線性回歸是用于度量兩個變量間關(guān)聯(lián)關(guān)系的一種技術(shù)手段。例如有一個獨立自變量X，一個依賴于X的因變量Y，線性回歸可以幫助我們得到一個最佳擬合數(shù)據(jù)集的線性模型Y=α+βX。舉個栗子，特斯拉為因變量Y，標(biāo)普500ETF作為自變量X，通過線性回歸，我們就可以知道特斯拉股價是如何隨著標(biāo)普500ETF價格波動而波動的。
Python的statsmodels是一個內(nèi)建的線性回歸庫，首先我們先利用它自定義一個線性回歸函數(shù)，該函數(shù)既包含了線性回歸的執(zhí)行，同時也把結(jié)果以圖表的形式進(jìn)行展示。
最終它會給出一個最佳匹配的線性模型，但是該模型是否能夠反映變量間的真實關(guān)系，卻還需要進(jìn)一步的判斷，輸出的結(jié)果中會包含模型的一些統(tǒng)計學(xué)指標(biāo)，如R方（R-squared）與F檢驗，這些指標(biāo)可以從一定層面上反映線性模型的好壞。
自定義函數(shù)中使用的回歸算法為最小二乘法，首先來簡單介紹一下其數(shù)學(xué)原理
最小二乘法（OLS/Ordinary Least Squares）
線性回歸的過程可以看做是為了獲得最佳擬合效果，而不斷移動回歸線的過程。如何定義“最佳”，就需要一個目標(biāo)函數(shù)，在最小二乘法里，目標(biāo)函數(shù)被定義為：
注： 其中a和b，代表Y=α+βX中α和β的候選值，最小二乘法的目標(biāo)函數(shù)表示將每個真實的數(shù)據(jù)點與擬合線上的差異取平方，并進(jìn)行求和，擬合度越高，這個值也就越小
經(jīng)過迭代優(yōu)化，最終就會得到一條最優(yōu)的回歸擬合線。
示例
接下來我們使用特斯拉（TSLA）和標(biāo)普500ETF（SPY）2016年的價格數(shù)據(jù)來示范一次線性回歸，我們先利用pct_change()函數(shù)將價格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為價格波動率數(shù)據(jù)，然后對這兩組波動率數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸。
簡單的幾行代碼就完成了一次線性回歸，但是面對打印的結(jié)果，可能會有點懵，結(jié)果中涉及一些統(tǒng)計學(xué)概念，這里不做過于深入的講解，目前只需要明白，線性回歸算法一定會得到一個結(jié)果，但能否很好的反映真實關(guān)聯(lián)，還需要對結(jié)果的各項指標(biāo)進(jìn)行分析才能確定。
注：其中OLS表示使用的為最小二乘法進(jìn)行回歸
R-squared/Adj. R-squared 指標(biāo)表示回歸線對數(shù)據(jù)的擬合程度
F-statistic/Prob (F-statistic) 表示模型是否能顯著預(yù)測因變量的變化
注：const代表常量（α），x1標(biāo)識自變量前系數(shù)（β）
得到的回歸線為Y=1.138X+0.0005
注：Dubin-Watson 用于檢測數(shù)據(jù)是否是自相關(guān)的
最終繪制的圖形如下，包含了散點圖與最終的回歸線。
已知參數(shù) vs 估計值
心中請牢記一點，所有通過線性回歸得到參數(shù)都支持對于真實α與β的一個估計，除非你知道數(shù)據(jù)的真實處理過程，否則你將永遠(yuǎn)無法知道背后真正的α與β。根據(jù)明天的數(shù)據(jù)產(chǎn)生的回歸結(jié)果就可能與今天的結(jié)果不盡相同，真實的參數(shù)也可能會發(fā)生變化，所以在顯示的分析過程中，對于參數(shù)估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差（standard error）要極其的小心，標(biāo)準(zhǔn)誤差會在之后的文章中詳細(xì)介紹。
我們通過兩組數(shù)據(jù)來說明下，線性回歸雖然都會得到一個線性模型，但是卻不一定是有效的。
第一組數(shù)據(jù)，X與Y為兩組隨機數(shù)，
不出所料，我們得到了一條回歸線（Y=0.0972X+0.4187*），但是可以看到R方值非常小，由此可以判定這個線性關(guān)系是無效的。
第二組數(shù)據(jù)，我們在X上增加一些人為噪聲數(shù)據(jù)來構(gòu)建出Y
再來對比看看回歸結(jié)果，回歸線為Y=1.0405X+0.0081*，這次R方非常接近于1，由此可以推斷Y與X之間確實存在線性關(guān)系的可能性較大。
如何評估回歸結(jié)果
一個有效的回歸模型依賴于以下幾條假設(shè)
- 自變量不是隨機的
- 誤差項的方差在觀測集內(nèi)為常量（這條對于評估擬合的好壞程度至關(guān)重要）
- 誤差項不是自相關(guān)的，杜賓-沃森統(tǒng)計用于檢測自相關(guān)性，如果結(jié)果接近于2，那么則不存在自相關(guān)。
-
誤差項服從正態(tài)分布。如果這個條件不滿足，則有些統(tǒng)計則無法使用，如F檢驗。
如果以上條件均滿足，那么我們就可以放心的使用結(jié)果中的統(tǒng)計資料來分析擬合程度，例如R方體現(xiàn)了模型可解釋的因變量的總變分（total variation），即模型對于數(shù)據(jù)的擬合程度。
在作一個預(yù)測時，孤零零的預(yù)測值往往是不夠的，還需要補充置信區(qū)間，上例的線性回歸結(jié)果中包含了95%的置信區(qū)間，我們通過seaborn庫可以將此部分信息也繪制到圖表當(dāng)中。
示例代碼
95%置信區(qū)間
回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差（standard error）
標(biāo)準(zhǔn)誤差用于衡量誤差項（?）的標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）的一個指標(biāo)，通過線性回歸的尺度參數(shù)（scale parameter）開方得到。(注：scale parameter，location parameter)
估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差公式為：
**注：最標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系式為：Y=α+βX+? 其中?表示誤差項 **
如之前得到的回歸線，得到的回歸參數(shù)均為估計值，
考慮到回歸參數(shù)本身的標(biāo)準(zhǔn)誤差，標(biāo)準(zhǔn)誤差公式調(diào)整如下：
其中Sf為尺度參數(shù)（scale parameter）,由此我們可以得到Y(jié)值得95%的置信區(qū)間為
其中tc為 t檢驗95%置信度下的關(guān)鍵值(critical value)
最后，比較下線性回歸與相關(guān)性分析的一些異同
線性回歸 vs 相關(guān)性分析
- 線性回歸會給出一個特定的線性模型，但是它的使用僅限于變量間是線性相關(guān)的情況。
- 相關(guān)性是線性相關(guān)與非線性相關(guān)的統(tǒng)稱，但它不會產(chǎn)生一個實際模型。
- 兩者都通過協(xié)方差進(jìn)行度量
- 將X多維化，線性回歸可以得到Y(jié)與多自變量間關(guān)系的模型
本篇完，感謝閱讀，歡迎訂閱:)
