玩具理論：陰陽五行的規范動力學

最近有朋友問我，是否有可能用現代物理的方法來研究陰陽五行這一中華傳統文化內容？

一開始我很自然地認為這是無稽之談，但反過來一想，如果不考慮現實情況，完全從開腦洞的角度來想的話，這事倒也不是完全沒法用現代物理來研究。

如果，我們假定，陰陽五行是可以用規范理論來描述的物理實在，那它應該長什么樣呢？

好了，下面就開始進入腦洞時間。

首先，五行存在相生相克關系，我們將五行具體內容抽象掉，僅用符號來表示的話，就是如下關系：

  • 相生：a生b，b生c，c生d，d生e，e生a
  • 相克：a克c，c克e，e克b，b克d，d克a

這樣的關系可以用五角陣來描述，相生是外接五邊形，相克是內接五角星。

關鍵在于，我們如何用規范理論來描述這一關系？尤其，如何用群來描述這一關系呢？

在不考慮陰陽的情況下，我們引入一種無屬性的“氣”，它本身不具有任何五行屬性，但可以轉化為五行中的任意一種，它本身用 q 來表示。這樣五行元素加上氣總共六個元素被稱為“元素場”，是一個實標量場。

接著，我們來構造五行生克關系為如下映射：

G(x, y) = - G(y, x)\\ G(a, q) = b - q;\ G(b, q) = c - q;\ G(c, q) = d - q;\ G(d, q) = e - q;\ G(e, q) = a - q\\ G(a, c) = q - c;\ G(b, d) = q - d;\ G(c, e) = q - e;\ G(d, a) = q - a;\ G(e, b) = q - b\\ G(x, y) = 0 \ for\ otherwise

從而我們可以由此構造出五行的生克場，它是一種規范場：

A_a^b = - A_a^q;\ A_b^c = - A_b^q;\ A_c^d = - A_c^q;\ A_d^e = - A_d^q;\ A_e^a = - A_e^q\\ A_a^q = - A_a^c;\ A_b^q = - A_b^d;\ A_c^q = - A_c^e;\ A_d^q = - A_d^a;\ A_e^q = - A_e^b

其它元素都為 0。我們將這十組生成元記為 \sigma_i，而現在空間中的規范場只能是上述十個生成元的線性組合。

由于我們添加了無屬性的氣元素，所以現在生克場有這樣一種特性：

\sum_i A^i_{j \mu} = 0

這個特性非常重要，我們在后面會看到。

接著，依然不考慮陰陽，我們來嘗試構造規范場的動力學模型。

我們用 \phi^i 來表示五行場，它有六個獨立分量，且每個分量的取值都是實數。而由生克作用 A^i_j 構成的矢量場 A^i_{j \mu} 是一個每個分量都是一個生克作用的矢量場：A^i_{j \mu} = \sum_a e^a_{\mu} A^i_{j (a)}。

下面，根據傳統規范場論的思路，我們可以構造如下作用量密度：

\begin{cases} L = \frac{1}{2} m^2 \phi^i \phi_i + \frac{1}{2} D_\mu \phi^i D^\mu \phi_i - \frac{G}{4} F^i_{j \mu \nu} F^{j \mu \nu}_i\\ D_\mu \phi^i = \partial_\mu \phi^i + g A^i_{m \mu} \phi^m\\ F^i_{j \mu \nu} = \partial_\mu A^i_{j \nu} - \partial_\nu A^i_{j \mu} + g \left( A^i_{k \mu} A^k_{j \nu} - A^i_{k \nu} A^k_{j \mu} \right) \end{cases}

這是標準規范場論的形式，我們可以加上熟悉的 Lorentz 規范固定條件 \partial^\mu A^i_{j \mu} = 0。將所有自由運動項與生克場自作用項去掉后，五行場與生克場之間存在如下相互作用項（A_{i j \mu} = \delta_{i k} A^k_{j \mu}）：

L_{\mathrm{int}} = g A^{\mu}_{i m} \phi^m \partial_\mu \phi^i + \frac{g^2}{2} A^i_{m \mu} A^{n \mu}_{i} \phi^m \phi_n

顯然，五行生克關系就是通過這兩項實現的。

我們下面來看經典情況下五行生克的運動方程，容易從作用量密度導出如下：

\begin{cases} \partial_\mu \partial^\mu \phi_i = m^2 \phi_i + g \left( A^{\mu}_{k i} - A^{\mu}_{i k} \right) \partial_\mu \phi^k + g^2 A^{k}_{i \mu} A^{\mu}_{k l} \phi^l\\ G \partial_\nu F^{j \mu \nu}_{i} = g \phi^j \partial^\mu \phi_i + g^2 \phi^j A^{\mu}_{i k} \phi^k - G g \left( A^{j}_{k \nu} F^{k \mu \nu}_{i} - A^{k}_{i \nu} F^{j \mu \nu}_{k} \right) \end{cases}

直接硬解這個方程式非常麻煩的，比如生克場場強張量 F^i_{j \mu \nu} 中包含了生克場的二次項，所以整個生克場運動方程式一個二階矩陣的偏微分方程，很難直接求解。

但，從另一方面來說，我們注意到之前提到過的生克場的特性 \sum_i A^i_{j \mu} = 0，顯然這一特性也會傳遞給其場強張量：\sum_i F^i_{j \mu \nu} = 0，因此我們對生克場場強張量的運動方程中所有元素上標求和，可得：

\partial_\mu \phi^i = - g A^{i}_{k \mu} \phi^k

這個意義就很明顯了：元素 i 的變化量取決于能生克它的所有元素與相應生克場的量，很符合我們的五行直覺。

將這個結果代回運動方程可得：

\begin{cases} m^2 \phi_i = 0\\ \partial_\nu F^{j \mu \nu}_{i} = g \left( A^{k}_{i \nu} F^{j \mu \nu}_{k} - A^{j}_{k \nu} F^{k \mu \nu}_{i} \right) \end{cases}

也即，五行場的靜質量必須為 0，而生克場雖然可以作用在五行場上引起元素生克變化，但五行場并不是生克場的源，生克場時自身的源。因此，如果空間中并不預先存在生克場，那么即便有再多的五行場，也無法憑空創造出五行生克變化。當然，換個角度來說，五行場在時空中分布的變化，也必然伴隨著生克場的，且它不僅僅是引出生克場，而是確定了在變化位置生克場的具體值與方向，所以也可以視為一種源。

此外，在不考慮生克場自作用的情況下，它的運動方程就是很常見的最典型的波動方程，但五行場的運動方程卻是一階偏微分方程，顯然兩者的行為非常不同。

非但如此，由于生克場的場強張量中包含了生克場的一次項與二次項兩部分，生克場彼此之間的相互作用可以變得非常復雜而有趣，會呈現出很多復雜的互動關系。比如，如果同時存在 a 生 b 與 b 生 c 這兩個生克場，那此時運動方程將變成：

A^i_{j \mu} = \delta^a_j \left( \delta^i_b - \delta^i_q \right) V_\mu + \delta^b_j \left( \delta^i_c - \delta^i_q \right) W_\mu \Rightarrow\\ \begin{cases} F^b_{a \mu \nu} = \partial_\mu V_{\nu} - \partial_\nu V_{\mu}\\ F^c_{a \mu \nu} = g \left( W_{\mu} V_{\nu} - W_{\nu} V_{\mu} \right)\\ F^q_{a \mu \nu} = \partial_\nu V_{\mu} - \partial_\mu V_{\nu} + g \left( W_{\nu} V_{\mu} - W_{\mu} V_{\nu} \right)\\ F^c_{b \mu \nu} = \partial_\mu W_{\nu} - \partial_\nu W_{\mu}\\ F^q_{b \mu \nu} = \partial_\nu W_{\mu} - \partial_\mu W_{\nu} \end{cases}\\ \therefore \begin{cases} \partial^\nu \partial_\nu V_{\mu} = 0\\ \partial^\nu \partial_\nu W_{\mu} = 0\\ W_{\nu} \partial^\nu V_{\mu} = 0\\ 2 V_{\nu} \partial^\nu W_{\mu} = V^{\nu} \partial_\mu W_{\nu} - W^{\nu} \partial_\mu V_{\nu} \end{cases}

可見，此時在預料中的兩個波動方程（第一、二條）之外，還多了兩條耦合方程，使得這兩個場并沒有那么獨立。當然，這組方程有一個很簡單的形式：W^\mu = \lambda V^\mu，這樣上述方程就退化為（這里還記上規范固定條件）：

\begin{cases} \partial_\mu V^\mu = 0\\ V^\nu \partial_\nu V_\mu = 0\\ V^\mu \partial_\mu \lambda = 0\\ \partial^\nu \partial_\nu V_{\mu} = 0\\ \partial^\nu \partial_\nu \lambda V_{\mu} + 2 \partial_\nu \lambda \partial^\nu V_{\mu} = 0\\ V^{\nu} V_{\nu} \partial_\mu \lambda = 0 \end{cases}

顯然，如果 a 生 b 的生克場非類光，那系數 \lambda 就必須為常數，運動方程就變為：

\begin{cases} \partial_\mu V^\mu = 0\\ V^\nu \partial_\nu V_\mu = 0\\ \partial^\nu \partial_\nu V_{\mu} = 0 \end{cases}

顯然波動方向與自身方向正交的平面波、球面波甚至 Column 勢就能滿足條件了。

而如果 a 生 b 的生克場類光，那系數可以不是常數，從而方程為：

\begin{cases} \partial_\mu V^\mu = 0\\ V^\nu \partial_\nu V_\mu = 0\\ V^\mu \partial_\mu \lambda = 0\\ \partial^\nu \partial_\nu V_{\mu} = 0\\ \partial^\nu \partial_\nu \lambda V_{\mu} + 2 \partial_\nu \lambda \partial^\nu V_{\mu} = 0\\ V^{\nu} V_{\nu} = 0 \end{cases}

則我們可以取 a 生 b 的生克場依然是一個波動方向與自身方向正交的類光場，同時 \lambda 也是一個波動場所以滿足 \partial^\mu \partial_\mu \lambda = 0，同時兩者須滿足如下耦合方程：

\begin{cases} V^\mu \partial_\mu \lambda = 0\\ \partial_\nu \lambda \partial^\nu V_{\mu} = 0 \end{cases}

即 \lambda 的波動方向與生克場、生克場的波動方向都正交。也即，我們可以認為現在這兩個生克場雖然在每一點上的作用方向都是相同的，但強度存在一個差異，且這個差異的變化傳播方向與場本身的方向、傳播方向都正交。

可以預期到，如果在初始狀態下十種生克場都存在，那最后的相互作用會是非常復雜的，簡單的正交關系將不再滿足條件，我們會面對一大坨完全“糾纏”在一起的生克場，其中的動力學關系與代數關系會非常復雜。

比如，如果現在存在這么幾種生克場：a 生 b、b 克 d、d 克 a、a 克 c、c 克 e、e 生 a，那么此時由于 F^a_{a \mu \nu} 必然恒為零，從而 A^b_{a \mu} A^d_{b \mu} A^a_{d \nu}、A^b_{a \mu} A^d_{b \nu} A^a_{d \mu}、A^c_{a \mu} A^e_{c \mu} A^a_{e \nu} 與 A^c_{a \mu} A^e_{c \nu} A^a_{e \mu} 之間就必須滿足復雜的代數關系，使這四項必須相互抵消，否則將造成原本不應該存在的 A^a_{a \mu} 的出現，即 a 元素自身可以無中生有或者憑空消失。從這個角度來說，或許它就是陣法的基本原理吧……

接著，我們來考慮陰陽。

從我們樸素的情感來說，陰陽應該是相互抵消的二元對立的客體。但在中醫中我們發現，一個人可能陰虛的同時，陽也虛。事實上，我們可以發現陰陽應該不是相互抵消的二元對立體，而應該是可以彼此共存的，只不過兩者之間允許存在一定的轉化。

從這個角度來說，最簡單的選擇就是將五行場與生克場都復化，實部為陽，虛部為陰。生克場如果始終保持實數，那就是陽木生陽火，陰木生陰貨。但如果生克場也是復數，那樣陽木可以生陽火，同時也可以生出部分陰火，甚至全部都是陰火。

但，無論我們如何調整復化后的生克場，我們依然要求關系 \sum_i A^i_{j \mu} = 0 必須滿足。

當然，這只是一種沒有什么理論根據的純腦洞罷了，作為我們建立模型的理論指導。我們完全可以換一套理論來建立模型，這個就看大家自己的喜好了。

上面只是經典的規范場論模型，我們當然也可以考慮將其量子化。

標準的量子化方案，就是利用上述作用量做配分泛函，所有場都對應到相應的算符，從而可以計算相應的量子過程：

Z_0 \left[ \phi, A_\mu \right] = \int \exp \left( - i \int L d\varepsilon \right) [ d\phi] [d A_\mu]

我們拋開繁瑣的計算細節，只從性質上對量子化后的五行生克場進行簡單的分析。

在量子化之后，我們考慮最常見的費曼圖來做分析的工具。現在相互作用頂點主要有這么兩個（這里考慮陰陽帶來的復化操作，且不考慮生克場自身的相互作用）：

\begin{cases} L_{3} = g \left( \bar A^{i \mu}_{j} \bar \phi^{j} \partial_{\mu} \phi_{i} + A^{i \mu}_{j} \phi^{j} \partial_\mu \bar \phi_i \right)\\ L_{4} = g^2 \bar A^{i \mu}_{k} A^{l}_{i \mu} \bar \phi^k \phi_l \end{cases}

看似很正確，但這里存在一個問題：生克場現在是傳統意義上的規范場，這點沒錯，但五行場的行為已經發生了極大的不同，它滿足的運動方程不是傳統的有源波動方程，而是一階偏微分方程 \partial_\mu \phi^i = - g A^{i}_{k \mu} \phi^k，它可以轉化為如下形式：

\bar \phi_i \partial^\mu \partial_\mu \phi^i = g^2 A^{i}_{j \mu} A^{j}_{k \mu} \bar \phi_i \phi^k

這里，前者是自由運動的傳播子，后者是相互作用項，換言之，三線頂角相互作用必須為零。

因此，在五行生克的量子過程中，五行場之間只存在四線頂角作用而不存在三線頂角作用，這是非常有趣的。

現在，兩個五行場之間的相互作用最簡單的形式是這樣的：

最簡單量子過程的費曼圖草圖（*實在找不到像樣的費曼圖制作工具了……*）

上下的直線是五行場，中間的紅圈是兩個生克場。

我們可以將這個理論與量子色動力學做一個比較：QCD 中中間規范場膠子攜帶一個色與一個反色，將夸克的色荷進行改變。而在我們的五行生克場中，中間規范場是生克場，它也攜帶一個“色”和一個“反色”，比如生成一個 b 與消耗一個 q。兩者在形式上非常相似，且都有一個特點：單個粒子上的所有“色”的總量是守恒的。

真正有趣的地方在于，量子化之后的場存在真空能，也就是和輸入輸出無關的五行生克場形成的“線團”。而這個線團中因為可以存在五行場，所以也就可以造成其它五行場的屬性改變。

例如，在經典情況下，如果空間中并不存在生克場，那么對應的五行元素是不會發生變化的。比如沒有 a 生 b 的場，那即便 a 元素再多、q 元素再多，b 元素的量也不會發生變化。

但在量子化之后，情況發生了改變——真空中可以存在隨機漲落的五行生克場，它們只需要在不確定關系約束的時間與空間范圍內回歸虛無就可以。那么比如現在隨機漲落出了一個 a 生 b 的場與一個與之相反的場，由于五行場不會改變生克場而只會被生克場改變，那么這個隨機漲落出來的生克場就可以作用在 a 元素上，使得空間中的 q 元素減少而 b 元素增加，原本不會發生改變的 b 元素由于真空量子漲落而發生了相應的漲落。而作用結束后，這個生克場又和相應的反場結合湮滅，回歸虛無。

整個過程中，我們看到的是五行元素的量沒來由地發生了改變，這是原本經典物理世界中所不可能發生的，現在卻可能因為量子漲落而發生。

甚至于，在既沒有五行場也沒有生克場的情況下，上述過程一樣可以發生：真空量子漲落中先漲落出了 a 場與負 a 場，然后又漲落出 a 生 b 的生克場及其反場，量量結合后，將原本為零的無屬性 q 場消耗，憑空創造出了 b 元素后，不發生改變的 a 場對與 a 生 b 場對又回歸虛空消失，我們能看到的是真空中無緣無故出現了 b 元素同時將 q 元素消耗為負。

這是量子化之后我們會看到的原本經典物理下所不可能存在的現象，其發生的概率正比于 g^4。

當然，我們也可以選擇完全不遵守規范場論的框架，而使用別的方式來構造描述陰陽五行的場論，比如取作用量為如下形式：

L = M_{i j} \bar \phi^{i} \phi^{j} + D_{i j}^{\mu \nu} \partial_\mu \bar \phi^i \partial_\nu \phi^j\\

它給出的運動方程為：

\begin{cases} M_{i j} \phi^{j} = \partial_{\mu} D_{i j}^{\mu \nu} \partial_{\nu} \phi^{j} + D_{i j}^{\mu \nu} \partial_\mu \partial_\nu \phi^j\\ M_{j i} \bar \phi^j = \partial_\mu D_{j i}^{\nu \mu} \partial_\nu \bar \phi^j + D_{j i}^{\nu \mu} \partial_\mu \partial_\nu \bar \phi^j \end{cases}

不妨取 D_{i j}^{\mu \nu} 為最常規的 \delta_{i j} g^{\mu \nu}，這樣方程就變為：

\begin{cases} \partial^{\mu} \partial_{\mu} \phi_i = M_{i j} \phi^j\\ \partial^\mu \partial_\mu \bar \phi_i = M_{j i} \bar \phi^j \end{cases}

和之前一樣，我們令矩陣 M_{i j} = m^2 \delta_{i j} + g A_{i j}，那樣生克關系一樣可以被表達出來。

甚至于，我們可以采用標量規范場：

L = m^2 \bar \phi^{i} \phi_{i} + D_{\mu} \phi^{i} \bar D^{\mu} \bar \phi_{i} + M^{2} \bar \theta^{i}_j \theta^j_i + D_\mu \theta^i_j \bar D^\mu \bar \theta^j_i\\ D_\mu \phi^i = \partial_\mu \phi^i + g \partial_\mu \theta^i_j \phi^j

相應的運動方程為（\theta_{i j} = \theta^k_j \delta_{i k}）：

\partial_\mu \partial^\mu \phi_i + g \partial_\mu \partial^\mu \theta_{i k} \phi^k = m^2 \phi_i + g \left( \partial_\mu \bar \theta_{j i} - \partial_\mu \theta_{i j} \right) \partial^\mu \phi^j + g^2 \partial_\mu \bar \theta_{j i} \partial_\mu \theta^j_{k} \phi^k

你看，一樣可以讓五行元素產生生克變化。

總之，理論上我們可以選擇作為五行生克的理論模型有非常多，從基礎的理論框架，到一些細節，都有很大的自由選擇的空間。

最后，我們還是要再次強調，上面所做的一切都只是一個 Toy 理論，純粹是為了好玩而作，和實際物理一點關系都沒有，我們沒有絲毫證據可以證明真的存在上述五行場或生克場。

但，如果你要寫小說的話，這里倒是給了你一個不錯的“理論依據”，你可以以此為基礎來構建自己的陰陽五行世界，說不定會很有趣哦。

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