今天我要探討的內容是等差數列與等比數列。相信這種東西在奧數書中真的非常的多。因為這比較難，而且比較有意思，一般都會吸引做奧數的人去做，首先就要先來定義一下什么是等差數列，什么是等比數列。
等差數列可以舉例為:1/2+1/4+1/6+1/8=？
等差數列的規律是，兩個相鄰的加數中，前面加數的分母比后面加數的分母少一個相同的數(我舉的例子中是少二)。
如何用一個代數式去代表這個數列中的任何一個數呢？可以假設要代表的是第n個數。第二個加數的分母比第一個加數的分母加了二，第三個加數的分母比第一個加數的分母加了兩個二。第四個加數的分母比第一個加數的分母加了三個二。也就是說，第n個數應該是比第一個數加了n減一個二，說明第n個數是1/2+(n-1)Ⅹ2。可以用任意一個數來代替n，比如三。三減一得二，二乘二得四，四加二得六，最終結果是1/6。可見這個公式是成立的。
那么如果這個等差數列是1/3+1/5+1/7+1/9呢？假設要找第n個數，第二個加數的分母比第一個加數的分母多加了二，第三個加數的分母比第一個加數的分母多加了四，那么第n個數就應該比第一個數多加了n減一個二，那么結果也就是1/3+(n-1)x2，假設n為五，n減一得四，四乘二得八，人加三得十一。那么第五個數是否是1/11呢？答案是肯定的。
那應該如何計算等差數列呢？就以2+4+6+8+10+12為例，2+12=4+10=6+8，也就是(2+12)ⅹ12÷2÷2。這是等差數列的計算方法。
接下來定義什么是等比數列。等比數列也就是兩個相鄰的加數，后面加數的分母與前面加數的分母的比是一樣的。比如1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128，兩個相鄰的加數，后面加數的分母比前面加數的分母為2:1。
解等比數列有三種方式，一、1/2+1/4=1-1/4+1/8=1-1/8，1-1/8+1/16=1-1/16，1-1/16+1/32=1-1/32，1-1/32+1/64=1-1/64，1-1/64+1/128=1-1/128，最終結果是1-1/128。
二、可以在最末尾再加上一個1/128，再減去一個1/128，先不管減去的，1/128+1/128=1/64，1/64+1/64=1/32，1/32+1/32=1/16，1/16+1/16=1/8，1/8+1/8=1/4，1/4+1/4=1/2，1/2+1/2等于一，一再減去最開始加上的1/128等于127/128。
三、S1=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128，
2S1=1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64，
2S1-S1=(1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64)-(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128)
S1=1-1/128
S1=127/128.
這種方法的合理性是2S1的第n加一個數。可以消掉S1的第n個數，最后會剩下的是2S1的最開始的數字和S1最末尾的數字。
那么如果兩個相鄰的加數，后面的加數比前面的加數等于3:1呢？那就把原來算式翻三倍，變成3S1，減去S1后再除以二。如果是4:1也是同理。
這是等比數列的計算方法。
這就是我今天要講的話題。
