普通算法

f1(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + an-1x^(n-1) + anx^n

double f1(int n, double a[], double x){
    int i;
    double p = a[0];
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        p += (a[i] * pow(x, i));
    }
    return p;
}

秦九韶算法

每次把x當做公因子提取出來，然后從最里面向外計算。
f2(x) = a0 + x(a1 + x(...x(an-1 + x(an))...))

double f2(int n, double a[], double x){
    int i;
    double p = a[n];
    for (i = n; i > 0; --i){
        p = a[i - 1] + x * p;
    }
    return p;
}

速度測試

#include <iostream>
#include <vector>
#include <time.h>

#define MAXN 10 /* 多項式最大項數，即多項式階數+1 */
#define MAXK 1e6 /* 被測函數最大重復調用次數 */

using namespace std;

clock_t start, stop;
/* clock_t是clock()函數返回的變量類型 */
double duration;
/* 記錄函數運行時間，以秒為單位 */


double f1(int n, double a[], double x){
    int i;
    double p = a[0];
    for (int i = 1; i <= n; ++i){
        p += (a[i] * pow(x, i));
    }
    return p;
}

double f2(int n, double a[], double x){
    int i;
    double p = a[n];
    for (i = n; i > 0; --i){
        p = a[i - 1] + x * p;
    }
    return p;
}

int main(){
    int i;
    double a[MAXN]; /* 存儲多項式的系數 */
    for (i = 0; i < MAXN; ++i){
        a[i] = (double)i;
    }

    /* 不在測試范圍的準備工作寫在clock()調用之前 */
    start = clock(); /* 開始計時 */
    for (int j = 0; j < MAXK; ++j){
        f1(MAXN - 1, a, 1.1);
    }
    stop = clock(); /* 停止計時 */
    duration = ((double)(stop - start)) / CLK_TCK / MAXK;
    printf("f1-duration: %6.2e\n", duration);

    start = clock(); /* 開始計時 */
    for (int j = 0; j < MAXK; ++j){
        f2(MAXN - 1, a, 1.1);
    }
    stop = clock(); /* 停止計時 */
    duration = ((double)(stop - start)) / CLK_TCK / MAXK;
    printf("f2-duration: %6.2e\n", duration);
    return 0;
}

運行結果

分析

可以看出來單次運行的時間上，秦九韶算法比普通算法快了一個數量級。