上文介紹了簡單的一元線性回歸，再進一步將自變量擴展到多維，就是今天這邊介紹的重點——多元線性回歸。例如假設因變量Y與自變量X1,...，Xk之間存在線性關系：
多元線性關系
注：其中?表示誤差項
在金融中，也經常會寫成以下形式，這就是我們常說的alpha（超額收益）和beta（風險收益）的由來
金融常見寫法
回歸的原理與一元線性回歸類似，需要找到最優的擬合平面（超平面），同樣還是需要使用最小二乘法，使得平方誤差值最小。一旦得到了回歸系數（既各β系數），我們就可以通過該模型對于X的新觀測值進行Y值預測了，每個βj告訴我們如果其他系數保持不變的情況下，Y會隨著其變化的程度。
首先，我們先構造一個已知的線性模型Y=X1+X2，其中X2我們通過在平方拋物線加上X1得到，所以可以線性模型也可寫為Y=2X1+X1^2：
示例代碼
繪制圖形
有了原始數據后，我們就可以使用
statsmodels對其進行線性回歸了
示例代碼
最終得到的線性模型為：
線性回歸結果
可以看到這里模型中X1前的系數是1，而沒有考慮X2=X^2+X1，這是因為在回歸過程中是元素是被分割開來處理的。
多元線性回歸示例
在真實的股票分析過程中，也有類似的情況，例如對兩只股票數據進行線性回歸，可能會得到很高的β值，但是如果我們再引入一只第三方股票（例如標普500ETF），可能才能發現前兩只股票的關聯都是源于與這只基準股票，通過這種方法，可以更為準確地衡量兩只股票的顯著性。
第一步，我們先獲取兩只股票（AT&T與Fiserv）與標普500ETF(SPY)的價格數據，并對AT&T與Fiserv進行一輪線性回歸
第二步，再引入標普500ETF的數據，將其作為另一個自變量引入回歸過程
引入500ETF數據
得到回歸線后，緊接著的一個問題就是如何對其進行驗證，我們先采用一個最直觀的辦法——將自變量、因變量預測值繪制為圖表，可以過濾一些明顯存在的問題。
示例代碼
繪制圖表
注：黃色為預測值，藍色為AT&T的真實價格
當然，也可以使用更為專業的統計學分析進行深入的驗證與分析，summary()函數提供了多元線性回歸的一些統計學數據。
指標1
注：OLS表示使用的為最小二乘法
R-squared/Adj. R-squared 指標表示回歸線對數據的擬合程度
F-statistic/Prob (F-statistic) 表示模型是否能顯著預測因變量的變化
指標2
const代表常量（α），x1標識自變量前系數（β1），x2標識自變量前系數（β2）
得到的回歸線為Y=10.8489 - 0.1936X1 + 0.1836X2
模型假設
如上這些統計學指標是否有效，取決于如下的一些假設（與上篇文章中一元線性回歸的假設一致）：
- 自變量不是隨機的
- 誤差項的方差在觀測集內為常量（這條對于評估擬合的好壞程度至關重要）
- 誤差項不是自相關的，杜賓-沃森統計用于檢測自相關性，如果結果接近于2，那么則不存在自相關。
- 誤差項服從正態分布。如果這個條件不滿足，則有些統計則無法使用，如F檢驗。
除此之外，多元線性回歸模型還需要一個額外的假設： - 自變量間不存在嚴格線性關系，否則就會出現相同的線性方程有為多種表現方式的情況，從而無法計算出唯一的β系數。
模型選擇
如何為因變量找到最合適的模型，是我們關注的究極目的。引入太多的自變量，可能會導致過度擬合，但如果自變量過少，擬合效果又會太差。目前業內最為主流的做法是逐步回歸法。前向逐步回歸從一個“空模型”起步，對每個獨立的自變量進行檢驗，從中選擇使得模型最優的一個，通常使用AIC或BIC進行衡量（越小越好）。然后之后每步從剩下的自變量中選出一個增加到模型中，使用線性檢驗該自變量組合，并通過AIC與BIC找到最優的一個選擇，這樣最終就能得到一個最優的模型。這種方法也有其局限性，如果特定的自變量在算法執行的前段就被剔除出算法，該方法可能會找不到理論上的最優模型，所以在現實使用中，逐步回歸法還是需要結合人為的判斷。
模型選擇示例(自變量間存在嚴格線性關系)
首先我們手工構建一個包含4個自變量的線性模型：
手工構建的線性方程
為自變量生成對應的序列數據，各自變量間都有一定的關系，但需要注意的是對于X4變量，這里直接將其賦值為X1的數據的5倍（嚴格線性關系）
示例代碼
自變量圖示
我們使用
statsmodels直接對其進行多元線性回歸，
示例代碼
注：可以看到結果中Beta2與Beta3擬合還是非常準確的，但是Beta1和Beta4則存在較大差異
由此可見，自變量間的嚴格線性關系會導致回歸系數的不確定（逐步回歸法也無法規避該問題）在這種情況下，就應該人為將X4剔除。
原理也很容易理解，因為如果X1與X4間存在嚴格線性關系（如X1=X2），那么線性方程就可以轉化出無數的可能性（Y=X1+X2=0.5X1+1.5X2=1.5X1+0.5X2）。
還有很多方式去檢查模型與自變量的優劣，這部分會在之后的文章中再深入介紹。
本篇就到這里，感謝閱讀，歡迎訂閱:)
