嗨 歡迎回來 上次課我們講到了概率
那是為了在這節課中運用概率的知識在不確定性條件下做出決策
為此 我們首先要介紹一個新方法稱為決策樹模型
在出現種種意外情況和不確定事件
或者我們對未來狀況一無所知的情況下
這個模型特別有用
我們學習這個模型可以使我們更好地思考
做出更優的選擇和決策
而不是兩手一攤 說我不知道該怎么選 就選這個吧
此外 還有兩個原因
其一 用它來推測小概率事件推測他人的選擇
通過研究他的選擇 來理解他對世界的看法
以及解釋發生了什么事
其二 我們可以用決策樹來多了解我們自己一點點
用一個有趣的例子 我們就放到最后講
好 我們開始吧 決策樹是什么？
其實決策樹是很直接的
你眼下要做一個選擇 比如是不是要買東西
如果我不買 我的收益是0如果我買了 可能會得到正5的收益
在這種情況下 我應該買因為預期收益為正 對吧？
決策樹的分支代表我們每次選擇
我們選擇分支中回報最高的那一支
我們真正想看的是 當出現各種意外事件和不確定事件 讓選擇變得有點困難的時候
舉個例子 想象這么一個場景
你準備去趟城里 手里現在有一張去博物館的票 一點到兩點
假定博物館離火車站相當遠
你查看票價發現3點鐘的火車票只賣200塊
可是 4點的車票就要賣400塊
你問自己 我該不該買這張票？
也就是說 我是不是應該在3點的火車票賣完之前把它買下來 省一筆錢
而你趕不上火車的幾率是40% 你就想了
如果我來不及 趕不上火車
要是真沒趕上 我就得買兩張票了
也就說我之前買票的200塊就打水漂了這種情況下我們怎么選擇呢？
這不算難 我們可以來畫個決策樹
具體步驟是 首先畫個方框代表我們的抉擇問題
買還是不買呢？沒那么簡單 不是嗎？
如果我買 那么有60%的幾率我能趕上火車
我們在這里寫個6 有40%的幾率趕不上
我現在要決定我買還是不買因為情況有一點復雜
要解決這個問題就得通過決策樹來做出好決策
我首先要標明每種選擇的價值
我不買3點鐘的票 我就要花掉400塊別管這張貴票了
如果我買3點鐘的票 我又趕上了車好極了 因為我只花了200塊
但是如果我買了3點鐘的票又沒趕上車我就得花600塊
現在必要的信息都收集全了我把所有情況的回報寫在每個分支的末端
每個分支發生的幾率也都有
我現在就要決定哪個選擇更好我們來弄得整潔好看
我的數據都在這 現在該決定了
很明顯 我不買3點鐘票就花400塊
如果我買呢？有60%的可能我花掉200塊加上40%的可能
我花掉600塊 那么200乘以60%得到120再加上這里的240
得360 所以我買3點鐘票結果是花掉360塊
不買的話花400塊于是這個選擇相當簡單了 對吧？
買 花360 不買 花400既然我想要盡量減少開銷
我應該做的事情就是買3點鐘的票這是個很簡單的例子
我們再來分析個復雜點的假如你想申請一個獎學金
金額5000塊 這看上去不錯不過申請人數上限是200人
于是你就跑到他們的辦公室去打聽
結果知道你能進前200名
要申請這個獎學金你得寫一篇2頁的短文
告訴他們你憑什么能拿這個獎 然后他們再從中選出10個人進最終候選名單
進了名單的每人得再寫10頁紙的短文
好了 該做決定了 你能拿5000美金
這是一大筆錢了 但你得寫2頁短文
但如果你能進最終候選名單就再寫10頁 有一定概率進最終名單
進了最終名單后又有一定概率獲獎面對這個局面
你在思考 怎么辦呢？我們需要知道什么？
需要知道事件發生的幾率成功進入最終候選名單的幾率
和最終獲勝的幾率 這很簡單
我們還需要知道回報 我們已經知道獎學金的回報 還需要知道的是寫短文的花費
那么 使用決策樹的第一步 就是確認支出
假設 寫一篇2頁短文的支出是
就算20塊吧
我寫一篇2頁短文的時間值20塊
那么10頁的文章呢？可能只要40塊
你可能會問怎么只有40塊那是因為我已經寫好了2頁短文
文章的輪廓已經有了能進最終名單讓我很興奮
那么將我的文章拓展一下就沒那么困難我們就假定40塊吧
好了 信息收集完畢收益支出和各種幾率
那么我們現在應該畫決策樹 對吧？
第一步 畫出決策樹畫的同時把所有的回報和幾率寫上去
保證每個信息都寫對了
都畫好之后 我們就可以反向求解和之前一樣
確認每個分支的價值然后找出自己應該做的選擇
我們開始吧 問題是我要不要寫這個短文？
不寫 什么都得不到
寫 情況有點復雜了因為我們會遇到某個節點
就是我會不會被選中 如果選中了
我將決定寫不寫第2篇文章可能不會寫 但很可能會寫
寫了以后是否獲勝也是隨機的如果我獲勝了
那當然很好 如果我沒有獲勝那就沒那么好了
不過我不會把那些笑臉或者哭臉畫在這里
實際上 我得把它們轉換成數字一起來做吧
不會很難的 如果我不寫短文 收益0那么我被選中的幾率呢？
從200個申請人里面選10人進最終名單我們可以說 選中我的幾率是5%
95%的幾率我會落選 第2篇文章我可以選擇寫或不寫
接下來 如果我獲勝了這里又有個轉變節點
我獲勝的幾率有多大？10% 十分之一
失敗幾率是90% 我的幾率都在這里了
現在該搞明白回報了 如果我沒寫短文
如果我寫了第一篇短文 結果沒中我損失了20塊 就是負20
如果我被選中 但我沒寫第二篇文章我同樣損失20塊
如果我寫了第二篇短文結果還是沒中
我損失60美元 因為我寫了兩篇文章一篇20 一篇40 但如果我獲勝
我將拿到4940美元 5000減60減去寫文章的支出
我們稍稍整理一下 這就是全部的分析了
我們眼前這美妙的決策樹上面掛著我所有的幾率 我現在要做的就是
確認我的回報 做這些事情我能得到什么回報？
好 我們反著分析 從這里開始如果我贏了 我有十分之一的幾率
最終獲勝 那就是4940用0.1去乘4940 再加上
0.9乘-60 好了 得到多少0.1乘以4940就是494
0.9乘60得-54 最后得到440把440寫在這里
這些東西就可以擦掉了 把440寫在這里
讓我們來看看這個問題 我該不該寫第二篇短文 結果很明顯了吧
如果我寫了我期望的收益是440如果我不寫
我期望的收益是-20好吧 把這些擦掉吧
如果我寫 440 不寫 -20 很清楚了
沒錯 我應該寫這篇短文 那么接下來
如果我寫了第1篇短文我是有一定可能被選上的
如果我被選上了我的期待收益是440如果我沒被選上我損失20
來計算一下價值吧 440對應著5%
另95%的可能是我會損失20我們要把兩者加起來
440乘以5%得22 -20乘以95%得-19
我們把這兩項加起來 得到3
我就用3來替換掉這整條分支反著推得到3
那么現在看看我的抉擇吧我是否該寫第1篇短文？
不寫 一無所獲 寫 期待收益是3那我應該怎么做？
看來 我可能應該選擇寫 因為收益為正
有趣的事情來了 如果有300個人申請
甚至是400人呢？我可能就不會想寫那篇短文了
可見 畫決策樹分析決策樹能給我們帶來的好處是
讓我們知道這件事是不是真的值得去做這就是怎樣用決策樹來做決定
我們來搞點更有意思的吧
推測一下他人對幾率的想法
假設你有一個朋友 她告訴你有那么一個項目
聽上去風險不小但有50000美金的回報
不過你至少得掏2000美金你朋友說 她已經投資了
你也一起吧 絕對劃算
到決定的時候了 你要不要投資呢？首先我們要知道
她認為投資成功的幾率有多大？
我們來畫決策樹吧 決定一下自己要不要投資
有些可能會成功（概率為P）也有一定幾率會失敗（概率為1-P）
如果成功 她能得到50000美金 我也一樣
如果失敗 我損失2000美金來看看我們的朋友是怎么想的吧
她想的是50P 減去2*（1-P）大于0
在實際投資之前她希望確定這個分支的預期收益為正
我們來計算一下 這里是50P
減去2加上2P大于0我把帶P的式子全部移動到這一邊
得到52P 希望它大于2可見 我們的朋友認為
P大于2/52 至少差不多在4%左右現在我們可以來考慮一下這個投資
我真的認為有4%的回報率嗎？
顯然我朋友是這么想的 因為她已經掏了錢
我還沒有打定主意 這時候我也可以推測這才是重點所在
我可以從她的決策來推測她的想法她認為
投資成功的幾率會超過4%
不然她也不會投錢進去了來看看決策樹
就算我們不知道真正的幾率 也可以從他人的行動中 推測出他們對這個幾率的看法
最后這個比較有趣
通過決策樹我們能推測回報有時還能推測自己認為的回報
和我們考慮問題的方法 場景如下
很有意思 你手里有一張候補機票回家去看望父母
你早上給航空公司打電話
得知你大概有三分之一的幾率能飛
三分之二的幾率飛不了你得決定去不去機場了
或者你就留在學校 周末不回家
假設你決定不走 你決定留在機場
使用決策樹 你就能精確地知道自己到底有多想看望父母
我是什么意思呢？來分析吧 決定在此
你留在學校了假定這時的回報是底線 為0
你也可以去機場 三分之一的幾率能飛
給這個分支命名為V代表看望父母對你的價值
這里則有三分之二的幾率這里我們應該標記一個小小的支出 -C
代表坐出租車去機場 來回要用掉的幾個小時
或者坐火車來回機場 另一種情況 你飛不了
這時候你的支出就是單純的-C因為你選擇留學校
那就意味著 用三分之一的幾率去乘
看望父母的帶來的價值減去去機場的支出 再加上
三分之二的幾率 乘以 -C去機場的支出 整個等式的結果
要小于0 意思是 V/3 算上這些C-C小于0
按照這個算式 結果就是
V要小于3C 結論出來了 對你來說
看望父母的價值小于去機場的支出的三倍
這個故事告訴我們可能你不是那么想回去看望父母 那么如果
你確實前往機場去賭候補機票的運氣那結論就恰恰相反
意味著V大于3C 你真心想回去看望父母
這是一件大好事 我很確定他們會非常高興見到你回家
好了 決策樹的內容就到這里 很有趣
我們已經展示了在各種隨機和意外情形下做決策的方法
決策樹很有用 特別是針對類似的理性決策
再強調一次 你用不著死守這個模型的指示
但是這個模型仍然是不錯的幫助是你做出更好決策的向導
此外 我們也用決策樹來推測他人對幾率的想法
當我們的朋友想掏錢投資
我們就可以推測 她認為至少有4%的幾率投資能成
那么你在了解這些事實之后
可以這樣想 我做出了某個選擇這代表著我對這個世界的看法
或者我對我父母的看法而這些看法的基礎都來自
你對幾率的估算好了 謝謝大家