6.證明：若函數(shù))
在點
連續(xù)且%5Cneq0)
,則存在的某一鄰域)
，當)
時，%5Cneq0)
。
解：不妨假設%3E0)
.函數(shù)在點連續(xù)，所以%3Df(x_0)%3E0)
。根據(jù)極限保號性，必然存在
,使得%3E0)
。當時，。即。
7.設%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20x%2Cx%5Cin%20Q%2C%20%5C%5C0%2Cx%5Cin%20Q%5Ec.%20%5Cend%7Bcases%7D)
證明：(1)在
連續(xù)；(2)在非零的
處都不連續(xù)。
證明：(1)根據(jù)極限的定義證明。對于任意的
,總存在
,為了說明方便，設
.當
時，-f(0)%7C%3D%7Cf(x)%7C%5Cleq%7Cx%7C%3C%5Cepsilon)
.故)
,即在處連續(xù)。
(2)證明在非零的 處都不連續(xù)。只要證明出極限值不等于函數(shù)值之類的就可以。同時請注意，下面的語言僅僅幫助大家理解。并非嚴格的證明。
假設非零的 處是有理數(shù)
,分別取一有理數(shù)列無限接近于
，則該數(shù)列的極限趨向于且并不等于0.而取一無理數(shù)列無限接近與于，則該數(shù)列的極限趨向于且等于0.所以極限不存在，也就不能連續(xù)了。
假設非零的 處是無理數(shù),同理極限不存在。所以無法連續(xù)。
8.試舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)的例子：
是的所有間斷點，且都是無窮間斷點。
解：%3Dcot(x%5Cpi)%2Bcot(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Bx%7D))
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