一、一杯水為何存在？
你每天都會喝水，但你有沒有想過，「一杯水」為什么會存在？
或者換句話說，這杯水為什么可以以一個「個體」的形式存在？
要知道，一杯水是由數不清的水分子構成的，并沒有誰給這些水分子貼上標簽——「它們都屬于這杯水」。而且，它的邊界似乎也并不清楚——在水面附近，水分子不斷的飛出、飛回，好像根本沒有邊界一樣。
空氣、灰塵，也都是這樣，從最底層的粒子來看，好像都可以「取消」這個幾個概念，而只用分子、微粒代替一樣。
那我們為何要將它看作一個單獨的個體呢？而不是看作一個個水分子呢？
因為單個水分子的有些行為，在宏觀的尺度幾乎沒有影響。
水分子越多，單個的水分子就越來越不重要，而它們整體的行為則開始占了主導。空氣也是這樣，數量越多，單個分子就越來越不重要。正因如此，我們才可以討論「空氣」。
但正是由于數量越多，單個部分就越不重要的特性，我們可以把它們看作一個整體。
注意這里就有了一個斷層——底層的行為，與宏觀行為之間的斷層。水分子和氣體分子的運動，都是高度隨機的。而一杯水則非常平靜，又容易預測，是一個非常大的差異。
所以說，在尺度的增長過程中，有的性質保留了下來，有的性質則漸漸消失了。
造成這一切的，不是什么高深的物理定律，而是簡單的統計學規律：「大數定律」。
舉一個簡單的例子：你投1000次硬幣，那正面/反面的比例會非常接近1:1，如果投10次，差別則可能非常大；這其實就體現了大數定律的思想：對獨立的隨機變量反復抽樣，最終抽樣的頻率會接近于概率。
一杯水中的情形與投硬幣非常相似，每個水分子都有很多隨機行為，比如隨機的熱運動，它們是相互獨立的；也有非隨機的行為，比如接近時產生斥力從而發生碰撞，這些運動則會有互相之間的影響。
根據大數定律，隨著數量的增加，隨機熱運動產生的影響會漸漸消失；而非獨立的行為，比如分子之間的作用力導致的行為，則會占據主導地位。而后者的行為，則會在更大的宏觀尺度上產生影響。
正是由于上述的原因，我們才可以說這里有「一杯水」。
但大數定律并不能解釋所有的涌現行為，比如屏幕。
屏幕如何顯示圖像？
此時此刻，你正在看這句話、這篇文章。但有一個問題：你是如何看到屏幕上的字的？
要知道，如果你在更小的尺度觀察，它們都是一個個的像素點。而尺度一大，它們就變成了字。這與一杯水、一團氣完全不一樣：尺度增大了之后，我們能獲得更多的信息了。我們不能像處理水分子那樣，把像素完全平均，因為這樣我們就會損失掉絕大多數的信息。
差別究竟在哪里呢？在于關聯。
像素之間是可以有關聯的，這個關聯并不是來自于顯示器的結構，而是來自于我們的理解。
一個單獨的像素，我們可能會理解成一個點，也可能理解成一個噪點、壞點。兩個像素連在一起，就更有可能是一條線，當然也有可能是隨機的噪點。但一百個像素連成一條呢？我們就會非常確定——那就是一條線。各種直線、曲線組合在一起，就會讓我們獲得更多的信息，比如產生可以閱讀的文字。
在這個過程中，大數定律并不起作用。因為像素點之間不會互相平均掉，反而會相互加強——幾百個像素連成的線，它「是一條線」的可信度就遠遠高于幾個像素連成的線。之所以如此，都是因為在我們的理解中，像素之間是有關聯的，而這些關聯又是可以互相加強的，從而在大尺度上涌現出了更多的意義。
注：有的了解信息論的人，可能會覺得上面說的不對，這種尺度擴張的過程是會損失很多信息的。但如果將像素點引入隨機性，那么「一條線」的概率就遠遠低于「隨機點」的概率，對應的，在這個系綜（或者叫等價集合）中，這一條線所包含的信息就遠遠高于隨機的點。這里的關鍵是承認隨機性。
關聯，可以超越大數定律，產生更為復雜的行為。
商店與銀行的故事：負反饋與正反饋
下面我們可以討論一些更為復雜的問題了，比如社交網絡、鳥群、計算。要討論這些系統，我們還要引入一個概念，就是「反饋」。
反饋非常好理解，你跟朋友說話，你朋友的行為就是反饋，這個行為甚至不需要針對你自己，因為即便是作用于其他對象，也可以看作是對「系統」的反饋。
舉個例子，現在有100個人要去，兩個商店，A和B。他們有兩種策略：
1. 每個人隨機的去AB商店之一，概率是1:1；
2. 每個人都盡量選擇去人少的商店。
第一個策略的結果很容易猜到，那就是AB兩個商店的人數會非常相近，這是大數定律的結果，前面提到過。
第二個策略雖然不一樣，但結果還是一樣的，AB商店的人數也會非常相近。我們可以這樣理解，如果某一時刻A商店人多，而B商店人少，那么后來的人都會盡量選擇去B，進而AB之間的差異就被填平了。最終，兩個商店的人數會非常接近。這就是一個負反饋的過程。
結果雖然相同，但原理大不一樣。后者對于外界的擾動是有適應性的：假設突然給A商店加入30個人，由于人們都愿意去人少的店，很快兩個店的人數就會再次平衡。而策略1則不能適應。
這就是反饋的力量——反饋可以讓系統具有適應性。
注：而從更抽象的角度看，反饋可以看作一種計算以及信息的傳播，正是由于信息可以在系統中廣泛傳播，又可以得到計算，整個系統才會被連成一體，才會有所反應。
但是，負反饋得到的結果是非常容易預測的，那就是「平衡」。但生命以及社會中，有很多不平衡的結構，它們是無法用負反饋得到解釋的。比如人體的結構，比如社會的結構，都無法單獨用負反饋來解釋。
我們需要引入正反饋。
一個著名的「正反饋」的例子，就是社交網絡。比如在微博上，粉絲數很多的「大V」曝光率也很大，新加入的用戶就更容易看到這些「大V」，相應的，關注他們的概率也更大。
這就會導致「超級大V」的產生。有的微博頭部用戶甚至有幾千萬的粉絲數。如果每個人都完全平等、隨機的關注別人，那也會產生粉絲數很多的「大V」，但結構會完全不一樣，「超級大V」會比現在少得多，大部分用戶的粉絲數都處在適中的范圍內。
為了解釋這個現象，網絡科學家Barabasi提出了「優先連接模型」，引入了「用戶更容易關注粉絲數更多用戶」的正反饋機制。非常好的模擬了很多社交網絡。順便多說一句，在很多復雜系統中，我們都可以看到冪律的行為，這些行為或多或少都與正反饋有關。
正反饋的機制不僅僅可以模擬一些特定的結構，它還可以與負反饋結合，形成「智能」的系統。
Conway提出的「生命游戲」就是這樣的一個系統。它是一個運行在棋盤格上的模型，每個格子可以是黑色的（生），也可以是白色的（死），它的規則是這樣的：
1. 如果一個黑色格子周圍的鄰居少于兩個，那它就會因孤單而死（正反饋）；
2. 如果一個黑色格子周圍的鄰居大于三個，那它就會因擁擠而亡（負反饋）；
3. 如果一個白色格子周圍恰好有三個黑色格子，那這里就會出生一個黑色格子（正反饋）；
4. 其余情況則不變。
可以看到，它是正反饋與負反饋的結合，但它的行為卻極為復雜：
事實上，它的行為不是「一般的復雜」，Conway的生命游戲系統是「圖靈完備」的。這意味著，我們可以在「生命游戲」中構造出一臺通用計算機！從而可以運行任何算法，這如果按照Wolfram的標準，它就已經達到了「復雜性的極限」了。
圖靈完備、計算等概念這里不多敘述，我們還是看「反饋」。為什么既要正反饋，又要負反饋呢？
因為純粹的正反饋會導致系統崩潰，比如說，如果氣體膨脹的時候氣壓還會增加，那這個系統就會急速膨脹，最終不受控制。
而純粹的負反饋又會非常無趣，因為最終會達致一個平衡態。
只有正反饋與負反饋的結合，才最可以涌現出復雜性。
大數定律的用處
我在一開始提到了大數定律，講到了它對于「一杯水的存在」的意義。而后面說到了一些更有意思的內容：反饋、生命游戲、圖靈完備……
有的人現在可能會覺得，大數定律太過于平常，在復雜系統中毫無意義。是這樣的嗎？答案是否定的，這里我想舉一個例子來說明：
北美洲有一種蝴蝶，叫做「美洲帝王蝶」，每年氣候寒冷的時候，它們就會從加拿大的東南部，遷徙到墨西哥中部的米喬坎州，路途上千公里，而最終卻能聚集在這么小、這么確定的地方。
它們靠什么來導航呢？
已有的研究表明，它們會使用地磁場、地面的信息來導航。但這些研究都沒有解釋一個現象，那就是它們的路線非常直。
對于飛行的群體，比如鳥群、蝴蝶群等，科學家早已提出了很多模型，比如基于多主體（Agent-based model）的模型，可以很好的模擬鳥群的飛行。然而它們都沒有告訴我們：這些群體到底是如何保持方向的？
墨西哥學者Carlos M. Hernandez-Suarez最近提出了一個理論，用簡單的模型解釋了群體導航的原理：
想象一個隨機行走的過程，如果只有一個粒子，那它的路徑就是非常隨機的。
而如果有兩個粒子，它們的行為則變成這樣：
1. 首先按照一定概率 theta 去走向另一個粒子；
2. 還有 1-theta 的概率做隨機行走。
但越從眾，導航就越精確嗎？可不見得。前面說到了反饋的思想，這里的這個行為就是正反饋，這意味著如果有偶然的偏航，正反饋會加大這種偏航的行為。所以單純的正反饋是不行的，越從眾，群體的行為可能就越無法預料。
這時需要什么呢？需要有一部分個體保持隨機的行走（每次隨機的修改一點自己的方向），不受其他個體影響。這時群體就既能聚集成團，又能保持方向。
作者對這個結果的解釋似乎還停在動力學（dynamic）的層面，但我們其實可以從大數定律的角度去理解：雖然每個個體方向的變化都是隨機的，但根據大數定律，它們整體會有一個「記憶」，也就是它們的平均方向。這個記憶會非常穩定，而其他「從眾」的個體，則可以從這個記憶中得知正確的方向。換句話說，從眾概率 theta 如果在一個合適的位置，那這個群體中就會有一部分個體，通過隨機行走來儲存正確的方向，實現長程的導航。
涌現還有很多尚未解決的問題，比如層級如何出現？又如何分辨層級？一個系統中是否存在一個「特殊的尺度」？在這個尺度上，系統展現出明確、復雜的因果關系。在這個尺度下，行為混沌而難以理解，在這個尺度上，則是整體的行為，對于理解規律幫助不大。這些都是現在尚未完全解決的問題，后面會寫一些文章慢慢討論，歡迎關注。
參考文獻
[1] Miller, John H, and Scott E Page.?Complex Adaptive Systems: An Introduction to Computational Models of Social Life. Vol. 17. Princeton university press, 2009.
[2] Barabási, Albert-László, and Réka Albert. "Emergence of scaling in random networks."?science?286.5439 (1999): 509-512.
[3] Hernandez-Suarez, Carlos M. "Aggregation is the key to succeed in random walks."?Mathematical biosciences?279 (2016): 33-37.
