相對論（relativity），量子力學(quantum mechanics)和超對稱(supersymmetry)
相對論（一）
在我有生之年，可能遇到的最讓我開心的事就是看到超對稱在LHC被證實了，那時我一定激動地熱淚盈眶，朝聞道，夕死可矣。有些時候和系里面的朋友聊天，朋友偶爾抱怨現在并不是研究物理的好年代，羨慕或是嫉妒這張經典的索維爾會議（Soviet conference）照片里所有的人。
雖然相對論還有量子力學還沒有完全的自洽起來從而得到終極的量子引力理論，但是越來越多的經驗似乎在告訴物理學家，我們并不需要其他的假設，單單是相對論還有量子力學就足夠我們得到宇宙最終的答案。有一個比喻是這樣的，如果把一個懂的數理邏輯的人關在一個黑屋里讓他隔絕所有對自然的觀測，然后只告訴他自然的規律要滿足相對論和量子力學，那么最后他所導出的物理模型會和我們看到的世界差不太多，可能有些基本常量的數值不太一樣。
相對性原理可以理解為一種對稱性原理，也就是每個慣性觀測者應該是等價的（洛倫茲對稱），換句話說就是要求系統本身具有洛倫茲對稱性。在之前的文章（李群和李代數）里我也提過，系統的解（量子態）和群的表示有一個一一對應。洛倫茲的群表示為SO(3,1)，基本的操作是4維時空的轉動。SO代表轉動，3表示3個空間方向的轉動；那個1和時間維度有關，因為時間是單向的，所以轉動操作失去了意義，取而代之是稱為boost（速度影響時間的流逝）的操作。常見的洛倫茲群的表示是標量(0)還有向量(1)。還有比較特殊的表示:自旋子(spinors)(1/2). 每個表示后面括號里面值可以理解為如果你對這個量子態進行一個周天的轉動，這個量子態轉動的圈數。所以標量不會動，向量會跟著轉一圈，但是spinor只轉半圈。如果用一個箭頭來表示spinor(??)，一周天的轉動操作后，這個spinor變成(??)，和之前完全不同的一個量子態。你可能覺得很奇怪，為什么轉動對稱性消失了。其實不盡然，記住雖然系統本身具有對稱性但是我們并不需要系統的解具有相同的對稱性，對稱操作是把一個解轉化成另外一個解。所以我們知道(??)這個態也一定存在的。(我們可以考慮spinor的能量，能量在空間轉動下表現為標量，所以進行一個周天的操作下不會改變，我們就可以得知 ??和??spinor應該有相同的能量；如果spinor和一個空間向量相互作用，很多人知道spinor會和磁場相互作用，那么進行一個周天的轉動操作下，能量不應該變，磁場方向不變，但是自旋方向變了！自旋和磁場的相對方向決定了spinor的勢能。那么按照這個分析，spinor在周天轉動下，能量應該發生改變！這似乎有個矛盾，其實從這個我么可以得知磁場并不是向量，而是所謂的偽(pseudo-)向量。)
（一切看起來都很合理除了這個自旋表示的存在本身。一個理解是我們之前說量子態和對稱的表示一一對應。其實準確的來說，這并不是要求和群的表示對應而是和群的李代數的表示對應。三維轉動SO(3)和二維在復數空間的轉動SU(2)具有相同的李代數，而二維空間的轉動的一個表示很直接的就是一個2維(??，??)復數向量。同樣的我們有SO(3,1)，SO(4)和SU(2)xSU(2)具有相同的李代數。具有相同李代數的李群之間并不等價，只是相差一些離散（比如反射）的對稱性。用拓撲的語言就是，李群對應了流形李代數對應了流形上的向量空間。如果流形是連接的（connected）那么可以由local的李代數得到global的李群。但是如果李群本身就是由不連接的（disjoint）的大陸組成的，那么就可以出現局部性質一樣但是全局性質不一樣的情況。比如SO(3)是連續的一塊大陸，但是SU(2)是由2塊相同但是不連接的大陸組成，我們可以說SU(2)是SO(3)的一個雙層覆蓋（double cover）所以你繞SO(3)的大陸跑一圈，對應的在SU(2)大陸上，你在第一塊大陸也跑了一圈，但是你沒有回到原點而是跳到第二塊大陸上了）。
對于完整的洛倫茲的自旋表示，因為我們有兩個SU(2)，所以我們可以有兩種spinors，一般稱為左和右。一個spinor可以由一個整數或是半整數來表示。所以最最一般的洛倫茲群的自旋表示為（n,m), 分別代表了左和右的自旋態。其中（?，?）和一個向量在轉動下的行為一樣，所以可以理解為一個向量。從群論的角度來看，自旋表示比起向量或是其他其實更自然。因為如果SU(2)和 SO(3) 關系，每一個轉動群SO(N)，都有一個double cover，稱為自旋群(spin group) Spin(N)。
量子力學（二）
量子原理可以理解為不確定原理。最直接的一個粒子的位置和速度不同同時確定。所以不可以有靜止的粒子。所以不可以有經典(滿足量子力學之前的物理定律)的運動軌跡（當然靜止也是一種運動軌跡）。考慮如果有兩個粒子的量子態一模一樣會怎樣？
我們就可以精確測量一個粒子的位置，然后再精確測量另外一個粒子的速度，我們就同時測得里這個量子態的位置和速度！當然這個是不被量子力學允許的。我們有兩個解決方案，兩個方案也對應了兩種不同種類的量子態。方案一，很簡單直接要求在這個狀態上只允許存在一個粒子，這就是泡力（Pauli）不相容原理，而這種量子態被稱為費米態的。方案二，我們允許在這個量子態上存在多個粒子，但是我們同時要求，這些粒子之間是相互聯系的，相干的，糾纏的。所以當你試圖測量一個粒子位置或速度的時候，就會影響另外的粒子，所以你就不能再精確測量其他物理量了，這種量子態成為波色態。相干或者糾纏是量子態的普遍特性，并不是只是波色態獨有的。一般來說糾纏態就是當你測量其中的一個粒子后，另一個粒子的狀態會隨之改變。
類似的道理，量子態最好不能是連續的。連續就意味著，兩個態可以無限的接近，這樣你就可以同時無限準確地測量位置和速度只要你選取兩個無限接近的量子態。雖然你也可以說無限接近和完全相同還是本質不一樣的，可是數學上兩者是等價的。比如0.999999（無窮循環）和 整數1 是相等的。
費米態看起來有點奇怪，可是還是很必要的。不然的話所有的粒子都會趨于最低能量態，那樣的話這個世界就一片死寂了。正是因為不相容原理才有了繁花似錦的量子態，才有了不同的原子，才讓材料有了各種不同的物理化學性質。
似乎不存在一個很直觀的解釋，不過理論上可以證明，相對論原理要求所有的費米態都有自旋半整數，所有的波色態都有自旋整數。
因為不存在唯一的軌跡(歷史)，給定同一個初態(這里需要一次測量來確定初狀態)，最后觀測的結果(這里需要第二次測量)可能不同，而是服從一種概率分布。所以測量的初狀態和測量的末狀態不再像經典力學那樣是一一對應的了。而是另外的極端。就是給定一個測量的初狀態，所有的可測量的末狀態都是有一定概率發生的。這也可以說所有的軌跡都是可能發生，或者成為歷經所有歷史。而不同歷史概率應該就是路徑本身的決定的。不同的路徑有不同的概率，也可以說這個概率是歷史的函數(更準確的說是泛函)。在所有的路徑里有一條特殊的經典路徑，就是服從經典力學的路徑。這條路徑是我們宏觀見到的路徑，所以我們可以想象這條路徑是概率最大的，這也意味著在經典力學適用的范圍我們可以忽略其他路徑的貢獻。這也給出了我們這個概率函數的一個性質，就是在經典路徑下取極值。
這里我們也可以反過來想。如果我們有了這個概率函數，那么我們可以通過求這個函數的極值來尋找經典路徑或是推導出粒子應該滿足的經典力學。
量子修正會隨著能量的增加而逐漸加強，這也意味著要得到一個可靠的結果我們可以忽略的路徑也越來越少。
這里我們也可以換一個思路。類似于在能量很低的時候，我們只需要很簡單的經典力學然后只考慮一條經典路徑，可不可以在能量升高量子效應不可忽略的時候，我們找到一個比經典力學復雜一些的理論然后把這個復雜一些的理論當做我們新的經典的理論然后還是只考慮一條新的改正后經典路徑。答案是可以的。這個新的經典理論稱為有效理論(effective theory)。我們也可以理解為我們通過不斷修正經典力學來無限近似量子力學的結果。當然修正后經典力學也變得越來與復雜，而且當修正到很后面的時候，計算量可能和考慮更多路徑的計算量差不多。
這就體現出超對稱理論的美來了。有的超對稱理論(N=4SYM)完全不需要量子修正，有的超對稱理論(N=2SYM)的effective theory可以很容易(當然需要的一定的智慧 Seiberg-Witten theory)的確定。
超對稱（三）
用代數的語言說相對性原理就是，描述自然的系統本身具有洛倫茲不變形，或者說系統的對稱群是SO(3,1)。所以系統的解必須是洛倫茲群的某種表示(representation)。每種不同的表示代表了不同類型的粒子。比如量子電動力學，我們有電子還有光子(量子化的電磁場)。電子就是自旋表示而光子就是向量表示。還有引力量子化后的引力子是一個對稱張量(tensor)表示。在洛倫茲變化下，不同表示下的粒子只在自己的表示中轉化。
而超對稱是一種對稱操作，把一種表示下的粒子變化到另一種表示下的粒子。注意這里說的表示都是洛倫茲群的表示。因為在粒子物理里，在洛倫茲對稱的基礎上我們還要加上其它的對稱，這些群也有對應的表示。而超對稱并不會改變這些額外群的表示。還是考慮量子動力學，量子動力學的額外的對稱性成為U(1)或者SO(2)對稱性，這個對稱性也是電子帶電的原因。這里需要稍微解釋一下。
當我們說某種東西帶電的時候，我們物理上其實是說，這種東西會被電磁場影響。從代數的角度去理解就是，電磁場(光子)本身代表了某種群操作，而這個帶電的物體屬于這個群的某種表示。因為電荷只有正負兩種(兩種態)并且光子只有一種(一種操作)，那么可以想象這個對稱就應該這種正負電荷之間的相互轉化也就是SO(2)。而且因為光子只有一種，所以光子和光子之間不會直接相互作用，因為只有一種態。用群論的語言就是，電子屬于SO(2)群的基本(fundamental)表示，光子是群的伴隨(adjoint)表示。所以不存在超對稱讓電子和光子相互轉化。但是我們可以分別引入電子和光子的超對稱伴侶超電子(selectron)和超光子(photonino)從而構造超對稱的量子點動力學。所以要引入超對稱，我們必須加倍我們目前已知的所有基本粒子，也就是給每一個基本粒子找一個伴侶(不容易啊)！
以上是從物理角度描述超對稱。
我們也可以完全從代數角度理解：擴大洛倫茲的群結構，從而這個更大的群的表示自動包涵了洛倫茲群的多種表示。比如我們希望新的群的一個表示可以包涵自旋(自旋為?)表示和標量(自旋為0)表示。
在原先的洛倫茲群(old)的操作下我們有：
自旋(1/2) -> 自旋(1/2)
自旋(0) -> 自旋(0)
我們需要增加的群操作(new)是：
自旋(1/2) -> 自旋(0)
自旋(0) -> 自旋(1/2)
我們發現我們得到了一個更高一層的代數結構：
old+old=old; (連續兩個 old 操作可以等同一個新的old 操作)
new+new=old; (連續兩個 new 操作可以等同某一個old 操作)
old+new=new; (連續new 和 old 操作可以等同某一個new操作)
這在代數上成為一種分級(grading)。
所以通過這種分級我們可以自然的把洛倫茲群擴展為分級洛倫茲群。
