階段不要把學科分得很細，要把科學學科包括自然科學學科等與數學有機融合。對于數學來說需要完成5件事情：

? ? （1）學段的劃分。關于學段的劃分是一件很難的事情，2011版課標分了兩個學段，一到三年級一個階段，四到六年級一個階段。其實比較合理的是一二年級一個學段，三四年級一個學段，五六年級一個學段。

? ? ? 對于義務教育來說有個基本原則，就是教育要適合學生的身心發展規律。小學一二年級的孩子不太適宜學數學，因為他說話都說不明白；針對四、五年級的學生，仔細調查一下就會發現，四五年級的孩子在思維過程中有一個很大的分水嶺，五年級的孩子似乎就對一些抽象的東西多多少少能夠理解一些。因此學段劃三個學段比兩個學段更加合理，要根據學生的心理素質來定。

? ? （2）把四基四能與提倡的核心素養怎樣有機結合。

? ? （3）加強幾何直觀、提升數學素養的前提下，如何調整課程的結構與內容。

? ? （4）在綜合與實踐里如何融入跨學科的知識和傳統文化。

? ? （5）最重要的一件事情，就是如何體現數學的一致性。可能很多老師和同學不太知道一致性目前存在的問題是什么，我稍微來闡述一下。

? ? ? 一個是現在小學數學最大的問題是數的認識缺乏一致性，就是缺乏一個數學化的過程。整數怎么認識？通過數量；分數小數怎么認識？通過分米、厘米；而分數是強調等分，這里沒有一個共同的東西，能把這三個數串聯起來。因此在學習分數的時候，沒有強調分數的單位。這樣的問題會出在比較大小上，例如1/2:1/3大，道理是什么？是分子相等，所以分母大分數小。事實上對于分數來說不應該存在這樣的道理，應該是在同樣的單位下才能比較大小，因此1/2和1/3比較大小，必須得要同樣的單位，即變成3/6和2/6，3/6比2/6大，這樣就可以得到1/2比1/3大。

? ? ? 第二是數的運算缺乏一致性。舉例說明，分數和小數的除法是小學數學的重點和難點，但是各講各的理。分數除法用包含除的原則來講，比如一包含三個1/3，所以1÷1/3=3，那么4÷1/3怎么辦？變成了4×1/3除上這個，然后1÷1/3=等于3，所以4÷1/3=4×3，事實上這個道理是很深的道理；分數除法用商不變的方法，就是0.4÷0.02，擴大100倍不變，得到的是正確的結果。為什么商不變就是對的？舉的例子都是實數的例子，都是整數的例子，整數例子為什么對小數好使？這是個問題。

? ? ? 以上兩點使得學生認為數學分了好多樣，整數的數學、分數的數學、小數的數學。運算也有好多樣，有整數運算、分數運算、小數運算。這樣不僅僅是把學生的思維搞亂，更重要的是耽誤了很長時間。弗萊登塔爾早就看出了這個問題，并提出一味地依賴具體情境會使得除法的問題變得更加復雜。由于教師與教科書的編寫者對于如何從直觀分數進展到算法的分數缺乏認識，使實際問題更加惡化。

? ? 如何理解與表達數學中的核心素養？

? ? ? 因為立德樹人的根本任務沒有變，所以核心素養要涉及到小學、初中與高中，我想很可能未來將涉及大學、研究生，可能還會指導老師、研究者的素養。理解和表達核心素養我認為必須具備三個基本特征，供大家參考。

? ? ? 保持內涵的一致性。小學、初中與高中的核心素養不能割裂開來，核心素養應該是從一到終，每一個學習過數學的人都應該具有的、但又是終極的、永遠達不到的。

? ? ? 呈現過程的階段性。每一個不同的學習階段核心素養應該有不同的表現，與身心發展有關、知識儲備有關、與經驗積累有關。

? ? ? 表述應該有整體性。要既有數學的特征，又有數學教育的特征。更具體的說，要具有學科的思維特征，還有心理學的特征與認知的特征。

? ? ? 核心素養現在定義為“是數學教育的、與人的行為（思維、做事）有關的終極目標；是學生在本人參與的教學活動中，逐步形成發展的；是經驗的積累、過程目標的拓展、四基的繼承發展”，進而可以把核心素養表述為“會用數學眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”。這樣的表述既有數學本身的特征，也有教育所要描述的認知方面的、心理學方面的特征。

? ? ? 現在的核心素養跟原來我曾經說的數學思想相比包含的東西更多了，我們來具體看一下。

? ? ? 什么是數學的眼光？為什么要觀察？因為數學為人們提供了一個認識與探究現實世界的觀察方法，因此具有了數學的這種觀察方法，學生就能夠直觀的理解數學的知識及其背景，能夠在日常生活中和其他學科中發現數學，能用數學的方法研究其他領域的事物，并且能表示出這些研究對象和他的關系。具有這種視野，他就能夠發現有意義的數學問題，引起數學探究。情感態度價值觀方面能夠發展好奇心、想象力和創新意識，在這個意義上它比數學的抽象更加上位。

? ? ? 什么是數學的思維？數學為人們提供了一種理解和解釋現實世界的思考方法。通過學習，學生能夠理解數學的基本概念、法則的發生與發展的過程，知道數學基本概念之間的關系，知道數學與現實世界的關系，能夠合乎情理的理解數學的一些結論，能夠用數學的方法探究現實世界的規律，能經歷一個數學再發現的過程，能夠培養批判性思維，能夠培養實事求是的科學態度，培養理性精神。

? ? ? 什么是數學的語言？數學是如何來表達的？數學為人們提供了一個描述與交流現實世界的表達方式，這一點比模型更加上位。學生掌握了數學的語言，他就初步掌握了數學與現實世界的交流方式，能夠有意識的用數學表達現實生活中和其他學科中的性質、關系和規律，感悟數據的意義和價值。只有在這樣的過程中，學生才能感悟數學語言，包括表達概念，包括等式、不等式的簡潔與優美，養成用數學語言來表達和交流，增加跨學科的應用意識和實踐。

? ? ? 核心素養的數學特征是什么？數學的眼光雖然是提供人們觀察世界的一種方法，但在本質上是數學的抽象，并且它的數學特征是因為數學抽象而擁有的一般性。數學思維的本質是邏輯推理，即具有傳遞性的推理，培養的是邏輯思維能力，是具有傳遞性的思維。例如符合從小到大的標準，即為歸納和類比；從大到小就是演繹，這樣的推理是有邏輯的，因此數學具有嚴謹性。現代社會的學科要走向科學，就要盡可能多的使用數學語言，構建數學模型，使得數學形成一種新特征，即數學應用的廣泛性。本次新課標將核心素養、數學的思想、數學的特征進行有機地結合。

? ? ? 核心素養的階段性特征有哪些？低學段基于感官，更具體、更側重意識，這種意識是基于感性的；高學段基于概念，更一般、更側重觀念，觀念是概念基礎上的認知，借助于思想，借助于能力。因此我們保留了2011版的10個核心詞，2017版的6個表現，核心素養的具體表現闡述在高中階段有抽象，想象，邏輯，推理，計算，跟數學的眼光，思維，語言對應；初中就是更具體的抽象能力，空間的觀念，幾何直觀；小學幾乎沒有談抽象這件事情，談的是符號意識與數感，這次又加了一個詞——量感。

? ? ? 但是老師們一定要知道，這些詞語是抽象的一個具體的體現，到初中才更多的談抽象，小學只要有推理的意思就行，在初中強調一下推理能力，到高中要明明白白的說推理的形式。小學階段要求的一個能力就是運算，小學擁有模型意識與數據意識就行了，到初中階段需要形成思想、形成觀念，而到高中階段就開始要求擁有能力。

? ? ? 落實核心素養，改變課標表述。數學源于對現實世界的抽象，主要研究對象是數量和數量關系，以及圖形與圖形關系；基于抽象結構，得到了數學的符號運算、形式推理、模型構建等形成數學結論的方法，最主要希望能夠幫助人們認識理解和表達現實世界，能夠表達本質的關系和規律。因此數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。語言承載了思想與文化，如果數學也是一種語言的話，那么數學也能夠承載著思想、承載著文化，因此數學是人類文明的重要組成部分。

? ? ? 這樣認識數學的方法是從伽利略和牛頓那個時代開始，伽利略曾說：“宇宙這本書是用數學語言來形容，如果不懂得數學語言，那么我們只能在黑暗中摸索”；愛因斯坦也評價到：“由于伽利略看到了這一點，尤其是由于他向科學界諄諄不倦地教導這一點，使他成為近代物理學之父，事實上也成為近代科學之父”。因此現代科學的發展，是因為用數學的原理來表達了現實世界的規律。

? ? ? ? 數學的課程內容與結構有哪些調整？

? ? ? 1.強調抽象結構

? ? ? 我們強調抽象，在抽象的基礎上強調了抽象結構。抽象結構是近代數學發展的一個很基礎的東西，我們不僅要知道研究對象是什么，更要重視研究對象的性質是什么。這個觀念最早是亞里士多德提出的，他說：“數學家用抽象的方法對事物進行研究，去掉感性的東西......線、角或者其他的量（的定義），不是作為存在而是作為關系”，即這個東西存不存在本身不重要，重要是他們之間的關系。

? ? ? 同樣的說法，希爾伯特描述的非常形象：“歐幾里得關于點線面的定義在數學上是不重要的，它們之所以成為討論的中心，僅僅是因為公理述說了它們之間的關系。換句話說，無論把它作為點、線、面，還是把它們稱為桌子、椅子、啤酒瓶，最終推理得到的結論都是一樣的”。僅就概念教概念的教法是有問題的，教概念的同時，應當教他們的性質、關系和規律，或者其中的一樣，因此概念需要螺旋式上升。

? ? ? 例如集合是現代數學的基本語言，在這個基礎上談順序，就構建了數的關系。數的本質是大小關系，數是對數量的抽象，數量的本質是多與少，那么數的本質抽象出來就是大與小，因此實數空間是構建函數的基本空間。

? ? ? 在大學里度量是非常重要的。定義距離空間，定義測度，比如概率論就是主要基于兩種策略，一種是技術測度，一種是勒貝格程度，它有和運算的結合。

? ? ? 對基礎教育來說運算也是很重要的，知道研究對象之后一定要知道研究對象的運算。特別是數域跟研究對象，跟運算有直接的關系。要保證運算，主要是保證逆運算的封閉性，這樣的話，減法可以使得自然數擴充到整數，除法可以使得整數擴充到有理數。

? ? ? 基于這樣的思想，我們把數與代數的六個主題合并成兩個主題，領域沒有變，但是主題發生了很大的變化。比如圖形與幾何的四個主題變成兩個主題，把圖形的認識和測量放在一起，把數的認識和運算放在一起。

? ? ? 2.提倡教學與教研的整體性

? ? ? 我們在這次課標里提倡要整體備課，包括全年級的整體備課、全學段的整體備課、全校老師的整體備課。對應于核心素養的整體性、一致性和階段性，要體現在日常教學中的整體性、一致性和階段性。

? ? ? 日常教學中的整體性是指知識體系和相應的核心素養的整體把握；一致性是從概念的最初提出到最后的實際應用應當是一致的；階段性是我們需要知道我們研究的數學知識是如何進階的，以及核心素養是如何進階的。

? ? ? 3.增加跨學科內容

? ? ? 除了學段分成了三個學段，綜合與實踐也增加了內容，主要增加的是跨學科的內容，強調了傳統文化。比如曹沖稱象、度量衡圓周率的故事都要講數學，這是很重要的。數學講傳統文化與其它學科講傳統文化不太一樣，比如曹沖稱象語文可以講，但是數學講的曹沖稱象除了認識重量單位之外，還要講等量的等量相等這個道理，還要講總量等于分量和的道理。傳統文化里蘊含的數學道理，值得老師們仔細探討。

? ? ? 4.強調代數推理和幾何直觀

? ? ? 這次課標強調代數推理和幾何直觀，代數推理就是通過歸納類比得到結論，這個想法在小學是不是能夠稍微梳理一下，我希望教材編者認真思考。比如我們講了兩位數乘以一位數、兩位數乘以兩位數或者三位數乘以一位數，那么關于三位數乘以兩位數的計算方法，是不是可以讓學生自己得到，讓學生通過舉一反三來歸納算法。

? ? ? 要進行這樣的歸納，教材編寫就應該注意，過去的教材編寫光寫豎式不寫橫式是不行的，橫式是算理，豎式是算法，光講算法不講算理是不行的。比如說乘法，豎式算要把數分解，要用到分配律，可以得出算律決定算理，而算理決定算法，這個思想是非常重要的一種事情。

? ? ? 幾何要增加尺規作圖，要感悟抽象物體的存在。幾何抽象的本質是什么？我想幾何抽象的本質就是把三維的物體用二維圖形表現出來，即幾何的本質是二維和三維之間的關系。因此在小學階段進行尺規作圖是必要的，讓學生感悟到抽象物的存在，比如圓的存在；比如同樣長的線段，除了能用刻度之外，用圓規也能量出；或者給學生一個線段能做出等邊三角形，以及知道什么是周長，這都是很重要的。

? ? ? 5.關于數學化

? ? ? 首先關于數學化，課標是這樣描述的：要初步體會數的概念一致性和運算一致性。即怎么實現一致性就是怎么實現數學化，這次特別引進一個計數單位的概念。計數單位是一種特殊的計量單位，是個數和順序的計量單位，把它作為數學化一致性的抓手。數的認識，不管是分數、小數還是整數，都是計數單位的表達。例如4/3個1/3，1/3是計數單位，這樣就解決了假分數的問題，不然假分數永遠說不清楚。運算也是這樣，比較大小應在同樣的計數單位下進行，因此分數的加減運算中，通分就是為了得到同樣的計數單位。

? ? ? 6.課程內容的重組

? ? ? 新課標把方程的內容移到了初中。主要有兩個原因，第一是沒涉及到方程的本質。過去小學數學把方程認為是只有一位字母表示未知數，其實表示未知數不是問題的本質。字母只是表示了這個方程中的系數，而不是表示未知數，因此用字母來表達性質、關系和規律是非常重要的。過去講授字母的表示只有半節課，人教版最多的也不到一節課，現在是要求6-8節課，來講怎么用字母表示數，感悟出字母就是抽象的意義。

? ? ? 第二是沒有感知到方程的必要性。過去領悟簡單方程，用5-x=2這樣的方程來研究是非常不合適的。現在有一個基本原則，可能是未來教材編寫，甚至是教師講課應該遵循的原則，就是所有的新的概念的引入和新的方法的引入，必須讓學生感悟其必要性，不是我教你就得學，而是我教你這個東西是很有用的，所以老師要引導學生產生學習興趣。因此必須在用四則運算解起來非常困難的情況下，我們才能夠引入方程，感悟引入方程是一個非常便利的事情。

? ? ? 傳統定義下含有未知數的等式叫做方程，這個定義是不成立的，因為數學的定義必須是充分必要，例如2-x=x是含有未知數的等式，但它并不是方程，它只是計算的結果與傳遞性的結果。方程必須講兩個故事或者更多的故事，這兩個故事量相等，因此在方程中等號有兩個功能，一個是表現傳遞性，一個是表現量相等。

? ? ? 本次課標把百分數移到了統計與概率的版塊，考慮了大數據的需求。因為百分數在大數據的處理中越來越重要，例如果汁行業確定性的百分數如何過渡到隨機性，比如變成投籃的命中率。百分數的引入可以進行隨機現象的決策，隨機現象的決策比確定性的決策更多地出現在現實生活中，因此在小學階段孩子們多少感悟一下，對于隨機現象怎么來決策。

? ? ? 比如用百分數制定四年級孩子的跳繩標準，讓孩子跳完之后記下來，再從小到大排隊，通過的人數為前25%或者50%，再根據百分比確定跳繩標準，這也是國家制定藍天計劃的依據。所以把百分數引到統計與概率是為了更加適應大數據的需求。