李群和李代數（一）
數學是一直喜歡的，不過大多數時候是淺嘗輒止，一本 Nakahara 的 “Geometry, Topology and Physics” 已經足夠我混跡江湖了，常伴身邊，翻了又翻。一個朋友和我說：“我真高興，我不是你，不用看這么多數學。” 有時候也羨慕100年前的物理學家，會個微積分就可以大殺四方，群論，微分幾何和拓撲都是數學家的奇技淫巧。不過更多的時候還是欣喜可以學到這么美麗精巧的東西，我想說：“我真高興，我不是數學家，不用理會數學中那么多的細枝末節。” 當然了，數學懂的也多，也就越來越可以領會多一些的“細枝末節”的樂趣，而數學本身卻像是分形一樣無窮無盡。
下面是我看的一些參考書。
- A. Zee 的 “Group theory in a Nutshell for physicists”
徐一鴻的大名就足以保證書的質量了。這也是他普林斯頓出版社“果殼”系列（這個出版社還出了很多其他“果殼”涵蓋物理種種）：“果殼里的場論”，“果殼里的相對論” ，“果殼里物理學家的群論”的最新品。相對論那本在圖書館看到了翻了翻，覺得并沒有他的風格，小心翼翼的，完全沒有另外兩本的信手拈來有趣。這本書教會了我一些從物理角度看數學（如果有這種的說法）的感覺。比如從對稱的角度來理解量子場論（量子力學），不管是場的一種構型或是量子系統的一個狀態都由一個包涵了所有信息的量子態（滿足一定代數結構的抽象的算符）決定。對稱性對應了一些對稱（數學結構稱為群）操作，這些操作把一個算符變成其他的算符，新的算符可能并不對應了這個系統的任何量子態。如果一個系統具有某種對稱性就是說，在對稱操作下，量子態被變成量子態。一個量子態也可以理解為一個理論的解，所以剛才的描述也可以說是，對稱操作可以把一個解轉換成另外的解。這里有個很深刻的物理內涵：對稱的物理系統的解并不一定要求具有系統本身的對稱性，但是如果一個解已知存在，那么所有的在對稱操作下得到的新的解也一定是存在的。所以看似紛繁的世界的可能源于一個高度對稱的簡單的理論（描述所有粒子的標準模型有12個基本對稱操作）。所有的的解也可以由在對稱操作下不同的轉化方式來分類。每一種轉化方式對應了一種對稱的表示（representation）。通過研究群的表示我們就能知道一個系統的可能的量子態，而所謂的基本粒子就對應了基本（不可約，irreducible）的群的表示。我們也可以理解為群的表示（數學）和量子態（物理）有一個 一對一的對應，當我意識到這個的時候，覺得生活真美好。
這本書李群李代數部分講的并不多（這就是for physicists 的部分），只是講了一下簡單（simple）李群的結構和分類，像物理那樣講的，來龍去脈的，例子和細節都很豐富，做具體計算的時候，我參考了很多。 - SUNY石溪的李群李代數的講義 by Alexander Kirillov. Jr.
楊振寧在石溪待了好多年，那的理論研究所應該很不錯的，物理系的大樓很漂亮，讓我一見傾心。
這個就是比較完整的對李群還有李代數的入門介紹（introduction）了。李群有一個拓撲結構或者說是流形（manifold）結構。流形（manifold）可能是物理學家最喜歡的詞。“流形”這個中文翻譯簡直好的不能再好了。最最粗略的理解就是，流形就是一個彎曲的空間，但是在空間的每一點的局部都可以近似為一個平坦的補丁。在那塊平坦的補丁上就可以定義一個向量空間來表示方向。如果我們知道了每一塊補丁（local），就能完整地拼出整個(global)流行了。李群的向量空間就是李代數。李群出了這個流形或是拓撲結構以為還有自己的代數結構（群結構）。結果呢由于這個群結構，我們只需要知道一塊補丁，李代數，就能了解絕大部分的李群結構了，因為其他補丁都可以由群結構和李代數組合得到。
之前我在物理上遇到的所有的李群或是李代數都是簡單（simple）的。這里簡單不是一個形容詞，是代表了一大類李代數。李代數大概就兩大類：簡單（simple）的還有可解的（solvable）。所有的李代數最后都可以分解成這兩類的組合。這兩類是李代數的代數結構復雜程度上的兩個極端。最最簡單的李代數是阿貝爾（Abelian）的，可以說是沒有代數結果。而可解的就是最最接近的Abelian的非平凡的代數結構，可以理解為許多AbelIan李代數的一種組合。Simple的李代數的代數反而是最復雜的，因為是完全無法簡化分解的。但是有趣的是，所有的簡單的李代數（在復數域上）已經被完全分類了，而且就有那么幾種。這樣我想起了愛因斯坦的一句名言：“God is subtle, but He is not malicious”, 山窮水盡必有柳暗花明。
像我的導師說的，物理學家太熟悉simple李代數了而往往被他限制和蒙蔽而忘掉了李代數另外一大類。 - 陶哲軒的博客筆記 “Notes on the classification of complex Lie algebras”
陶哲軒應該是現在最負盛名的數學家之一了吧。他的博客記錄了他很多的數學筆記和感悟。他是那種能站在高處把很多數學不同分支融合在一起的人。這個是很厲害的境界。一般做學問的人，都有一個自己的核，一個扎根很深的知識體系，有了這個核，在看其他的也就容易融會貫通。有點像金庸小說里的小無相功的感覺。但是要做到九陽神功那種在學他功夫都可以很快融會貫通的境界就需要多個核。
這個筆記的關注點也是simple李代數的分類。像他自己說的，這個筆記是他的整理和學習的過程。可能沒有他很多自己獨到的理解，不過看著大師做推導和整理總是有意思和受益匪淺的。同樣的太祖長拳，喬峰打一樣威力驚人。 - “Lie groups, Physics, and Geometry” by Robert Gilmore
我最喜歡的講李代數的書，因為他用矩陣語言啊，物理學家兩外一個最喜歡的詞，管你什么代數什么幾何什么拓撲，都給你整成矩陣，我就可理解就可以計算有意思的東西了。開篇就讓我驚嘆不已。他敘述了另外一個研究李群和李代數的動機，可能也是最初的數學家的動機：解微分方程。群論的發展是由伽羅瓦研究代數方程開始的，這本書的第一章就是介紹這個。這個典故我是聽過很多年的，真的很開心可以具體了解這個理論。從這個角度和動機出發，似乎李代數很多東西都變得自然和“原來如此”。
每一章都有一個很完整的總結，好書！
在這本書里我第一次學到了對稱群，動力學（dynamic）對稱群還有譜生成（spectrum generating）群的概念，豁然開朗，其中樂趣，不親身體會不能描述。 - Springer-Verlag 出版社的數學小黃書系列（卷20&41） 李群李代數 I III by A. L. Onishchik （I III）& E. B. Vinberg（III）
這個就是比較全面正式的李群還有李代數的書了。作者是俄國代數大師。我看這本也是要弄清楚有些東西最最完整和精確的定義。比如Cartan algebra 比如 rank。這個是我導師要求的，他不太信任那些似是而非的東西。這本書用他的話就是：“可以信任的。” 雖然我浙的校訓是“求是，創新”，但是這本書的“求是”在我眼里就是有點偏離主題了。還有就是我懷著一種略微“功利”的心態來學數學，所以其中的美也被我當爛白菜一鍋東北亂燉了。不過有了這本最最堅實的地基，不怕上層的樓歪到哪里去。
再有時間就整理一下私的李代數的筆記。
